25 de fev de 2012

O Problema Da Doação Dos Terrenos e os Ternos Pitagóricos

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

O Sr. Antônio tem um terreno com uma área de 1000m2 e decidiu doar uma parte do terreno. Pôs um anúncio nos jornais com endereço (rua, bairro, cidade e estado) com a seguinte redação:

Sou proprietário de um terreno com 1000m2 e decidi doar uma parte do terreno para aquele que conseguir separar dois terrenos em forma retangular, de tal forma que as medidas dos lados sejam expressas por números inteiros e, além disso, a diagonal de cada terreno tenha 50m. Pergunta-se: qual deve ser a área e o perímetro de cada terreno?

Resolução:

As figuras abaixo mostram as duas áreas retangulares:

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As fórmulas de Euclides são:

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Propriedades das fórmulas de Euclides:

1) Só geram ternos pitagóricos primitivos, ou seja, mdc(x, y) = 1;

2) x > y e de paridades opostas, ou seja, um par e outro ímpar;

3) A hipotenusa c é sempre ímpar

4) x2 + y2 é sempre da forma 4x + 1.

Como c é sempre ímpar, e 50 é par, vamos multiplicar as fórmulas de Euclides por um número k (par), a fim de que c seja par:

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Regra para achar o valor de k:

Etapa 1: Ache os divisores (D) de 50 no intervalo: 1 < D < 50. Assim, os divisores de 50, no intervalo, são: 2, 5, 10 e 25.

Etapa 2: Divida 50 pelos divisores encontrados e escolha o(s) quociente(s) da forma 4x + 1 e o divisor vamos designar por k.

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Portanto, existem dois ternos pitagóricos cuja hipotenusa assume valor c = 50, para k = 2 e para k = 10.

Para k = 2, temos: 25 = 42 + 32, x = 4 e y = 3, obtém-se:

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Assim:

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Para k = 10, temos: 5 = 12 + 22, x = 2 e y = 1, obtém-se:

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Assim:

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Desta forma, para o 1º terreno, temos:

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Para o 2º terreno, temos:

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Conclusão

Para que “ensinar”, nas escolas “chatas” da vida, como encontrar ternos pitagóricos e deduzir as fórmulas de Euclides, sem mostrar nenhuma aplicação prática? Parafraseando o professor A. P. Ricieri, talvez o caro leitor responda: se pensar nessa pergunta baseando-me naquilo que me “ensinaram” nas escolas, afirmaria: para nada! No entanto, pensando melhor sobre o assunto, responderia: para ser cobrada nas provas! Porém, meditando compenetradamente no tema, diria: taí algo que realmente não sei?

Não sei se você, caro leitor, que está frequentando ou já frequentou a escola do Ensino Médio, concorda com a resposta. Sinceramente, concordo. Concordo, porque durante o período que frequentei a escola do Ensino Médio (antigo científico), em momento algum tive a oportunidade de ver, em sala de aula, uma só aplicação dos ternos pitagóricos.

Como seria estimulante, para todos os alunos, se o professor mostrasse o quanto é poderoso e útil aquilo que estão aprendendo! Diante do exposto, pode-se afirmar que:

a) a aversão que o aluno tem à matemática decorre da distância que o Ensino Fundamental e Médio guarda da realidade em que vive;

b) já que o aluno não consegue fazer a conexão entre o que aprende e suas necessidades do dia a dia, daí vem o desinteresse e, em consequência, a versão à matemática;

c) toda a matemática do Ensino Fundamental e Médio é importante para a vida do aluno, mas da forma como é “ensinada” não serve para muita coisa.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog.


Veja mais:

Ternos Pitagóricos: A Tábua de Plimpton 322
O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides – A Proposição I-47
Quantos Números Primos Existem?
Deserto Entre Números Primos

5 comentários:

  1. Oi, Kleber,

    Acho que em sala de aula o problema é a carga horária. A matéria a ser passada ( matemática ) é extensa. Se a cada tópico que o professor desse ele exemplificasse com uma aplicação prática não daria tempo. Neste, caso, uma reportagem à história da matemática e menção à biografia de matemáticos também serviria para despertar o interesse do instruendo.

    Um abraço!

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  2. Também acho Aloísio. A Matemática é extensa mesmo. Exemplos de aplicações, contexto histórico e demosntrações de fórmulas seria essenciais, mas quase não se vê isso. Uma pena.

    Abraços.

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  3. O Aluísio Teixeira "acha que em sala de aula o problema é a carga horária. Se a cada tópico que o professor desse ele exemplificasse com uma aplicação prática não daria tempo".Então, para que ensinar matemática no Ensino Fundamental e Médio sem o aluno saber para que serve? Se o problema é a carga horária, então, os professores do Ensino Fundamental e Médio não leem o que está contido nos PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais, nos quais são referências de qualidade para o ensino da Matemática nos Ensinos Fudamental e Médio. O objetivo principal é propiciar subsídios aos alunos com problemas cujos enunciados expressem situações consideradas o mais próximo possível da realidade vivenciada pelos alunos do Ensino Fundamental, Médio e Técnico.

    Sebá

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  4. Se o Kléber me permite, apesar de fugir um pouco do tema do post, acho que vou entrar nesta discussão, pois há 22 anos dou aulas em escolas públicas, justamente para o ensino fundamental e médio, e penso que por isso poderia contribuir um pouco para este debate:
    Acho que tanto o Aloísio como o Sebá têm suas parcelas de razão em suas colocações:
    Realmente, nos PCNs estão contidas diretrizes norteadoras que, na teoria, são muito bem intencionadas. Acontece que, como dizem, “Na prática, a teoria é outra”. Acredito que os educadores que elaboraram os PCNs foram muito bem intencionados, mas mostraram, ou fingiram desconhecer a realidade atual das salas de aula das escolas públicas do nosso país: Na grande maioria, superlotadas, heterogêneas, com alunos mal educados e totalmente desinteressados em aprender, a despeito de qualquer estratégia que os colegas professores resolvam adotar, tentando contextualizar os temas, mostrando suas aplicações práticas.
    Aloísio tem razão em dizer que a carga horária é insuficiente, pois infelizmente, uma grande parte do tempo de aula é perdida para fazer com que alunos indisciplinados se comportem, seguindo regras básicas de convivência coletiva, cujo conhecimento não lhes foi passado pelos pais. Todos os dias, vejo colegas meus vigiando se os alunos não estão mexendo em celulares, ou aborrecendo os colegas com brincadeiras. Para aqueles que conseguem lidar mais facilmente com estas situações, há uma pressão absurda, em ordem hierárquica inversa, dos coordenadores, diretores, supervisores, diretorias de ensino e secretaria de educação, para que se cumpra o currículo, que devem preparar os alunos, primeiramente para as provas de avaliação externas, no caso de São Paulo, o SARESP.
    O que importa, aparentemente, é maquiar os péssimos números que indicam o desempenho dos alunos, e para isso desconsidera-se também, a meu ver, todos os problemas de ordem prática que citei, os quais não são fáceis de serem resolvidos, se não houver vontade política, e interferem, acreditem, e muito, no bom andamento das aulas. Para aqueles profissionais que, cada um ao seu modo - e acredito que faço parte de um deles - consegue contornar estes problemas, obtendo heroicamente certa homogeneidade dos alunos da classe em algum conteúdo especifico, resta arriscar mostrar a eles a aplicação prática daquilo que estamos ensinando. Não pensem que com isso, os alunos, por exemplo, entendendo como calcular a altura de um prédio, usando relações trigonométricas, ficarão fascinados pela matéria. Muitos deles, já chegaram a um ponto em que não entendem nem o que o enunciado da questão está fornecendo e o que está sendo pedido.
    Uma professora de matemática da escola em que dou aulas, fez uma avaliação diagnóstica dos alunos de uma das 1ªs séries do ensino médio, e nos mostrou esta semana o resultado obtido. Mais da metade da classe não soube localizar na reta numérica, a raiz quadrada de 2, os racionais 11/5, - 5/4, e assim por diante. Esse é o quadro real que temos.
    Só pra concluir, Sebá disse:
    “O objetivo principal é propiciar subsídios aos alunos, com problemas cujos enunciados expressem situações consideradas o mais próximo possível da realidade vivenciada pelos alunos do Ensino Fundamental, Médio e Técnico.”

    A frase é bonita, mas este objetivo está cada vez mais difícil de ser atingido, pelo menos no ensino médio, pois os alunos, para aprenderem alguma praticidade sobre algo, precisam primeiramente trazer algum conteúdo do ensino fundamental, o que eu chamaria de ferramentas básicas do cálculo e da geometria. Afinal, como ensinar de forma lúdica, as tabuadas, e os métodos de divisão, multiplicação, obtenção de mmc, etc. Algumas coisas em matemática, nas séries iniciais, são mesmo um pouco maçantes, mas devem ser aprendidas para que se passe à fase de aplicação prática.

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  5. Acho que você já sabe que apesar de ser Licenciado em Matemática e Física desde 2008, não dou aulas. Infelizmente o salário que ganho na empresa onde trabalho supera o de um professor do Estado com carga horária completa. Quando fazia o tal do estágio em escolas estaduais, via o mesmo cenário descrito por você, Jairo: alunos mais preocupados com o jogo do corinthians do que na própria aula. Via os professores realmente tentando ensinar. Falava bem e com fundamentos, mas quem queria ouvir? Dois ou três, talvez. Lá tinha professores com especialização e mestrado, mas o que adianta se o sistema educacional brasileiro não funciona? Qaundo aos invés de liberarem verba para a educação, preferem construir estádios? Onde foi parar a autoridade do professor? Eu não sei Sebá se seguir o que dizem os PCNs resolveria o problema. São referências de qualidade, mas num sistema que não funciona. Claro que tudo que digo é do que vi em estágios que fiz, do que meus amigos professores comentam, de familiares que ainda frequentam o ensino fundamental e médio, e não por experiência própria.

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