18 de fev de 2015

A Multiplicação Egípcia

Todos os $110$ problemas contidos nos papiros de Moscou e Rhind são numéricos, sendo alguns de origem prática e outros teóricos.


Basicamente a multiplicação era efetuada por uma sucessão de duplicações de um fator e o outro fator dado por uma soma de potências de base $2$. O fato é que podemos expressar qualquer número como uma soma de potências de $2$. Como por exemplo o número $5=2^2+2^0$ e o número$19=2^4+2^1+2^0$.

O que os egípcios faziam era encontrar uma combinação das potências de $2$ de modo a obter um dos fatores da multiplicação desejada.

Em uma das colunas, dispunham os números de base $2$ até o número imediatamente inferior a um dos fatores. Na outra coluna escreviam duplicações do segundo fator. Na coluna das potências de $2$, identificavam as potências cuja soma seria igual a um dos fatores e somavam as duplicações correspondentes da outra coluna, encontrando o produto desejado.

Vejamos a seguir alguns exemplos.

Exemplo $1$: Encontrar o produto de $26$ por $41$

Primeiramente, escolhemos qual dos dois fatores será representado na coluna das potências de $2$. Tomemos o número $26$, mas também poderia ser o número $41$.


Paramos no número $16$ porque o próximo número da sequência é o $32$, que é maior do que o fator $26$. Na outra coluna escrevemos duplicações do segundo fator:


Como $26=16+8+2$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $41$ na outra coluna:


Assim:
\begin{equation*}
26 \times 41 = 82 + 328 + 656 = 1066
\end{equation*}

Exemplo $2$: Encontrar o produto de $112$ por $173$

Tomemos o número $112$ para ser representado na coluna das potências de $2$


Paramos no $64$ porque o próximo número da sequência é o $128$, que é maior do que o fator $112$. Na outra coluna escrevemos duplicações do segundo fator:


Como $112 = 64 + 32 + 16$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $173$ na outra coluna:


Assim:
\begin{equation*}
112 \times 173 = 2768 + 5536 + 11072 = 19376
\end{equation*}

Os egípcios usavam hieróglifos para representar números em base $10$:


Vejamos como ficaria uma multiplicação egípcia com seus hieróglifos.

Exemplo $3$: Encontrar o produto de $17$ por $23$


Os números $17$ e $23$ são representados assim pelos hieróglifos egípcios:


Tomemos o número $17$ na primeira coluna. Colocamos os hieróglifos nas potências de base $2$:


As duplicações de $23$ são: $46$, $92$, $184$, $368$. Escrevemos na segunda coluna os hieróglifos correspondentes:


Como $17=16+1$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $23$ na outra coluna:


Assim, $17 \times 23 = 368 + 23 = 391$. Escritos em hieróglifos:


Uma observação interessante é que esta soma final assemelha-se ao que fazemos no ábaco. Pois quando somamos $3$ hastes com $8$ hastes, obtemos $11$ hastes. Então, trocamos $10$ hastes por $1$ arco de cesto e mantemos uma haste.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática - Howard Eves - Ed. Unicamp
[2] Hieróglifos retirados do site http://discoveringegypt.com

Veja mais:


Método da multiplicação dos camponeses russos
Método da gelosia para multiplicações 
Método da falsa posição
Frações unitárias


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16 de fev de 2015

No começo, era o número

Admite-se que certas espécies animais são capazes de perceber diferenças quantitativas concretas: a falta de um filhote na ninhada, a maior ou menor abundância de alimento, ... As crianças, da mesma forma, bem antes de saberem falar, manifestam uma espécie de percepção quantitativa, evidentemente associada a objetos familiares. Com o desenvolvimento da linguagem e com o uso da palavra, tal percepção quantitativa aumentou tanto e chegou a tal nível de sofisticação que permitiu a determinadas culturas dar o nome a imensidades de coisas, como as estrelas no céu, as árvores, mares, ... Permitiu-lhes até mesmo tentar conter o infinito nas redes do número.

O que significa contar

Dentre os poderes conferidos pela palavra, um dos mais antigos é talvez o de dar nomes aos números. Acaso a "numeração" não consiste em um ordenamento, uma organização real e das representações que dele fizemos?

Em certos idiomas europeus, por exemplo, observa-se uma grande semelhança ou mesmo a quase identificação de pares de verbos dos quais um designa enumeração e outro, relato: compter/raconter (francês); contare/raccontare (italiano); contar/contar (espanhol e português); comptar/contar (catalão); zählen/erzählen (alemão). E do idioma inglês a palavra tale é hoje empregada com o significado de "conto" ou "relato", mas a palavra teller designa tanto um contador de histórias como um caixa de banco. Não surpreende, assim, que a mesma semelhança seja encontrada nos idiomas indo-europeus mais antigos.

O termo sânscrito que designa número, sankhya, expressa etimologicamente um modo de dizer as coisas. O termo grego logos, que designa tanto "conta" como "palavra" e "relato", recebeu essas diversas acepções do antigo significado do verbo lego: reunir, escolher, dizer. Também a palavra grega arithmos designa o número, no sentido aritmético, e igualmente a ordem, o arranjo ou disposição. Tal ambivalência veio a persistir no termo latino numerus e seus derivados: o adjetivo numerosus quer dizer "numeroso" e também "harmonioso".

Qualquer que seja a capacidade de determinado idioma para designar os números é evidente que os termos que designam os números vêm de uma época antiquíssima da história desse idioma. E são termos, aliás, que mostram surpreendente estabilidade ao longo do tempo. São ecos do esforço imemorável do homem para expressar a diversidade do real, e permitem-nos às vezes vislumbrar o processo pelo qual diversas ordens de quantidade receberam seus nomes.


Ordenar, reunir, numerar

Qualquer sistema de números, por mais elementar que seja, supõe a adoção de alguns símbolos (palavras, pictogramas, sinais gráficos) estruturados em dois princípios: um é o princípio de ordenamento ou disposição, que permite distinguir o primeiro símbolo (um) do segundo (dois) e eventualmente do terceiro (três), e assim por diante; e o outro é o princípio de agrupamento, que interrompe a produção de símbolos individuais diferentes, estabelecendo um símbolo de ordem superior, cuja combinação com os precedentes permite reiniciar o sistema. Assim, "um, dois, três, $\cdots$, dez, dez-um, dez-dois, $\cdots$, dez-dez ou cem, cento e um, cento e dois, $\cdots$" é um sistema baseado em $10$, ou seja, um sistema decimal.

Outras bases, porém, já foram ou ainda são utilizada, como a base $2$ (sistema binário), utilizada em sistemas lógicos, amplamente aplicado à computação, base $5$ (sistema quinário), associada aos dedos das mãos e pés, base $60$ (sistema sexagesimal), antigamente utilizada pelos babilônios e hoje ainda empregado na marcação das horas, minutos e segundos de um dia, base $20$ (sistema vigesimal), antigamente utilizada pelos maias, na América, base $16$ (sistema hexadecimal), também vinculada à computação, entre outras. Parece provável que a escolha das bases $5$, $10$ ou $20$ estivessem inicialmente ligada a particularidades do corpo humano, e ainda se percebem vestígios dessa ligação em determinadas numerações orais: na língua api, falada nas Novas Hébridas, grupo de ilhas no sul do Oceano Pacífico, a palavra luna designa a mão e o número $5$; o nome do número $2$ é lua, e o número $10$ é lualuna, o que significa literalmente duas mãos.

[Plimpton 322 é uma tábua de argila em escrita cuneiforme com registros da matemática babilônica.]


É espantosa a diversidade das regras segundo as quais se formam os nomes dos números e que manifestam a diversidade cultural e linguística.

É preciso admitir nosso pouco conhecimento da maneira prática pela qual se faziam cálculos nos tempos antigos. Certamente, os números tinham de ser representados, e já possuíam, no idioma, uma designação precisa. Paralelamente à numeração gestual que se valia dos dedos (numeração digital), quer uma representação que precisasse de alguma base material: um ábaco, uma tabela de contar, um tabuleiro de areia ou uma corda com nós. Tal representação numérica, em certos casos, é o antecedente de algumas formas de numeração escrita.

 [Baixo-relevo pintado de Nefertiabet, que mostra uma mesa de oferendas (Egito, $2700a.C.$). Podem-se identificar vários algarismos da numeração hieroglífica egípcia (embaixo, à direita, o hieróglifo $1.000$ aparece quatro vezes). Clique aqui e veja a imagem em $2300\times 1659$.]

Referências:

[1] Matemática Volume Único - Benigno Barreto & Claudio Xavier - Editora FTD

Veja mais:


Euclides e a Geometria dedutiva
A história do símbolo do infinito
Ternos Pitagóricos: A Tábua de Plimpton 322


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7 de fev de 2015

A Regra de Chió para o cálculo de determinantes

Toda matriz quadrada, de qualquer ordem, tem associada a ela um número chamado determinante da matriz.

Existem alguns métodos para calcular o determinante de uma matriz, como por exemplo a Regra de Sarrus e o Teorema de Laplace utilizando a Matriz de Cofatores.



A Regra de Chió é muito prática se o elemento $a_{11}$ da matriz for igual a $1$, o que nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem $n$ usando uma matriz de ordem $n-1$.

Dada uma matriz quadrada de ordem $n$ sendo $a_{11}=1$:
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
\end{equation*}
obtemos uma matriz de ordem $n-1$ fazendo:
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
a_{22}-(a_{12}\cdot a_{21}) & a_{23}-(a_{13}\cdot a_{21}) & \cdots & a_{2n}-(a_{1n}\cdot a_{21})\\
a_{32}-(a_{12}\cdot a_{31}) & a_{33}-(a_{13}\cdot a_{31}) & \cdots  &a_{3n}-(a_{1n}\cdot a_{31}) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n2}-(a_{12}\cdot a_{n1}) & a_{n3}-(a_{13}\cdot a_{n1}) & \cdots & a_{nn}-(a_{1n}\cdot a_{n1})
\end{bmatrix}
\end{equation*}

Exemplo $1$:

Seja $M$ a matriz quadrada de ordem $4$. Calcular o determinante usando a Regra de Chió.
\begin{equation*}
M=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & -1\\
1 & 3 & 6 & 9\\
4 & 1 & 2 & 0\\
-2 & 2 & 3 & -4
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Como o elemento $a_{11}=1$, então fazemos:
\begin{equation*}
\det{M}=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol {\color{red}{1}} & \boldsymbol{\color{blue}{2}} & \boldsymbol{\color{blue}{0}} & \boldsymbol{\color{blue}{-1}}\\
\boldsymbol{\color{green}{1}} & 3 & 6 & 9\\
\boldsymbol{\color{green}{4}} & 1 & 2 & 0\\
\boldsymbol{\color{green}{-2}} & 2 & 3 & -4
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det{M}=
\begin{vmatrix}
3-(\boldsymbol {\color{blue}{2}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{1}}) & 6-(\boldsymbol {\color{blue}{0}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{1}}) & 9-(\boldsymbol {\color{blue}{(-1)}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{1}})\\
1-(\boldsymbol {\color{blue}{2}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{4}})& 2-(\boldsymbol {\color{blue}{0}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{4}}) & 0-(\boldsymbol {\color{blue}{(-1)}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{4}})\\
2-(\boldsymbol {\color{blue}{2}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-2)}}) & 3-(\boldsymbol {\color{blue}{0}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-2)}}) & -4-(\boldsymbol {\color{blue}{(-1)}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-2)}})
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det{M}=
\begin{vmatrix}
1 & 6 & 10\\
-7 & 2 & 4\\
6 & 3 & -6
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Aqui poderíamos aplicar a Regra de Sarrus, mas vamos aplicar novamente a Regra de Chió, já que o elemento $a_{11}=1$ e assim obteremos um determinante a partir de uma matriz de ordem $2$, resolvido rapidamente.
\begin{equation*}
\det{M}=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol {\color{red}{1}} & \boldsymbol{\color{blue}{6}} & \boldsymbol{\color{blue}{10}} \\
\boldsymbol{\color{green}{-7}} & 2 & 4 \\
\boldsymbol{\color{green}{6}} & 3 & -6
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det{M}=
\begin{vmatrix}
2-(\boldsymbol {\color{blue}{6}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-7)}}) & 4-(\boldsymbol {\color{blue}{10}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-7)}}) \\
3-(\boldsymbol {\color{blue}{6}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(6)}}) & -6-(\boldsymbol {\color{blue}{10}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(6)}})
\end{vmatrix}
\\
\:
\
\det{M}=
\begin{vmatrix}
44 & 74\\
-33 & -66
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det{M}=(44 \cdot (-66))  - (74 \cdot (-33))=-462
\end{equation*}
Assim, o determinante da matriz $M$ é igual a $-462$.

Observações:

$1)$ Se o elemento $a_{11} \neq 1$ e existir algum elemento da matriz que seja igual a $1$, então podemos obter uma matriz equivalente trocando a posição de duas filas (colunas ou linhas).

Ao trocarmos de posição duas filas de uma matriz, o determinante da nova matriz é o oposto do determinante da matriz anterior, ou seja, tem o sinal trocado.

Por exemplo: seja a matriz:
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 0 &-1\\
2 & 3 & 6 &9\\
4 & 1 & 2 &0\\
-2 & 2 & 3 &-1
\end{bmatrix}
\end{equation*}
O determinante da matriz $A$ será dado por:
\begin{equation*}\det{A}=
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 0 &-1\\
2 & 3 & 6 &9\\
4 & 1 & 2 &0\\
-2 & 2 & 3 &-1
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Trocando a primeira linha pela terceira, obtemos:
\begin{equation*}\det{A}=-
\begin{vmatrix}
4 & 1 & 2 &0\\
2 & 3 & 6 &9\\
3 & 2 & 0 & -1\\
-2 & 2 & 3 &-1
\end{vmatrix}
\end{equation*}
E agora trocamos a primeira coluna pela segunda:
\begin{equation*}\det{A}=
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 2 &0\\
3 & 2 & 6 &9\\
2 & 3 & 0 & -1\\
2 & -2 & 3 &-1
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Vejam que o sinal do determinante passou de $+$ para $-$ e depois para $+$.

$2)$ Se o elemento $a_{11} \neq 1$ e n]ao houver qualquer elemento da matriz igual a $1$, podemos criar elementos igual a $1$ na matriz usando o Teorema de Jacobi que essencialmente diz que o determinante de uma matriz quadrada não se altera se adicionarmos aos elementos de uma fila qualquer, os elementos correspondentes de outra fila paralela previamente multiplicada por uma constante.

Por exemplo: Seja a matriz:
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 0 & -1\\
2 & 3 & 6 & 9\\
4 & 5 & 2 & 0\\
-2 & 2 & 3 & -4
\end{bmatrix}
\end{equation*}
O determinante da matriz $A$ será dado por:
\begin{equation*}
\det A=\begin{vmatrix}
3 & 2 & 0 & -1\\
2 & 3 & 6 & 9\\
4 & 5 & 2 & 0\\
-2 & 2 & 3 & -4
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Como não há um elemento da matriz igual a $1$, vamos criá-lo multiplicando a segunda linha por $-1$ e somá-la à primeira:
\begin{equation*}
\det A=\begin{vmatrix}
3 & 2 & 0 & -1\\
\boldsymbol{\color{red}{2}} & \boldsymbol{\color{red}{3}} & \boldsymbol{\color{red}{6}} & \boldsymbol{\color{red}{9}}\\
4 & 5 & 2 & 0\\
-2 & 2 & 3 & -4
\end{vmatrix}
\begin{matrix}
\longleftarrow &  + &  \looparrowleft \\
\longrightarrow &  \times  &(-1)   \\
~\\
~\\
\end{matrix}
=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{blue}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-6}}&\boldsymbol{\color{blue}{-10}}\\
2&3&6&9\\
4&5&2&0\\
-2&2&3&-4
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Ao calcularmos o determinante da matriz equivalente, veremos que é igual ao determinante da matriz original.

$3)$ Se o elemento $a_{11} \neq 1$ e não houver outro elemento igual a $1$ na matriz, podemos criar elementos igual a $1$ na matriz colocando um fator $k$ comum a uma fila em evidência, pois se todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número $k$, então seu determinante fica multiplicado por $k$.

Por exemplo: Seja a matriz:
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
2&4&-2\\
10&6&0\\
4&-4&10
\end{bmatrix}
\end{equation*}
O determinante da matriz $A$ será dado por:
\begin{equation*}
\det A=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{red}{2}}&\boldsymbol{\color{red}{4}}&\boldsymbol{\color{red}{-2}}\\
10&6&0\\
4&-4&10
\end{vmatrix}
=
2
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{blue}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{2}}&\boldsymbol{\color{blue}{-1}}\\
10&6&0\\
4&-4&10
\end{vmatrix}
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Encontrar o determinante da matriz quadrada de ordem $5$ abaixo:
\begin{equation*}
M=
\begin{bmatrix}
2&-1&0&3&2\\
-2&3&2&0&-2\\
-3&2&-1&-5&4\\
-1&3&2&-2&0\\
0&4&-2&-1&3
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Nesta matriz, o elemento $a_{11}\neq 1$ e não há nenhum outro elemento da matriz que seja igual a $1$. Para que o elemento $a_{11}$ seja igual a $1$, multiplicamos a segunda coluna por $1$ e somamos o resultado com a primeira coluna:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
2&\boldsymbol{\color{red}{-1}}&0&3&2\\
-2&\boldsymbol{\color{red}{3}}&2&0&-2\\
-3&\boldsymbol{\color{red}{2}}&-1&-5&4\\
-1&\boldsymbol{\color{red}{3}}&2&-2&0\\
0&\boldsymbol{\color{red}{4}}&-2&-1&3
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{blue}{1}}&-1&0&3&2\\
\boldsymbol{\color{blue}{1}}&3&2&0&-2\\
\boldsymbol{\color{blue}{-1}}&2&-1&-5&4\\
\boldsymbol{\color{blue}{2}}&3&2&-2&0\\
\boldsymbol{\color{blue}{4}}&4&-2&-1&3
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Agora, podemos aplicar a Regra de Chió:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{red}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-1}}&\boldsymbol{\color{blue}{0}}&\boldsymbol{\color{blue}{3}}&\boldsymbol{\color{blue}{2}}\\
\boldsymbol{\color{green}{1}}&3&2&0&-2\\
\boldsymbol{\color{green}{-1}}&2&-1&-5&4\\
\boldsymbol{\color{green}{2}}&3&2&-2&0\\
\boldsymbol{\color{green}{4}}&4&-2&-1&3
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
=
\begin{vmatrix}
3-(\color{blue}{-1}\cdot \color{green}{1}) & 2-(\color{blue}{0}\cdot \color{green}{1}) & 0-(\color{blue}{3}\cdot \color{green}{1}) & -2-(\color{blue}{2}\cdot \color{green}{1})\\
2-(\color{blue}{-1}\cdot \color{green}{(-1)}) & -1-(\color{blue}{0}\cdot \color{green}{(-1)}) & -5-(\color{blue}{3}\cdot \color{green}{(-1)}) & 4-(\color{blue}{2}\cdot \color{green}{(-1)})\\
3-(\color{blue}{-1}\cdot \color{green}{2}) & 2-(\color{blue}{0}\cdot \color{green}{2}) & -2-(\color{blue}{3}\cdot \color{green}{2}) &0-(\color{blue}{2}\cdot \color{green}{2})\\
4-(\color{blue}{-1}\cdot \color{green}{4}) & -2-(\color{blue}{0}\cdot \color{green}{4}) & -1-(\color{blue}{3}\cdot \color{green}{4}) & 3-(\color{blue}{2}\cdot \color{green}{4})
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
=
\begin{vmatrix}
4&2&-3&-4\\
1&-1&-2&6\\
5&2&-8&-4\\
8&-2&-13&-5
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Agora, trocamos a segunda linha pela primeira e aplicamos a Regra de Chió novamente. Como estaremos trocando apenas um linha, não podemos nos esquecer de trocar o sinal do determinante:
\begin{equation*}
\det M=-
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{red}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-2}}&\boldsymbol{\color{blue}{6}}\\
\boldsymbol{\color{green}{4}}&2&-3&-4\\
\boldsymbol{\color{green}{5}}&2&-8&-4\\
\boldsymbol{\color{green}{8}}&-2&-13&-5
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
=-
\begin{vmatrix}
2-(-1\cdot 4) & -3-(-2\cdot 4) & -4-(6\cdot 4)\\
2-(-1 \cdot 5) & -8-(-2 \cdot 5) & -4-(6 \cdot 5)\\
-2-(-1\cdot 8) & -13-(-2\cdot8) & -5-(6\cdot8)
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
=-
\begin{vmatrix}
6&5&-28\\
7&2&-34\\
6&3&-53
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Aqui, podemos aplicar a Regra de Sarrus ou ainda aplica a Regra de Chió novamente. Primeiramente trocamos a segunda linha pela primeira, já trocando o sinal do determinante:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
7&2&-34\\
6&5&-28\\
6&3&-53
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Agora, multiplicamos a segunda linha por $-1$ e somamos o resultado à primeira linha:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
1&-3&-6\\
6&5&-28\\
6&3&-53
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Agora que o elemento $a_{11}=1$, aplicamos a Regra de Chió:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{red}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-3}}&\boldsymbol{\color{blue}{-6}}\\
\boldsymbol{\color{green}{6}}&5&-28\\
\boldsymbol{\color{green}{6}}&3&-53
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det M=\begin{vmatrix}
5-(-3\cdot 6) & -28-(-6\cdot 6)\\
3-(-3\cdot 6) & -53-(-6\cdot 6)
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det M=
\begin{vmatrix}
23 & 8\\
21 & -17
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det M=(23 \cdot (-17))-(21 \cdot 8)=-559
\end{equation*}

Referências:

[1] Matemática, Contexto & Aplicações V2 - Dante - Editora Ática

Veja mais:

Matrizes e o controle de tráfego
O Método de Castilho para resolução de sistemas lineares
Sistemas lineares e determinantes: Origens e desenvolvimento


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31 de jan de 2015

Área de Polígonos Regulares

Um polígono é dito regular se tiver todos os seus lados e ângulos iguais, sejam eles internos ou externos.

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, sendo o centro da circunferência, o centro do polígono. Unindo o centro do polígono a cada um de seus vértices, decompomos o polígono em triângulos isósceles.

O segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de seus lados é chamado de apótema.

A partir dessas informações, podemos encontrar a fórmula para a área de qualquer polígono regular.

Vamos considerar um polígono regular qualquer:


[Figura 1]

Sejam $\ell$ a medida do lado, $m$ a medida do apótema, $n$ o número de lados do polígono e seja $p$ o semiperímetro .

Podemos decompor um polígono regular em $n$ triângulos de base $\ell$ e altura $m$. Desta forma, a área de cada triângulo será:
\begin{equation}
A_T=\frac{\ell \cdot m}{2}
\end{equation}
e a área do polígono será o produto da área do triângulo $A_T$ pelo número $n$ de lados:
\begin{equation}
A_{pol}=n \cdot A_T = \frac{n \cdot \ell \cdot m}{2}
\end{equation}
No entanto, o semiperímetro $p$ do polígono é dado por:
\begin{equation}
p=\frac{n \cdot \ell}{2}
\end{equation}
Substituindo $(3)$ em $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
A_{pol}=\frac{2\cdot p \cdot m}{2}
\end{equation}
Assim, a área de um polígono regular é dado pelo produto entre seu semiperímetro $p$ pelo seu apótema $m$:
\begin{equation}
A_{pol}=p\cdot m
\end{equation}

Exemplo $1$:

Determinar a área de um hexágono cujo apótema mede $\displaystyle 2\sqrt{3} \: cm$.


[Figura 2]

Como o hexágono pode ser dividido em seis triângulos equiláteros, para calcularmos a medida $\ell$ de seus lados, aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo $BOC$:


[Figura 3]

\begin{equation*}
\ell ^2 = \frac{\ell ^2}{4} + m^2\\
\ell^2 - \frac{\ell ^2}{4} = m^2\\
\frac{3\ell ^2}{4} = m^2\\
\ell^2 = \frac{4m^2}{3}\\
\ell = \sqrt{\frac{4m^2}{3}}
\end{equation*}
Substituindo o apótema $m=2\sqrt{3}$:
\begin{equation*}
\ell = \sqrt{\frac{4(2\sqrt{3})^2}{3}}\\
\ell = \sqrt{\frac{4\cdot 4 \cdot 3}{3}}\\
\ell = 4 \:cm
\end{equation*}
Assim, o semiperímetro será:
\begin{equation*}
p=\frac{6\ell}{2} = \frac{6\cdot 4}{2} = 12 \: cm
\end{equation*}
e a área do hexágono será:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = 12 \cdot 2\sqrt{3}=24\sqrt{3}\approx 41,57\:cm
\end{equation*}

Fórmula para a área de alguns polígonos regulares

A partir da relação $(5)$, podemos determinar a fórmula para a área de alguns polígonos regulares. Veremos apenas alguns, mas o raciocínio segue para os demais.

Triângulo equilátero

A área do triângulo é dada pelo semiproduto da base por sua altura: $\displaystyle A_{pol}=\frac{\ell h}{2}$.


[Figura 4]

O ponto $O$ é o baricentro do triângulo $\triangle ABC$, de modo que:
\begin{equation*}
m=\frac{1}{3} \overline{DA} = \frac{1}{3} h
\end{equation*}
Sendo o semiperímetro $\displaystyle p=\frac{3\ell}{2}$, temos que:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = \frac{3\ell}{2} \cdot \frac{1}{3}h = \frac{\ell h}{2}
\end{equation*}

Quadrado

A área do quadrado é dada pelo produto de dois de seus lados adjacentes: $\displaystyle A_{pol}=\ell^2$.


[Figura 5]

O ponto $O$ é o centro do quadrado $ABCD$ de lados $\ell$. Decompondo em triângulos isósceles, tomamos o triângulo $\triangle AOB$. Assim:
\begin{equation*}
m=\overline{OE} = \frac{\ell}{2}
\end{equation*}
O semiperímetro é $p=2\ell$ e a área do polígono será:
\begin{equation*}
A_{pol}=p\cdot m=2\ell \cdot \frac{\ell}{2}=\ell ^2
\end{equation*}

Hexágono

A área do hexágono é dada por $\displaystyle A_{pol}=\frac{3\ell ^2 \sqrt{3}}{2}$.


[Figura 6]

O ponto $O$ é o centro do hexágono $ABCDEF$, por onde o decompomos em seis triângulos equiláteros. Tomando o triângulo $\triangle AOB$ temos que:
\begin{equation*}
m=\overline{OG}=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}
\end{equation*}
e o semiperímetro será $p=3\ell$. Assim:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = 3\ell \cdot \frac{\ell \sqrt{3}}{2} = \frac{3\ell ^2 \sqrt{3}}{2}
\end{equation*}

Octógono

A área do octógono regular é dada por $\displaystyle 2\ell^2 (1+\sqrt{2})$.


[Figura 7]

O ponto $O$ é o centro do octógono, por onde o decompomos em $8$ triângulos isósceles. O semiperímetro será $p=4\ell$.

O prolongamento dos lados não adjacentes do octógono forma um quadrado $DEFG$ .Vamos agora escrever os lados dos triângulos formados nos vértices desse quadrado, denotados por $a$, em função do lado $\ell$ do octógono.



[Figura 8]

Aplicando o teorema de Pitágoras:
\begin{equation*}
\ell^2 = 2a^2 \Longrightarrow a=\frac{\ell \sqrt{2}}{2}
\end{equation*}
Vejam que $\displaystyle m=\frac{\overline{EF}}{2}$ e $\overline{EF}=\ell +2a$. Assim:
\begin{equation*}
m=\frac{\ell + 2a}{2} = \frac{\ell}{2}+a = \frac{\ell}{2} + \frac{\ell \sqrt{2}}{2} = \frac{\ell (1+\sqrt{2})}{2}
\end{equation*}
A área do octógono será:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = 4\ell \cdot \frac{\ell(1+\sqrt{2})}{2} = 2\ell^2 (1+\sqrt{2})
\end{equation*}

Apesar de obtermos qualquer área de um polígono regular com a fórmula geral $A_{pol} = p\cdot m$, as deduções acima nos fornecem as áreas dos polígono somente em função de seu lado, o que por vezes pode ser muito mais útil.

Referências

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais

Como determinar o ângulo interno de um polígono regular
Soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo
Como determinar o número de diagonais de um polígono convexo de $N$ lados

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22 de jan de 2015

Teorema do Quadrilátero Circunscritível

Este artigo trata do quadrilátero circunscrito a uma circunferência. Veremos a condição necessária e suficiente, algumas propriedades e teoremas interessantes e alguns exercícios resolvidos.


Teorema $1$:

Se conduzirmos por um ponto $P$ os segmentos $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$, ambos tangentes a uma circunferência $\lambda$, em $A$ e $B$ respectivamente, então $\overline{PA}$ é congruente a $\overline{PB}$:
\begin{equation}
\overline{PA} \equiv \overline{PB}
\end{equation}
Por hipótese temos que $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$ são tangentes a $\lambda$, sendo $A$ e $B$ $\in$ $\lambda$. De modo que temos $\overline{PA} \equiv \overline{PB}$.


[Figura 1]

Observando a figura acima, nota-se que os triângulos $\triangle PAO$ e $\triangle PBO$ são congruente, já que compartilham a mesma hipotenusa e um de seus catetos possuem a mesma medida, que são iguais ao raio da circunferência $\lambda$. Assim, $\overline{OP}$ é a hipotenusa de cada triângulo e $\overline{OA} \equiv \overline{OB}$ são os catetos:
\begin{equation}
\triangle PAO \equiv \triangle PBO \Longrightarrow \overline{PA} \equiv \overline{PB}
\end{equation}
Esta demonstração é importante para o que veremos a seguir.

Definição $1$: Quadrilátero circunscrito

Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à circunferência.


[Figura 2]

Na figura acima, o quadrilátero $ABCD$ está circunscrito à circunferência $\lambda$ e cada segmento que constituem seus lados são tangentes nos pontos $X$, $Y$, $Z$ e $W$.

Teorema $2$:

Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.

Esse teorema nos diz que se, por hipótese, o quadrilátero $ABCD$ é circunscrito à circunferência $\lambda$, então temos que:
\begin{equation}
\overline{AB}+\overline{CD} = \overline{AD}+\overline{BC}
\end{equation}
Utilizando os dados obtidos no teorema $1$, sobre a propriedade dos segmentos tangentes, podemos utilizar o raciocínio no quadrilátero circunscrito representado na figura acima, de modo que $X$, $Y$, $Z$ e $W$ são os pontos de tangência dos segmentos $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ e $\overline{DA}$, respectivamente. Assim, temos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AX} & \equiv & \overline{AW}  \\
\overline{BY} & \equiv & \overline{BX} \\
\overline{CZ} & \equiv & \overline{CY} \\
\overline{DW} & \equiv & \overline{DZ}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Somando membro a membro, obtemos:
\begin{equation}
\overline{AX} + \overline{BX} +\overline{CZ}+\overline{DZ} = \overline{AW}+\overline{BY}+\overline{CY}+\overline{DW}
\end{equation}No entanto:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AX}& + & \overline{BX} &=& \overline{AB}\\
\overline{CZ}& + & \overline{DZ} &=& \overline{CD}\\
\overline{AW}& + & \overline{DW} &=& \overline{AD}\\
\overline{BY}& + & \overline{CY} &=& \overline{BC}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Fazendo as devidas substituições, chega-se a:
\begin{equation}
\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AD}+\overline{BC}
\end{equation}

Exercício $1$:

Determinar o perímetro do quadrilátero $ABCD$, circunscrito:


[Figura 3]

Temos que:
\begin{equation*}
(3p+1) + (p+1) = 3p + 2p\\
4p+2 = 5p\\
p=2
\end{equation*}
Assim, cada lado medirá:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AB}& + & 3p+1 &=& 7\\
\overline{BC}& + & 2p &=& 4\\
\overline{CD}& + & p+1 &=& 3\\
\overline{DA}& + & 3p &=& 6
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
E o perímetro será:
\begin{equation*}
\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}=7+4+3+6=20
\end{equation*}

Exercício $2$:

O quadrilátero $ABCD$ é circunscritível e seus lados medem $\overline{DA}=12cm$, $\overline{CD}=9cm$, $\overline{BC}=x+7$ e $\overline{AB}=2x+1$. Determine seu perímetro.


[Figura 4]

Fazemos:
\begin{equation*}
2x+1+9=x+7+12\\
2x+10=x+19\\
x=9
\end{equation*}
O perímetro será:
\begin{equation*}
\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}=19+16+9+12=56cm
\end{equation*}

Exercício $3$:

Calcular o valor do raio da circunferência inscrita no trapézio retângulo.


[Figura 5]

Temos que $\overline{AB}=2r$, Assim:
\begin{equation*}
2r+13=10+15\\
2r=12\\
r=6 u.m.
\end{equation*}

Exercício $4$:

A diferença de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível é igual a $8cm$ e a diferença dos outros dois lados é $4cm$. Determine os lados do quadrilátero sendo $56cm$ a sua soma.

Analisando o problema, podemos construir a imagem abaixo, utilizando da propriedade dos segmentos tangentes, podemos subdividir cada lado do quadrilátero em duas partes, como segue:


[Figura 6]

Da figura acima, obtemos:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
(x+y)-(z+w)&=&8&\quad (1)\\
(y+z)-(w+x)&=&4& \quad (2)\\
x+y+z+w &=&28&\quad (3)
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
De $(1)$, temos que:
\begin{equation*}
x+y=8+z+w
\end{equation*}
Substituindo em $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
8+z+w+z+w=28\\
z+w=10 = \overline{CD}
\end{equation*}
substituindo em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
x+y=18 = \overline{AB}
\end{equation*}
De $(2)$, temos que:
\begin{equation*}
y+z=4+x+w
\end{equation*}
Substituindo em $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
4+x+w+x+w=28\\
x+w=12 = \overline{DA}
\end{equation*}
Substituindo em $(2)$, obtemos:
\begin{equation*}
y+z-12=4\\
y+z=16=\overline{BC}
\end{equation*}
Portanto, as medidas dos segmentos do quadrilátero são:
\begin{equation*}
\overline{AB}=18cm\\
\overline{BC}=16cm\\
\overline{CD}=10cm\\
\overline{DA}=12cm
\end{equation*}
Podemos verificar o resultado:
\begin{equation*}
18+10=16+12\\
28=28
\end{equation*}

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais:

Teorema do quadrilátero inscritível
Teorema do Ângulo Inscrito
Quadriláteros Notáveis

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1 de jan de 2015

Retrospectiva: Os $10$ posts mais acessados em $2014$

Neste findado ano de $2014$ o blog O Baricentro da Mente teve um pouco mais de $574.000$ acessos. Dentre os $421$ posts, destaco os $10$ mais acessados. Aproveito para agradecer a todos que prestigiam meu trabalho, seja acessando o blog, comentando, curtindo ou compartilhando os posts aqui e no Facebook. Isso é o que me faz manter as publicações. Obrigado!



$1^\circ$ Lugar com $27.281$ acessos: Escalonamento ou método de eliminação de Gauss
Link: http://goo.gl/RwwdcA

$2^\circ$ Lugar com $24.760$ acessos: Integração por frações parciais - Fatores lineares
Link: http://goo.gl/o2eFyM


$3^\circ$ Lugar com $21.460$ acessos: Como determinar o Ângulo interno de um polígono regular
Link: http://goo.gl/me1glj


$4^\circ$ Lugar com $16.720$ acessos: Aplicação de derivadas para determinação de máximos e mínimos
Link: http://goo.gl/m63iyp


$5^\circ$ Lugar com $15.210$ acessos: Soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo
Link: http://goo.gl/hEvPwH


$6^\circ$ Lugar com $12.438$ acessos: Como determinar o número de diagonais de um polígono convexo de $N$ lados
Link: http://goo.gl/1C1h2L


$7^\circ$ Lugar com $12.394$ acessos: Fórmula para calcular o tamanho do sapato
Link: http://goo.gl/gFsRXn


$8^\circ$ Lugar com $11.836$ acessos: Demonstração da derivada da função logarítmica
Link: http://goo.gl/yNcjur


$9^\circ$ Lugar com $8.990$ acessos: Demonstração da fórmula do volume da esfera
Link: http://goo.gl/emiSUH


$10^\circ$ Lugar com $8.503$ acessos: Como calcular o comprimento de um segmento de curva
Link: http://goo.gl/PYQ6VD 


Vejam a lista de todos os artigos publicados: http://goo.gl/f1sOLi


30 de dez de 2014

Promoção: Sólidos Geométricos em Plástico


A Empresa MMP Materiais Pedagógicos nos forneceu um kit contendo $11$ sólidos geométricos em plástico para sorteio. Vejam o kit neste link: http://goo.gl/CVRM7N





Para participar:

- Seguir O Baricentro da Mente no Facebook
- Compartilhar o banner da promoção
- Preencher seus dados neste formulário: http://goo.gl/forms/cn5Q24qs6c
- Possuir um endereço fixo no Brasil para entrega

As inscrições serão aceitas até às 18h00 do dia 10/01/15. O resultado será divulgado até o fim do mesmo dia.

O sorteio será através da ferramenta online Sorteador: 

http://www.sorteador.com.br/index.php

Boa sorte!


Veja mais:

Conjunto de sólidos geométricos em plástico da MMP Materiais Pedagógicos

8 de dez de 2014

Conjunto de Sólidos Geométricos em Plástico da MMP Materiais Pedagógicos

O Conjunto de Sólidos Geométricos em Plástico é um aparato pedagógico desenvolvido pela empresa MMP Materiais Pedagógicos para que o professor possa explorar em sala de aula suas formas, reconhecendo seus elementos através de visualização, podendo ainda trabalhar na dedução de fórmulas, como as de áreas e volume.


O material:

O Conjunto é composto por $11$ sólidos geométricos, acondicionados em uma maleta plástica.

Os sólidos são construídos em plástico colorido e possuem um bom acabamento, com vértices e arestas bem definidas, possibilitando uma boa manipulação.

Os sólidos que compõem o kit são:

$1)$ Pirâmide de base triangular

$2)$ Pirâmide de base quadrada

$3)$ Pirâmide de base retangular

$4)$ Pirâmide de base hexagonal

$5)$ Pirâmide de base circular (cone)

$6)$ Prisma triangular

$7)$ Prisma retangular (paralelepípedo)

$8)$ Prisma hexagonal

$9)$ Hexaedro (cubo)

$10)$ Cilindro

$11)$ Esfera

Definições:

Antes de iniciar alguma atividade com os sólidos, talvez seja importante relembrar algumas definições.

Definição $1$: Sólido geométrico

Um sólido geométrico é uma região do espaço limitada por uma superfície fechada. Essas regiões são classificadas como poliedros e não-poliedros. Os poliedros, por sua vez, são divididos como côncavos e convexos, que é o nosso objetivo.

Definição $2$: Poliedros

Uma superfície poliédrica limitada convexa é o conjunto de um número finito de polígonos planos e convexos, tais que:

$a)$ dois polígonos não estão num mesmo plano;

$b)$ cada lado do polígono não está em mais do que dois polígonos;

$c)$ havendo lados de polígonos que estão em um só polígono, eles devem formar uma única poligonal fechada, plana ou não, chamada contorno;

$d)$ O plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi-espaço (condição de convexidade).

Exemplos de poliedros: cubo, paralelepípedo, tetraedro.

As superfícies poliédricas limitadas convexas que têm contorno são chamadas de abertas; as que não têm contorno são chamadas fechadas.

Definição $3$: Não-poliedros

Uma superfície não-poliédrica limitada convexa é o conjunto de um número finito de polígonos, sendo que pelo menos um polígono não seja plano.

Exemplos de não-poliedros: cilindro, cone, esfera.

Definição $4$: Poliedro regular (Poliedros de Platão)

Um poliedro é chamado de Poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz as condições:

$a)$ todas as faces têm o mesmo número de arestas;

$b)$ todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas;

$c)$ a relação de Euler $V+F=A+2$ é verdadeira, onde $V$ é a quantidade de vértices, $A$ á quantidade de arestas e $F$ é a quantidade de faces do poliedro.

Relação de Euler:

O matemático suiço Leonhard Euler $(1707-1783)$ foi fantástico e uma de suas maravilhas é o que hoje conhecemos como Relação de Euler:
\begin{equation}
V+F=A+2
\end{equation}
onde $V$ é a quantidade de vértices, $F$ é a quantidade de faces e $A$ é a quantidade de arestas do poliedro.

Esta relação é válida para qualquer poliedro e pode-se utilizar os Sólidos Geométricos em Plástico em sala de aula para que os alunos encontrem esta relação em cada sólido.

O professor pode fornecer uma tabela contendo o nome dos poliedros e solicitar aos alunos que observem os sólidos e completem a tabela:

[Tabela 1 - a ser preenchida]

[Tabela 2 - preenchida]

A fim de testar o aluno, pode-se incluir nesta tabela o cone, o cilindro e a esfera, esperando que o aluno os identifique como não-poliedros e notem que falha a relação de Euler, pois:

$a)$ a esfera possui apenas uma superfície;

$b)$ o cone possui uma superfície curva (área lateral) e uma plana (base);

$c)$ o cilindro possui uma superfície curva (área lateral) e duas planas (bases).

Cálculo de áreas:

O professor pode usar os conceitos da Geometria Plana para trabalhar com os alunos o cálculo da área da base, das faces e da área lateral dos sólidos geométricos.

Área da base

Para os sólidos de base triangular é importante observar que a base é formada por um triângulo equilátero. Com isso, basta aplicar a fórmula trabalhada em sala.


Primeiramente encontramos a altura $a$ do triângulo equilátero que compõe a base em função do lado $\ell$, fazendo uso do teorema de Pitágoras:
\begin{equation}
 \ell ^2=a^2+\frac{\ell ^2}{4} \Longrightarrow  a=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}
\end{equation}
E para a área da base:
\begin{equation}
A_T = \frac{\ell \cdot a}{2} = \frac{\ell ^2 \sqrt{3}}{4}
\end{equation}

Para os sólidos de bases retangulares, a área da base é dada pelo produto do comprimento pela profundidade, ou seja pelo produto dos lados adjacentes:


\begin{equation}
A_R = c \cdot p
\end{equation}

Para os sólidos de base hexagonal, deve-se notar que o polígono que forma a base é um hexágono regular. Isto implica que é formado por seis triângulos equiláteros:


\begin{equation}
A_H = 6\cdot \frac{\ell \cdot a}{2}
\end{equation}
Substituindo a relação $(2)$ na relação acima, obtém-se:
\begin{equation}
A_H=\frac{3 \ell^2 \sqrt{3}}{2}
\end{equation}
Para os sólidos com base circular (cone e cilindro), o professor pode fornecer o valor do raio $r$ do círculo ou pedir para os alunos medirem com um régua o seu diâmetro.


A área do círculo é dada por:
\begin{equation}
A_C=\pi r^2
\end{equation}
Aqui o professor pode relembrar que $\pi$ é uma constante irracional obtida pela razão do comprimento $C$ da circunferência pelo seu diâmetro $D$ e que independe do tamanho do raio:
\begin{equation}
\pi = \frac{C}{D}
\end{equation}

Área lateral:

Outro aspecto importante para o professor trabalhar com este material é a área lateral dos sólidos, pedido aos alunos que calculem a área de uma das faces e posteriormente, a área lateral multiplicando a área de uma face pela quantidade de faces que o sólido possui.

No caso das pirâmides, o aluno deve atentar-se que a altura do sólido não é a altura do triângulo que forma a face lateral (apótema da pirâmide). Se for necessário o professor deve orientar, deduzindo juntamente com o aluno uma forma de encontrar o apótema, para que tenha condições de calcular a área lateral.

Para os prismas, cada face é formada por um retângulo e a altura do sólido é a altura da face. A área da face é dada pelo produto do comprimento pela altura:

\begin{equation}
A_F=c\cdot a
\end{equation}

Para as pirâmides, cada face é formada por triângulos isósceles e a altura do sólido é diferente do apótema da pirâmide. Uma forma de encontrar o apótema da pirâmide é desenhar uma pirâmide e observar o triângulo retângulo formado. Basta então aplicar o Teorema de Pitágoras:


\begin{equation}
a^2=H^2+\left(\frac{\ell}{2}\right) ^2
\end{equation}
onde $a$ é o apótam da pirâmide, $H$ é a altura do sólido e $\ell$ é a medida da aresta da base, logo $\ell /2$ é o apótema da base.

Desta forma, a área lateral é calculada utilizando a fórmula para a área de triângulos, mas o aluno deve estar atento a cada elemento do sólido para que não haja confusão nas substituições.


Primeiramente deve-se calcular o apótema da pirâmide:
\begin{equation}
a^2=H^2+\frac{\ell ^2}{4}\\
a^2=\frac{4H^2 +\ell ^2}{4}\\
a=\frac{\sqrt{4H^2+\ell ^2}}{2}
\end{equation}
Agora calculamos a área da face:
\begin{equation}
A_F=\frac{\ell \cdot a}{2}=\frac{\displaystyle \ell \cdot \frac{\sqrt{4H^2+\ell ^2}}{2}}{2}=\frac{\ell \sqrt{4H^2 +\ell ^2}}{4}
\end{equation}
Para calcular a área lateral, basta multiplicar a área da face encontrada pela quantidade de faces do sólido.

Volume

O volume de um prisma é mais fácil de ser calculado, pois é o produto da área da base pela altura do sólido:
\begin{equation}
V_{\text{prisma}} = A_{\text{base}} \times \text{altura}\\
V_{\text{prisma}} = A_b \cdot H
\end{equation}
A fórmula acima é válida para qualquer prisma, seja de base triangular, retangular, hexagonal ou circular.

O volume de uma pirâmide é a terça parte do produto da área da base pela altura do sólido:
\begin{equation}
V_{\text{pirâmide}} = \frac{1}{3}\cdot A_{\text{base}} \times \text{altura}\\
V_{\text{pirâmide}} = \frac{A_b \cdot H}{3}
\end{equation}
Esta fórmula é válida para qualquer pirâmide regular, seja de base triangular, quadrada, hexagonal ou outra qualquer.

Esfera

A esfera é um caso à parte, pois as fórmulas acima não se aplicam a ela. Para sua área, usamos a fórmula:
\begin{equation}
A_{\text{esfera}} = 4\pi r^2
\end{equation}
E para seu volume, usamos:
\begin{equation}
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \pi r^3
\end{equation}
Uma forma de obter o volume da esfera é através do Princípio de Cavalieri, que diz:

Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. Em outras palavras: dois sólidos com mesma altura têm o mesmo volume se seccionados por um plano paralelo ao plano onde estão assentados, geram áreas iguais.

Pode-se ainda encontrar a área da esfera a partir de seu volume utilizando apenas conceitos básicos de Geometria, dividindo a superfície da esfera em infinitos polígonos, sendo estes, bases de pirâmides com vértice no centro da esfera.

Veja mais:

A Prancha Trigonométrica
O Princípio de Cavalieri
O Volume da Pirâmide

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