26 de jul de 2015

Resolução da integral $\displaystyle \int \text{sen}^2 (ax)dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \text{sen}^2(ax)dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C
\end{equation*}
onde $a \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$.



Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \text{sen}^2(ax)dx
\end{equation*}
Para o integrando $\text{sen}^2(ax)$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du = adx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:
\begin{equation}
I = \frac{1}{a}\int \text{sen}^2(u)du
\end{equation}
Para continuarmos a resolução, relembremos seguintes identidades trigonométricas:
\begin{equation}
\cos(2u) = \cos^2(u) - \text{sen}^2(u)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\cos^2(u) = 1 - \text{sen}^2(u)
\end{equation}
Substituindo $(3)$ em $(2)$, obtemos:
\begin{equation*}
\cos(2u) = 1- \text{sen}^2(u) - \text{sen}^2(u)\\
\cos(2u) = 1- 2\ \text{sen}^2(u)\\
2\ \text{sen}^2(u) = 1- \cos(2u)\\
\end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation}
\text{sen}^2(u) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2u)
\end{equation}
Agora, substituindo $(4)$ em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2u)\right) du
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2a}\int 1du - \frac{1}{2a} \int \cos(2u) du\\
\ \\
I = \frac{u}{2a} - \frac{1}{2a} \int \cos(2u) du
\end{equation*}
Para o integrando $\cos(2u)$, fazemos a substituição $v=2u$. Assim, $dv=2du$ e $\displaystyle du = \frac{1}{2}dv$:
\begin{equation*}
I = \frac{u}{2a} - \frac{1}{4a} \int \cos(v)dv
\end{equation*}
A integral de $\cos(v)$ é $\text{sen}(v)$:
\begin{equation*}
I = \frac{u}{2a} - \frac{1}{4a}\cdot \text{sen}(v) + C
\end{equation*}
Mas $v = 2u$, assim:
\begin{equation*}
I = \frac{u}{2a} - \frac{1}{4a} \text{sen}(2u) + C
\end{equation*}
e $u= ax$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{ax}{2a}- \frac{1}{4a}\text{sen}(2ax) + C\\
\ \\
I = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a}+C
\end{equation*}

Exemplo $1$:

Seja $f(x)=\text{sen}(x)$ e $g(x)=\text{sen}^2(x)$. Calcular a área entre as duas curvas no intervalo de $0$ a $\pi$.

Resolução: A área hachurada no gráfico acima é dada pela diferença entre a área de $f(x)$ e a área de $g(x)$, no intervalo de $0$ a $\pi$:
\begin{equation*}
A = \int_0^{\pi} f(x)dx - \int_0^{\pi} g(x)dx\\
\ \\
A = \int_0^{\pi} \text{sen}(x)dx - \int_0^{\pi} \text{sen}^2(x)dx
\end{equation*}
A integral de $\text{sen}(x)$ é $-\cos(x)$ e a integral de $\text{sen}^2(x)$ é $\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{\text{sen}(2x)}{4}$. Assim:
\begin{equation*}
A = -\left[ \cos(x) \right]_0^{\pi} - \left[ \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2x)}{4} \right]_0^{\pi}\\
\ \\
A = - \left[ \cos(\pi) - \cos(0) \right] - \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{\text{sen}(2\pi)}{4} - \frac{0}{2} + \frac{\text{sen}(0)}{4} \right]\\
\ \\
A = 1+1-\frac{\pi}{2}-\frac{0}{4}-\frac{0}{2}+\frac{0}{4}\\
\ \\
A = 2-\frac{\pi}{2} \approx 0,429204
\end{equation*}
Resposta: A área da porção hachurada no gráfico acima vale aproximadamente $0,429204\ u.a.$.

Exemplo $2$:

Seja $f(x)=\text{sen}(x)$ e $g(x)=\text{sen}^2(3x)$. Calcular a área hachurada da figura abaixo:


Resolução: A área hachurada sob a curva $f(x) = \text{sen}(x)$ está limitada pelo intervalo $[0,\pi]$. Precisamos retirar uma porção que é a área não-hachurada. Esta área que devemos subtrair da curva $f(x)$, é a curva $g(x)=\text{sen}^2(3x)$ no intervalo $\displaystyle \left[ \frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$. Então temos que:
\begin{equation*}
A = \int_0^{\pi} f(x)dx - \int_{\pi/3}^{2\pi/3} g(x)dx\\
\ \\
A =  \int_0^{\pi} \text{sen}(x)dx - \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \text{sen}^2(3x)dx
\end{equation*}
A integral de $\text{sen}(x)$ é $-\cos(x)$ e a integral de $\text{sen}^2(3x)$ é $\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{\text{sen}(6x)}{12}$. Assim:
\begin{equation*}
A = \left[ -\cos(x) \right]_0^{\pi} - \left[ \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(6x)}{12}  \right]_{\pi/3}^{2\pi/3}\\
\ \\
A =  -\left[ \cos(\pi)-\cos(0)\right] - \left[ \frac{\pi}{3}-\frac{\text{sen}(4\pi)}{12}-\frac{\pi}{6}+\frac{\text{sen}(2\pi)}{12} \right]\\
\ \\
A = - \left[-1 -1\right] - \left[ \frac{\pi}{3}-\frac{0}{12}-\frac{\pi}{6}+\frac{0}{12}\right]\\
\ \\
A = 2 - \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6} \approx 1,4764
\end{equation*}
Resposta: A área hachurada da figura acima vale aproximadamente $1,4764\ u.a.$.

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Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes

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25 de jul de 2015

Resolução da integral $\displaystyle \int \cos(ax)dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \cos(ax)dx = \frac{\text{sen}(ax)}{a}+C
\end{equation*}
onde $a \in \mathbb{R}$ e $a\neq 0$.



Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \cos(ax)dx
\end{equation*}
Para o integrando $\cos(ax)$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int \cos(u) du
\end{equation*}
A integral de $\cos(u)$ é $\text{sen}(u)$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \text{sen}(u) + C
\end{equation*}
Mas $u=ax$. Logo:
\begin{equation*}
I = \frac{\text{sen}(ax)}{a} + C
\end{equation*}

Exemplo:

Sejam $f(x)=\cos(x)$ e $g(x)=\cos(3x)$. Calcular a área hachurada.


Resolução: A área hachurada no gráfico acima é dada pela diferença entre a área de $f(x)$ no intervalo de $0$ a $\pi/2$ e a área de $g(x)$ no intervalo de $0$ a $\pi / 4$:
\begin{equation*}
A = \int_0^{\pi/2} f(x)dx - \int_0^{\pi/4} g(x)dx\\
\ \\
A = \int_0^{\pi/2} \cos(x)dx - \int_0^{\pi/4} \cos(3x)dx
\end{equation*}
A integral de $\cos(ax)$ é $\displaystyle \frac{\text{sen}(ax)}{a}$. Assim:
\begin{equation*}
A = \left[ \text{sen}(x) \right]_0^{\pi/2} - \left[ \frac{\text{sen}(3x)}{3} \right]_0^{\pi / 4}\\
\ \\
A = \left[ \text{sen}\left(\frac{\pi}{2} \right) - \text{sen}(0) \right] - \left[ \frac{\text{sen}\left(\frac{3\pi}{4}\right)}{3} - \frac{\text{sen}(0)}{3} \right] \\
\ \\
A = \left[ 1 - 0 \right] - \left[ \frac{\sqrt{2}}{6} - 0 \right]\\
\ \\
A = 1 - \frac{\sqrt{2}}{6} \\
\ \\
A \approx 0,764298
\end{equation*}

Resposta: A área na porção hachurada do gráfico acima é $0,764298\ u.a.$.

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Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes

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24 de jul de 2015

Resolução da integral $\displaystyle \int \text{sen}(ax)dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \text{sen}(ax)dx = - \frac{\cos(ax)}{a}+C
\end{equation*}
onde $a \in \mathbb{R}$ e $a\neq 0$.



Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \text{sen}(ax)dx
\end{equation*}
Para o integrando $\text{sen}(ax)$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int \text{sen}(u) du
\end{equation*}
A integral de $\text{sen}(u)$ é $-\cos(u)$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \left(-\cos(u)\right) + C
\end{equation*}
Mas $u=ax$. Logo:
\begin{equation*}
I = -\frac{\cos(ax)}{a} + C
\end{equation*}

Exemplo:

Calcular a área sob a curva $f(x)=\text{sen}(3x)$, no intervalo de $0$ a $\pi / 4$.


Resolução: Pela demonstração acima, sabemos que:
\begin{equation*}
\int \text{sen}(3x) dx = - \frac{\cos(3x)}{3}+C
\end{equation*}
Para obtermos a área sob a curva entre o limites de integração solicitados, fazemos:
\begin{equation*}
A = \int_0^{\pi/4} \text{sen}(3x)dx = - \left[ \frac{\cos(3x)}{3} \right]_0^{\pi /4} = -\left[ \frac{\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)}{3} - \frac{\cos(0)}{3} \right]
\end{equation*}
O cosseno de $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$ é o cosseno do ângulo de $135^\circ$ que vale $\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$, e o cosseno de $0$ vale $1$. Assim:
\begin{equation*}
A = - \left[ -\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{1}{3} \right] = \frac{\sqrt{2}+2}{6} \approx 0,56904
\end{equation*}

Resposta: A área sob a curva $f(x)=\text{sen}(3x)$, no intervalo de $0$ a $\pi / 4$ vale aproximadamente $0,56904 \ u.a.$.

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Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes

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22 de jul de 2015

Uma fórmula para calcular o comprimento da elipse

Ao contrário de uma circunferência, não existe uma fórmula simples para calcular exatamente o comprimento (perímetro) de uma elipse. Neste post, veremos uma expressão aproximada em função do seu semieixo maior e de sua excentricidade.


Dedução

Seja a elipse de semieixo maior $a$ e semieixo menor $b$, centrada na origem, conforme a figura acima. Sejam os pontos $(\pm c ,0)$ os focos elipse de equação reduzida dada por:
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\end{equation}
de modo que satisfaz a relação:
\begin{equation}
a^2=b^2+c^2
\end{equation}
Sua excentricidade é definida por:
\begin{equation}
e=\frac{c}{a}
\end{equation}
Para determinarmos o comprimento desta elipse, usaremos a fórmula para o cálculo de um segmento de curva, cuja dedução pode ser vista neste link:
\begin{equation}
L = \int dl = \int_a^b \sqrt{1+(y^\prime)^2}\ dx
\end{equation}
Derivando implicitamente a relação $(1)$, em relação a $x$, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2}\ y^{\prime} = 0\\
y^{\prime} = -\frac{b^2x}{a^2y}
\end{equation*}
Elevando ambos os lados ao quadrado e depois somando $1$ em cada lado, obtemos:
\begin{equation}
1+(y^{\prime})^2 = 1+\frac{b^4x^2}{a^4y^2}
\end{equation}
Isolando $y^2$ da relação $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
y^2 = b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)
\end{equation}
Substituindo a relação $(6)$ na $(5)$ e simplificando, obtemos:
\begin{equation}
1+(y^{\prime})^2 = \frac{a^4 - (a^2-b^2)x^2}{a^2(a^2-x^2)}
\end{equation}
Substituindo a relação $(2)$ na relação $(7)$, obtemos:
\begin{equation}
1+(y^{\prime})^2 = \frac{a^4-c^2x^2}{a^2(a^2-x^2)}
\end{equation}
Dividindo o numerado e o denominador do segundo membro da relação acima, obtemos:
\begin{equation}
1+(y^{\prime})^2 = \frac{\displaystyle a^2 - \frac{c^2x^2}{a^2}}{a^2-x^2}
\end{equation}
Substituindo a relação $(3)$, na relação acima, obtemos:
\begin{equation}
1 + (y^{\prime})^2 = \frac{a^2 - e^2x^2}{a^2-x^2}
\end{equation}
Substituindo a relação $(9)$ em $(4)$, obtemos:
\begin{equation}
L= 4 \int_0^a \sqrt{\frac{a^2 - e^2x^2}{a^2-x^2}} dx
\end{equation}
Fazendo uma substituição trigonométrica onde $x=a\ \text{sen}(\theta)$, temos que $dx=a\ \cos (\theta)\ d\theta$. Para $x=0$, temos $\theta=0$ e para $x=a$, temos $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}$. Assim:
\begin{equation*}
L = 4\int_0^{\pi/2} \sqrt{\frac{a^2-e^2a^2\text{sen}^2(\theta)}{a^2-a^2\text{sen}^2(\theta)}}\cdot a\ \cos(\theta) d\theta\\
\ \\
L = 4 \int_0^{\pi/2} \sqrt{\frac{1-e^2 \text{sen}^2(\theta)}{\cos^2(\theta)}}\cdot a\ \cos(\theta) d\theta
\end{equation*}
\begin{equation}
L = 4a\int_0^{\pi/2} \sqrt{1-e^2 \text{sen}^2(\theta)}\ d\theta
\end{equation}
Observe que se $e=0$, a elipse representa uma circunferência de raio a e segue da expressão $(12)$ que $L=2\pi a$ como era esperado.

A integral dada em $(12)$ é uma integral elíptica e já foi amplamente estudada por grandes matemáticos que mostraram não ser possível que expressar a integral acima em termos de funções elementares. Deste modo, para obter uma fórmula para comprimento da elipse, iremos expandir o integrando através do binômio de Newton, ou seja:
\begin{equation*}
(1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)x^2}{2!}+\frac{n(n-1)(n-2)x^3}{3!}+\cdots
\end{equation*}
Fazendo $\displaystyle n=\frac{1}{2}$ e $x=-e^2\text{sen}^2(\theta)$, obtemos:
\begin{equation*}
\left( 1-e^2\text{sen}^2(\theta) \right)^{1/2}\simeq 1 - \frac{e^2\text{sen}^2)\theta)}{2} + \frac{e^4\text{sen}^4(\theta)}{8} - \frac{e^6\text{sen}^6(\theta)}{16}
\end{equation*}
Substituindo a relação a cima em $(12)$ e integrando termo a termo, obtemos a fórmula aproximada para calcular o comprimento de uma elipse em função de sua excentricidade e do seu eixo maior, isto é:
\begin{equation}
L \simeq \pi a \left(2-\frac{e^2}{2} + \frac{3e^4}{16} - \frac{5e^6}{128} \right)
\end{equation}

Exemplo

Um jardineiro é contratado para construir um canteiro no formato de uma elipse de eixos iguais $40 m$ e $50 m$ respectivamente. Para delimitá-lo, o jardineiro construirá uma cerca com estacas e $3$ voltas de arame. Determine a quantidade de arame necessário para este projeto.

Resolução: Note que o semieixo maior é $a=25m$ e o semieixo menor é $b=20m$, de modo que $\displaystyle c=\sqrt{25^2-20^2}=15m$ e a excentricidade é $\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{15}{25}=0,6$. Usando a fórmula dada em $(13)$ segue que o comprimento de arame para dar uma volta é:
\begin{equation*}
L \simeq \pi \cdot 25 \left(2-\frac{0,6^2}{2}+\frac{3\cdot 0,6^4}{16}-\frac{5\cdot 0,6^6}{128} \right) = 144,71m
\end{equation*}
Portanto, o comprimento mínimo necessário de arame para cercar o canteiro elíptico é:
\begin{equation*}
144,71 \times 3 \simeq 434m
\end{equation*}

* Este artigo é uma republicação. O link do artigo original encontra-se nas referências.

Referências:

[1] Uma fórmula para calcular o comprimento da elipse no blog Fatos Matemáticos

Veja mais:

Fórmula para calcular um segmento de curva
Triângulos de áreas constantes na elipse
A equação da elipse

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11 de jul de 2015

O Tijolo de Euler

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Este artigo é sobre aplicação de ternos pitagóricos em um dos problemas insolúveis da Matemática.

O tijolo de Euler é um paralelepípedo regular de lados que são números inteiros $A$, $B$ e $C$, sendo $A > B > C$, cujas diagonais da face $D_{AB}$, $D_{AC}$ e $D_{BC}$ também são números inteiros. Se a diagonal principal é aquela que liga os pontos $M$ e $N$ do paralelepípedo, também for um número inteiro, o tijolo é dito perfeito. No entanto, não se conhece nenhum exemplo de um tijolo perfeito de Euler.



O tijolo simples de Euler imperfeito, com os menores valores para $A$, $B$ e $C$ que se conhece, tem as medidas: $A=240$, $B=117$ e $C=44$. As diagonais são :$D_{AB}=267$, $D_{AC}=244$ e $D_{BC}=125$. Foi descoberto em $1719$ pelo matemático Halcke.

Com o advento dos computadores, ficou muito mais fácil encontrar tijolos de Euler. Ao que parece, já são conhecido os $5.000$ menores tijolos de Euler, medidos pelo maior lado. Os $5$ primeiros são: $(240,117,44)$, $(275, 252,240)$, $(693,480,140)$, $(720,132,85)$ e $(792, 231, 160)$.

O problema matemático relacionado é encontrar uma ou mais fórmulas que produzam todos os tijolos de Euler perfeitos, casos existam. Até hoje, ninguém conseguiu isso.

Dedução das fórmulas que produzem todos os tijolos de Euler

A figura abaixo é um paralelepípedo retângulo, onde são mostradas as diagonais da base e do paralelepípedo, respectivamente.



Como os triângulos $ABD$ e $DBE$ são retângulos e além disso, fazendo coincidir a diagonal da base com um dos catetos da diagonal do paralelepípedo, obtém-se:


A diagonal $d$ da base é tal que: $d^2 = a^2 + b^2$. Para a diagonal $p$ do paralelepípedo, temos que: $p^2 = c^2 + d^2$. Portanto, a fim de que os lados, a altura e a diagonal da base do paralelepípedo sejam números inteiros, basta que os dois ternos $(b, a, d)$ e $(d,c, p)$ sejam pitagóricos.

Já que a diagonal da base é um dos catetos do triângulo retângulo que forma a diagonal do paralelepípedo, logo as dimensões de cada tijolo e sua diagonal, em números inteiros, são dadas pela quadra $(b,a,c,p)$.

Seja $b$ o lado menor do tijolo. Como o triângulo $ABD$ tem que ser pitagórico, logo $d^2=a^2+b^2$ ou:
\begin{equation}
(d+a) = \frac{b^2}{d-a}
\end{equation}
Uma vez que $a$ e $d$ são inteiros, logo $(d-a)$ tem que dividir $b^2$ sem deixar resto. Logo, $(d-a)$ são os divisores positivos de $b^2$. Seja $b$ um primo ímpar. Os divisores de $b^2$ são: $b^2$ e $1$. Substituindo $b^2$, $b$ 
 e $1$ em $(1)$, obtém-se os seguintes sistemas de equações:
\begin{equation*}
S_1=\left\{\begin{matrix}
d & - & a & = & b^2\\
d & + & a & = & 1
\end{matrix}\right.\\
\ \\
S_2=\left\{\begin{matrix}
d & - & a & = & b\\
d & + & a & = & b
\end{matrix}\right.\\
\ \\
S_3 = \left\{\begin{matrix}
d & - & a & = & 1\\
d & + & a & = & b^2
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Dos três sistemas de equações acima, somente o $S_3$ é compatível. Resolvendo o sistema $S_3$, obtém-se:
\begin{equation}
d=\frac{b^2+1}{2} \quad \text{e} \quad a=d-1
\end{equation}
Já que $p^2 = c^2 + d^2$, então:
\begin{equation}
p+c = \frac{d^2}{p-c}
\end{equation}
Como $b$ é um primo ímpar, logo $d$ pode ser uma primo ímpar ou um número composto ímpar.

Se $d$ for um primo ímpar, então chega-se aos mesmos resultados que se chegou para $b$, ou seja, três sistemas de equações $S_1$, $S_2$ e $S_3$, dos quais somente $S_3$ é compatível. E obtém-se para $p$ e $c$ as seguintes fórmulas:
\begin{equation}
p=\frac{d^2+1}{2} \quad \text{e} \quad c=p-1
\end{equation}
Resposta: Se $b$ e $d$ forem dois primos ímpares, então só existe um tijolo de Euler.

As medidas das diagonais do tijolo de Euler são dadas por:
\begin{equation*}
d=\frac{b^2+1}{2} \quad \text{diagonal da base do tijolo de Euler}\\
\ \\
p = \frac{d^2+1}{2} \quad \text{diagonal }MN\text{ do tijolo de Euler}
\end{equation*}

As dimensões do tijolo de Euler são dadas por:

$\quad a = d-1$ (lado maior)
$\quad b$ = (lado menor)
$\quad c=p-1$ (altura)

Como $d^2 = a^2+b^2$, então:
\begin{equation}
d+a = \frac{b^2}{d-a}
\end{equation}
Se $d-a=m$, então:
\begin{equation}
d+a=\frac{b^2}{m}
\end{equation}
Somando as equações membro a membro, obtém-se:
\begin{equation}
2d = \frac{b^2}{m}+m \quad \text{ou} \quad d=\frac{b^2+m^2}{2m} \quad \text{e} \quad a=d-m
\end{equation}
Suponha que $b$ seja par. Como $2d$ é sempre par, logo, a fim de que a soma $\displaystyle \frac{b^2}{m}+m$ seja par, $\displaystyle \frac{b^2}{m}$ e $m$ têm que ser ambos pares. Então, se $b$ for par, o número de soluções é igual ao número de divisores pares de $b^2$, menores que $b$, ou seja, $m < b$. Portanto, o número de triângulos pitagóricos é igual ao número de vezes em que $m$ (par) $<b$, dividir $b^2$ sem deixar resto.

Se $b$ for um número ímpar composto, então, como $2d$ é sempre par, logo, a fim de que a soma $\displaystyle \frac{b^2}{m}+m$ seja par, $m$ tem que ser ímpar. Então, o número de soluções é igual ao número de divisores de $b^2$ menores que $b^2$, ou seja, $m<b$. Portanto, o número de triângulos pitagóricos é igual ao número de vezes em que $m<b$ dividir $b^2$ sem deixar resto.

Já que $p^2=c^2+d^2$, então:
\begin{equation}
p+c = \frac{d^2}{p-c}
\end{equation}
Se $p-c=k$, então:
\begin{equation}
p+c = \frac{d^2}{k}
\end{equation}
Somando as duas equações membro a membro, obtém-se:
\begin{equation*}
2p = \frac{d^2}{k}+k \quad \text{ou} \quad p=\frac{d^2+k^2}{2k} \quad \text{e}\quad c=p-k
\end{equation*}
Se $d$ for um número par ou um ímpar não-primo, chega-se às mesmas conclusões que se chegou para $b$ par ou ímpar, ou seja, se $d$ for  par, o número de triângulos pitagóricos é igual ao número de vezes em que  $k$ (par) $< d$, dividir $d^2$ sem deixar resto. Se $d$ for ímpar composto, o número de triângulos pitagóricos é igual ao número de vezes em que $k < d$ dividir $d^2$ sem deixar resto.

As medidas das diagonais do tijolo de Euler são dadas por:
\begin{equation*}
d = \frac{b^2+m}{2} \quad \text{diagonal da base do tijolo de Euler}\\
\ \\
p=\frac{d^2 + k^2}{2k} \quad \text{diagonal }MN \text{ do tijolo de Euler}
\end{equation*}
As medidas das dimensões do tijolo de Euler são dadas por:

$\quad a=d-m$ (lado maior)
$\quad b=$ (lado menor)
$\quad c=p-k$ (altura)

Exemplo $1$:

Se o lado menor de um tijolo for $5cm$, quantos tijolos de Euler existem?

Resolução:

Cálculo da diagonal da base do tijolo de Euler

\begin{equation*}
d=\frac{5^2+1}{2}=13
\end{equation*}
Resposta: como $b=5$ e $d=13$ são ambos primos, logo, só existe um tijolo de Euler com o lado menor ou igual a $5cm$.

Cálculo da diagonal $MN$ do tijolo de Euler

\begin{equation*}
p=\frac{13^2 + 1}{2}=85
\end{equation*}

Cálculo das dimensões do tijolo de Euler

\begin{matrix}
a & = & 13-1 & = &12 \ cm\\
b & = & \ & \ & 5\ cm\\
c&  = &  85-1& = &84 \ cm
\end{matrix}

Verificação

\begin{equation*}
p=\sqrt{12^2 + 5^2 + 84^2} = \sqrt{144 + 25 + 7056} = 85
\end{equation*}

Sejam $D_{AB}$, $D_{AC}$ e $D_{BC}$, respectivamente, as diagonais do tijolo de Euler:
\begin{equation*}
D_{AB}=\sqrt{12^2+5^2}=13, \quad D_{AC}=\sqrt{12^2+84^2}=84,85 \quad \text{e} \quad D_{BC}=\sqrt{5^2+84^2}=84,15
\end{equation*}
Portanto, se a $D_{MN}$ for inteira, somente a $D_{AB}$ é inteira, ou seja, somente a diagonal da base do tijolo de Euler é inteira.

Exemplo $2$:

Se o lado menor de um tijolo for $7cm$, quantos tijolos de Euler existem?

Resolução:


Cálculo da diagonal da base do tijolo de Euler

\begin{equation*}
d = \frac{7^2+1}{2}=25\ cm
\end{equation*}
Como a diagonal da base do tijolo de Euler é um número composto ímpar, logo, o número de tijolos será igual ao número de vezes em que $m<25$ dividir $25^2$ sem deixar resto. Os divisores de $25^2$ menores que $25$ são: $1$ e $25$. Portanto, existem dois tijolos de Euler com o lado menor igual a $7$.

Cálculo da diagonal $MN$ do tijolo de Euler

\begin{equation*}
1^o\text{ tijolo:}\ p_1=\frac{25^2+1}{2\cdot 1}=313\ cm\\
\ \\
2^o \text{tijolo:}\ p_2=\frac{25^2 + 5^2}{2\cdot 5}=65\ cm
\end{equation*}

Cálculo das dimensões de cada tijolo de Euler

$1^o$ tijolo:
\begin{matrix}
a & = & d-1 & 25-1 & = & 24 \ cm\\
b & = & \ & \ & \ & 7\ cm\\
c &  = & p-k & 313-1& = & 312 \ cm
\end{matrix}Verificação:
\begin{equation*}
p = \sqrt{24^2 + 7^2 + 312^2} = 313 \ cm
\end{equation*}

$2^o$ tijolo:
\begin{matrix}
a & = & d-1 & 25-1 & = & 24 \ cm\\
b & = & \ & \ & \ & 7\ cm\\
c &  = & p-k & 65-5& = &60 \ cm
\end{matrix}
Verificação:
\begin{equation*}
p = \sqrt{24^2 + 7^2  + 60^2} = 65\ cm
\end{equation*}

Exemplo $3$:

O matemático Halcke encontrou apenas um tijolo de Euler com o menor lado igual a $44$. Quantos tijolos de Euler existem com o menor lado igual a $44$?

Resolução

Os divisores de $44^2$, menores que $44$ são: $2$, $4$, $8$ e $16$. Portanto, tem-se que $m=2,4,8,16$.

Cálculo das diagonais da base, principal e das dimensões do tijolo de Euler

Para: $\displaystyle d_1=\frac{44^2+2^2}{2 \times 2} = 485$, temos que os divisores de $485^2$, menores que $485$ são: $1,5,25$ e $97$.

Para o divisor $1$:
\begin{equation*}
p_1=\frac{485^2 + 1}{2} = 117613
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & d_1 - m & 485-2 & = & 483\\
b & = & \ & \ & \ & 44\\
c &  = & p_1 - k & 117613-1& = & 117612
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_1 = \sqrt{44^2 + 483^2 + 117612^2}=117612$


Para o divisor $5$:
\begin{equation*}
p_2=\frac{485^2 + 5^2}{2 \times 5} = 23525
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & \ & \ & 483\\
b & = & \ & \ &44\\
c & = & 23525-5 & = & 23520
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_2 = \sqrt{483^2 + 44^2 + 23520^2}=23525$

Para o divisor $25$:
\begin{equation*}
p_3=\frac{485^2 + 25^2}{2 \times 25} =4717
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & \ & \ & 483\\
b & = & \ & \ &44\\
c & = & 4717-25 & = & 4692
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_3 = \sqrt{483^2 + 44^2 + 4692^2}=4717$

Para o divisor $97$:
\begin{equation*}
p_4=\frac{485^2 + 97^2}{2 \times 97} =1261
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & \ & \ & 483\\
b & = & \ & \ &44\\
c & = & 1261-97 & = & 1164
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_4 = \sqrt{483^2 + 44^2 + 1164^2}=1261$

Para: $\displaystyle d_2=\frac{44^2+4^2}{2 \times 4} = 244$, temos que os divisores pares de $244^2$, menores que $\displaystyle \frac{244}{2}$ são: $2,4,8$ e $16$.

Para o divisor $2$:
\begin{equation*}
p_5=\frac{244^2 + 2^2}{2 \times 2} =14885
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & 244-4 & = & 240\\
b & = & \ & \ &44\\
c & = & 14885-2 & = & 14883
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_5 = \sqrt{240^2 + 44^2 + 14883^2}=14885$

Para o divisor $4$:
\begin{equation*}
p_6=\frac{244^2 + 4^2}{2 \times 4} =7444
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & \ & \ & 240\\
b & = & \ & \ &44\\
c & = & 7444-4 & = & 7440
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_6 = \sqrt{240^2 + 44^2 + 7440^2}=7444$

Para o divisor $8$:
\begin{equation*}
p_7=\frac{244^2 + 8^2}{2 \times 8} =3725
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & \ & \ & 240\\
b & = & \ & \ &44\\
c & = & 3725-8 & = & 3717
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_7 = \sqrt{240^2 + 44^2 + 3717^2}=3725$

Para o divisor $16$:
\begin{equation*}
p_8=\frac{244^2 + 16^2}{2 \times 16} =1865,5\\
\end{equation*}
$p_8$ não é inteiro, porque $\displaystyle \frac{d^2}{k}=\frac{244^2}{16}$ é ímpar.

Para: $\displaystyle d_3=\frac{44^2+8^2}{2 \times 8} =125$, temos que os divisores pares de $125^2$, menores que $125$ são: $1,5$ e $25$.

Para o divisor $1$:
\begin{equation*}
p_9=\frac{125^2 +1}{2} =7813
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & 125-8 & = & 117\\
b & = & \ & \ &44\\
c & = & 7813-1 & = & 7812
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_9 = \sqrt{117^2 + 44^2 + 7812^2}=7813$

Para o divisor $5$:
\begin{equation*}
p_{10}=\frac{125^2 +5^2}{2 \times 5} =1565
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & \ & \ & 117\\
b & = & \ & \ &44\\
c & = & 1565-5 & = & 1560
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_{10} = \sqrt{117^2 + 44^2 + 1560^2}=1565$

Para o divisor $25$:
\begin{equation*}
p_{11}=\frac{125^2 +25^2}{2 \times 25} =325
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & \ & \ & 117\\
b & = & \ & \ &44\\
c & = & 325-25 & = & 300
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_{11} = \sqrt{117^2 + 44^2 + 300^2}=325$

Para: $\displaystyle d_4=\frac{44^2+16^2}{2 \times 16} = 68,$

$d_4$ não é inteiro porque $\displaystyle \frac{b^2}{m}=\frac{44^2}{16}$ é ímpar.

Para: $\displaystyle d_5=\frac{44^2+22^2}{2 \times 22} = 55$, temos que os divisores de $55^2$, menores que $55$ são: $1,5,11$ e $25$.

Para o divisor $1$:
\begin{equation*}
p_{12}=\frac{55^2 +1}{2} =1513
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & 55-22 & = & 33\\
b & = & \ & \ &44\\
c & = & 1513-1 & = & 1512
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_{12} = \sqrt{44^2 + 33^2 + 1512^2}=1513$

Para o divisor $5$:
\begin{equation*}
p_{13}=\frac{55^2 +5^2}{2 \times 5} =305
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & \ & \ & 33\\
b & = & \ & \ &44\\
c & = & 305-5 & = & 300
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_{13} = \sqrt{44^2 + 33^2 + 300^2}=305$

Para o divisor $11$:
\begin{equation*}
p_{14}=\frac{55^2 +11^2}{2 \times 11} =143
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & \ & \ & 33\\
b & = & \ & \ & 44\\
c & = & 143-11 & = & 132
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_{14} = \sqrt{44^2 + 33^2 + 132^2}=143$

Para o divisor $25$:
\begin{equation*}
p_{15}=\frac{55^2 +25^2}{2 \times 25} =73
\end{equation*}
\begin{matrix}
a & = & \ & \ & 33\\
b & = & \ & \ & 44\\
c & = &73-25 & = & 48
\end{matrix}
Verificação: $\displaystyle p_{15} = \sqrt{44^2 + 33^2 + 48^2}=73$

Resposta:

Existem $15$ tijolos de Euler com o menor lado igual a $44$.

Desprezando-se a condição de a diagonal $MN$ do tijolo ser um número inteiro, não é difícil, e sim trabalhoso, encontrar as dimensões e as diagonais do tijolo determinadas pelo matemático Halcke.

Como a menor dimensão do tijolo é $44$, basta achar os divisores pares de $44^2$menores que $44$.

Foi visto, anteriormente, que com os divisores $2$, $4$ e $8$, foram encontradas as seguintes diagonais: $d_1=485$, $d_2=244$ e $d_3=125$.

Subtraindo de $485$, $244$ e $125$, respectivamente, os divisores $2$, $4$ e $8$, obtém-se as seguintes dimensões: $485-2=483$, $244-4=240$ e $125-8=117$.

As dimensões do tijolo com as diagonais com números inteiros são uma das três:
\begin{matrix}
\color{blue}{a} & \ & \color{green}{b} &\ & \color{red}{c}\\
44 &\ & 240 &\ & 483\\
44 &\ & 117 &\ & 483\\
44 &\ & 117 &\ &240
\end{matrix}

Como para cada diagonal da base do tijolo há duas dimensõess, basta que combinemos três dimensões duas a duas e, em seguida, determinar a diagonal.
\begin{equation*}
\left\{
\begin{matrix}
44 & \text{e} & 240 & : & d_1 & = & \sqrt{44^2+240^2} & = & 244\\
44 & \text{e} & 483 & : & d_2 & = & \sqrt{44^2+483^2} & = & 485\\
240 & \text{e} & 483 & : & d_3 & = & \sqrt{240^2+483^2} & = & 539,34
\end{matrix}
\right.
\end{equation*}

\begin{equation*}
\left\{
\begin{matrix}
44 & \text{e} & 117 & : & d_1 & = & \sqrt{44^2+117^2} & = & 125\\
44 & \text{e} & 483 & : & d_2 & = & \sqrt{44^2+483^2} & = & 485\\
117 & \text{e} & 483 & : & d_3 & = & \sqrt{117^2+483^2} & = & 486,97
\end{matrix}
\right.
\end{equation*}

\begin{equation*}
\left\{
\begin{matrix}
44 & \text{e} & 117 & : & d_1 & = & \sqrt{44^2+117^2} & = & 125\\
44 & \text{e} & 240 & : & d_2 & = & \sqrt{44^2+240^2} & = & 244\\
117 & \text{e} & 240 & : & d_3 & = & \sqrt{117^2+240^2} & = & 267
\end{matrix}
\right.
\end{equation*}

As mesmas dimensões $(44,117,240)$ e as mesmas diagonais $(125,244,267)$ encontradas por Halcke.

Conclusão

Baseando-se nos resultados obtidos, pode-se elaborar as três seguintes conjecturas:

$1)$ Com a condição de a diagonal $MN$ do tijolo de Euler ser um inteiro, apenas a diagonal da base é um número inteiro;

$2)$ Não existe tijolo de Euler perfeito;

$3)$ Exestem tijolos de Euler quase-perfeitos.

Autor

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog.

Veja mais:

Sobre os primos gêmeos
A conjectura de Beal - Casos particulares
O problema da arrumação das bolas em forma de quadrado


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7 de jul de 2015

Resolução da integral $\int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = -\frac{e^{-bx}}{ab}+C
\end{equation*}
onde $a$ e $b \in \mathbb{R}$ e $a$ e $b \neq 0$.


Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = \int \frac{e^{-bx}}{a} dx
\end{equation*}
Fatoramos as constantes:
\begin{equation*}
I =  \frac{1}{a} \int e^{-bx}dx
\end{equation*}
Para o integrando $\displaystyle e^{-bx}$, fazemos a substituição $u = -(bx)$. Assim, $du = -b\ dx$ e $\displaystyle dx = -\frac{1}{b}du$:
\begin{equation*}
I = -\frac{1}{ab} \int e^u du
\end{equation*}
A integral de $e^u$ é $e^u$. Assim:
\begin{equation*}
I = - \frac{e^u}{ab} + C
\end{equation*}
Mas $u = -bx$, logo:
\begin{equation*}
I = -\frac{e^{-bx}}{ab} + C
\end{equation*}
Se $a=b=1$, então temos:
\begin{equation*}
I = -e^{-x}+C
\end{equation*}

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Veja mais:

Lista de resolução e integrais
Integração por substituição
Integração por partes


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28 de jun de 2015

Resolução da integral $\int \frac{1}{a-bx}dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{a-bx}dx = -\frac{\ln(a-bx)}{b}+C
\end{equation*}
onde $a$ e $b$ são constantes tais que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq bx$ e $b \neq 0$.


Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{a-bx}dx
\end{equation*}
Fazemos a substituição $u = a-bx$. Assim, $du= - b\ dx$ e $\displaystyle dx = -\frac{du}{b}$:
\begin{equation*}
I = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{b}\\
\ \\
I = -\frac{1}{b} \int \frac{1}{u}du
\end{equation*}
A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln(u)$. Assim:
\begin{equation*}
I = - \frac{1}{b} \ln(u)+C
\end{equation*}
Mas $u=a-bx$, logo:
\begin{equation*}
I = -\frac{1}{b} \ln(a-bx) + C\\
\ \\
I = - \frac{\ln(a-bx)}{b}+C
\end{equation*}

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Veja mais:

Lista de resolução e integrais
Integração por substituição
Integração por partes



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24 de jun de 2015

Triângulos órticos

O triângulo é objeto de estudo desde a antiguidade. Nos remotos tempos de Tales, Pitágoras e Arquimedes já sabia-se algumas de sua propriedades e com o passar dos séculos, os matemáticos e entusiastas vieram a descobrir muitas outras mais. Uma dessas propriedades é que da intersecção das três alturas de um triângulo, obtém-se um ponto denominado ortocentro, que é único em um triângulo.




Ao unirmos os pés dessas alturas, obtemos um novo triângulo denominado triângulo órtico, justamente por ser obtido através da construção do ortocentro.

Definição

Chama-se órtico de um triângulo $ABC$ qualquer, o triângulo cujos vértices são os pés das alturas do triângulo $ABC$.


O ortocentro existe em qualquer triângulo, seja ele acutângulo, obtusângulo ou retângulo. No entanto, o triângulo órtico só existe no triângulo acutângulo e no obtusângulo, pois no triângulo retângulo os pés das três alturas se coincidem num mesmo ponto, que é o vértice do triângulo que contém o ângulo reto.

Todo triângulo não-retângulo possui um único triângulo órtico. Porém, um mesmo triângulo órtico pode ser obtido de quatro triângulo diferentes: um acutângulo e três obtusângulos.



A figura acima mostra os quatro triângulos que possuem o mesmo órtico. Note que o triângulo acutângulo $ABC$ contém os outros três triângulos obtusângulos, e por este motivo o triângulo acutângulo é denominado triângulo fundamental do triângulo órtico.

Teorema

As alturas de um triângulo acutângulo são as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo órtico.

Demonstração

Primeiramente, vemos que os ângulos $A\widehat{B}H$ e $A\widehat{C}H$ são congruentes e medem $\alpha$.



Vamos provar que os ângulos $A\widehat{H_a}H_b$ e $A\widehat{H_a}H_c$ são congruentes e também medem $\alpha$.

Observemos que os quadriláteros $HH_aCH_b$ e $HH_aBH_c$ são inscritíveis, por possuírem cada um deles um par de ângulos opostos retos e, portanto, suplementares. Do quadrilátero $HH_aCH_b$, deduzimos que $A\widehat{H_a}H_b \equiv A\widehat{C}H_c$, pois são ângulos inscritos que enxergam o mesmo arco $HH_b$:
\begin{equation}
A\widehat{H_a}H_b = \alpha
\end{equation}
Analogamente, do quadrilátero $HH_aBH_c$, deduzimos que $A\widehat{H_a}H_c \equiv A\widehat{B}H_c$:
\begin{equation}
A\widehat{H_a}H_c = \alpha
\end{equation}
Igualando as relações $(1)$ e $(2)$, obtemos que:
\begin{equation}
A\widehat{H_a}H_b\equiv A\widehat{H_a}H_c
\end{equation}
A relação $(3)$ mostra que a altura $\overline{AH_a}$ do triângulo $ABC$ é a bissetriz de um ângulo interno do triângulo órtico.

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos provar que as outras duas alturas são as bissetrizes dos outros dois ângulos internos do triângulo órtico.


Construção geométrica do triângulo órtico a partir do triângulo fundamental

Dado um triângulo acutângulo $ABC$, veremos como construir seu triângulo órtico. Para tal, devemos traçar as três alturas.

$1)$ Seja um triângulo acutângulo $ABC$ dado:



$2)$ Primeiramente vamos construir a altura $\overline{AH_a}$, referente ao lado $\overline{BC}$. Com a ponta seca do compasso em $A$, descrevemos um arco que corta o lado $\overline{BC}$ em nos pontos $P_1$ e $P_2$:



$3)$ Em seguida, construímos a mediatriz do segmento definido pelos pontos $P_1$ e $P_2$. Com a ponta seca do compasso em $P_1$, descrevemos um arco de raio maior que a metade do segmento $\overline{P_1P_2}$. Em seguida, descrevemos outro arco de mesmo raio centrado em $P_2$. A reta que passa pela intersecção desses arcos, também passa pelo ponto $A$ e define a altura $\overline{AH_a}$:



$4)$ Analogamente, construímos as alturas $\overline{BH_b}$ e $\overline{CH_c}$ respectivamente aos lados $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$ do triângulo:



$5)$ Unindo os pés das alturas $H_a$, $H_b$ e $H_c$, construímos o triângulo órtico $H_aH_bH_c$ referente ao triângulo $ABC$.



Referências:

[1] Desenho Geométrico Volume Especial - Putnoki - Ed. Scipione

Veja mais:


Pontos notáveis de um triângulo
Os pontos de Brocard em um triângulo 
Relações métricas no triângulo retângulo

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14 de jun de 2015

O teorema da corda quebrada de Arquimedes

O matemático árabe Abul Raihan al Biruni atribui a Arquimedes, uma elegante proposição geométrica, chamada teorema da corda quebrada o qual enunciaremos abaixo:


Teorema (Arquimedes):

Se $AB$ e $BC$ compõem uma corda quebrada $ABC$, onde $BC > AB$ e se $M$ é o ponto médio do arco $A\widehat{B}C$, então o pé $F$ da perpendicular de $M$ sobre $BC$ é o ponto médio da corda quebrada.

Demonstração:

Na figura acima, provaremos que:
\begin{equation*}
AB + BF = FC = \frac{AB+BC}{2}
\end{equation*}
Desde que $AB < BC$ existe um ponto $E$ sobre $BC$ tal que $EC = AB$.

Por hipótese, $M$ é o ponto médio do arco $A\widehat{M}B$, de modo que $AM = MC$, pois cordas de arcos congruentes são congruentes. Além disso, $\hat{A} = \hat{C}$, pois são ângulos de um mesmo arco $\hat{BM}$. Sendo $EC = AB$, segue que $\triangle ABM \simeq \triangle CEM$.

Desta congruência desses triângulos, segue que $BM = ME$ o que prova que o $\triangle MBE$ é isósceles. Sendo $MF$ sua altura, então $\triangle BMF \simeq EMF$, pois $B\hat{F}M = E\hat{F}M = 90^{\circ}$, $MF = MF$ e $BM = ME$. Assim, $BF = FE$, de modo que
\begin{equation*}
AB + BF = EC + FE = FC
\end{equation*}
Logo,
\begin{equation*}
AB + BC = (AB + BF) + FC = 2FC \quad \Rightarrow FC = AB + BF = \frac{AB+BC}{2}
\end{equation*}

Consequência:

Se o arco $\widehat{MC} = 2\alpha$ e o arco $\widehat{BM} = 2\beta$, então
\begin{equation}
\sin(\alpha - \beta) = \text{sen} (\alpha) \cos (\beta) - \text{sen} (\beta) \cos (\alpha)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\sin(\alpha + \beta) = \text{sen} (\alpha) \cos (\beta) + \text{sen} (\beta) \cos (\alpha)
\end{equation}
Na figura abaixo, $ABC$ é a corda quebrada, $OC = OB = OM = r$.



No $\triangle OGM$,
\begin{equation*}
\sin \alpha = \frac{MG}{OR} = \frac{MC/2}{r} \Longrightarrow MC = 2r \text{sen}( \alpha)
\end{equation*}
e no $\triangle OBH$,

No $\triangle CFM$ retângulo em $F$, $M\hat{C}F = B\hat{O}M/2$, ou seja, $M\hat{C}F = \beta$. Assim,
\begin{equation*}
FC = 2r \text{sen} (\alpha) \cos (\beta)
\end{equation*}
Analogamente, no triângulo retângulo $BFM$, temos $M\hat{B}F = M\hat{O}C/2 = \alpha$. Assim
\begin{equation*}
\cos (\alpha) = \frac{BF}{BM} \Longrightarrow BF = 2r \text{sen} (\beta) \cos (\alpha)
\end{equation*}
Pelo teorema da corda quebrada, $AB + BF = FC$, de modo que
\begin{equation*}
AB = FC - BF \Longrightarrow  AB = 2r(\text{sen} (\alpha) \cos (\beta) - \text{sen}(\beta) \cos (\alpha))
\end{equation*}
No $\triangle BOI$ retângulo em $I$,
\begin{equation*}
\text{sen} (\gamma) = \frac{BI}{OB} = \frac{AB/2}{r}  \Longrightarrow AB = 2r \text{sen} (\gamma)
\end{equation*}
Mas o arco $\widehat{AM} = \widehat{MC}$, donde segue que $2\gamma + 2\beta = 2\alpha \Longrightarrow \gamma = \alpha - \beta$. Logo:
\begin{equation*}
AB = 2r \text{sen}(\alpha - \beta)  \Rightarrow  2r \text{sen}(\alpha - \beta) = 2r(\text{sen} (\alpha) \cos (\beta) - \text{sen} (\beta) \cos (\alpha))
\end{equation*}
donde segue a identidade $(1)$.

Para provar a identidade $(2)$, sabemos do teorema da corda quebrada que $BF + FC = BC$ e que o arco $\widehat{BC} = 2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta)$ . Assim,
\begin{equation*}
\text{sen}(\alpha + \beta) = \text{sen}\left(\frac{\widehat{BC}}{2}\right) = \frac{BC/2}{r} \Longrightarrow BC = 2r \text{sen}(\alpha + \beta)
\end{equation*}
Logo,
\begin{equation*}
2r \text{sen}(\alpha + \beta) = BC = BF + FC = 2r \text{sen}(\alpha) \cos (\beta) + 2r \text{sen} (\beta) \cos (\alpha)
\end{equation*}
donde segue a demonstração.

*Este artigo é uma republicação. O link do artigo original encontra-se nas referências.

Referências:

[1] O teorema da corda quebrada de Arquimedes no blog Fatos Matemáticos

Veja mais:

O cálculo no Japão
O corpus arquimediano
Teorema do ângulo inscrito

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