22/11/2014

A Conjectura de Beal - Casos Particulares

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)  

É impressionante a quantidade de problemas na teoria dos números de fácil entendimento, mesmo para os não matemáticos, e de soluções extremamente complicadas, mesmo para os matemáticos. Isso quando elas existem. Não poderia deixar de citar dois dos mais conhecidos: o Último Teorema de Fermat e a Conjectura de Goldbach. O primeiro deles foi resolvido em $1994$, pelos matemáticos Andrew Wiles e Richard Taylor, e o segundo possui apenas soluções parciais.

É justamente sobre um problema de fácil entendimento e ainda sem solução que vamos falar nos próximos parágrafos. Em geral, esse tipo de problema é chamado de conjectura ou de problema em aberto.


Andrew Beal, banqueiro e entusiasta da teoria dos números, está oferecendo o prêmio de 1 milhão de dólares para quem provar ou apresentar um contra-exemplo para um problema que generaliza o Último Teorema de Fermat. Segundo as próprias palavras do banqueiro, em um comunicado à imprensa da American Mathmatical Society, o objetivo do prêmio milionário é "inspirar as mentes jovens a refletir sobre a questão e torná-las mais interessadas no estudo da matemática".

O problema foi proposto pelo próprio Beal em $1993$, mas só ficou bem conhecido mesmo pela comunidade matemática em $1997$ após R. D. Mauldin publicar o artigo A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem no periódico Notices of the American Mathematical Society. Daí o problema de Beal ficou conhecido como Conjectura de Beal. Afinal, o que diz a conjectura?

Conjectura de Beal:

Se $a^x + b^y = c^z$, onde $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ e $z$ são inteiros positivos e $x, y, z \geq 3$, então $a$, $b$ e $c$ têm um fator primo comum - o que significa que $a$, $b$ e $c$ são divisíveis por um mesmo número primo.

Uma outra forma equivalente de enunciar a Conjectura de Beal seria:

A equação $a^x + b^y = c^z$ não tem solução para inteiros positivos com $x, y, z \geq 3$ e o $mdc(a,b,c)=1$.

Esse problema tem despertado a curiosidade de matemáticos nos últimos $17$ anos, inclusive do próprio Beal, que, como dito acima, é um apaixonado pela matemática.

Falaremos agora um pouco mais do problema em si. Primeiro, note que a igualdade $3^3 + 6^3 = 3^5$ não é um contra exemplo para a conjectura, visto que os números $a = 3$, $b = 6$ e $c = 3$ tem um fator primo comum, que é o primo $3$.

"[...] em $1995$, Darmon e Granville mostraram que os inteiros positivos $x$, $y$ e $z$ são tais que:
\begin{equation*}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < 1
\end{equation*}
então existe somente uma quantidade finita de tripla $(a,b,c)$ de inteiros primos entre si que satisfazendo a equação $a^x+b^y=c^z$. Ora, dado que cada um dos inteiros $x$, $y$ e $z$ são maiores do que $2$, então:
\begin{equation*}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < 1
\end{equation*}
a menos que $x=y=z=3$. Mas Euler, e possivelmente Fermat, sabia(m) que não há soluções neste caso. Assim, para cada tripla $x$, $y$ e $z$ de inteiros, todos maiores do que $2$, só pode haver apenas uma quantidade finita de soluções para a equação diofantina  $a^x + b^y = c^z$. –  R. D. Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem. Notices of the American Mathematical Society. $44$, $1436-1437$, $1997$."

Um contra exemplo à conjectura de Beal, seria encontrar uma solução em inteiros da equação $a^x + b^y = c^y$ com todos os expoentes maiores que dois, sem existir um fator primo comum à $a$, $b$ e $c$. Por exemplo, a equação $2^5 + 7^2 = 3^4$ não é um contra exemplo, mesmo sendo $mdc(2, 7, 3) = 1$, haja vista que os expoentes de $a$, $b$ e $c$ não são todos maiores que $2$.

A equação $27^2 + 18^3 = 81^2$ também não é um contra exemplo, haja vista que o $mdc(27, 18, 81) = 3 > 1$, além de os expoentes de $a$, $b$ e $c$ não são todos maiores que $2$.

A seguir vamos mostrar, por meio do teorema de Sebá, os dois casos particulares para os quais a conjectura de Beal é verdadeira.

Teorema de Sebá:

A equação $a^n+b^n = c^m$ tem solução em inteiros positivos para $n$ e $m$ primos entre si.

Demonstração:

Seja $a^n+b^n=c^m$, com $a$, $b$, $c$, $n$ e $m$ inteiros positivos. Multiplicando ambos os membros de $a^n+b^n=c^m$ por $(a^n+b^n)^m$, obtém-se:
\begin{equation}
(a^n+b^n)(a^n+b^n)^m = (a^n+b^n)^m c^m
\end{equation}
Como $c^m=a^n+b^n$, logo, substituindo o valor de $c^m$ na relação $(1)$, obtém-se:
\begin{equation*}
(a^n+b^n)(a^n+b^n)^m = (a^n+b^n)^{m+1}
\end{equation*}
ou
\begin{equation}
a^n( a^n+b^n)^m + b^n(a^n+b^n) = (a^n + b^n)^{m+1}
\end{equation}
Na relação $(2)$, $a^n+b^n$ é o fator primo comum a $a$, $b$ e $c$. Se escolhermos valores para $a$ e $b$ tal que $a \leq b$ ou $a \geq b$, e substituirmos na $(2)$, obtém-se infinitas soluções em inteiros positivos com fator primo comum a $a$, $b$ e $c$.

Façamos os mesmo para a Conjectura de Beal: multiplicando ambos os membros da equação de Beal por $(a^x+b^y)^m$, obtém-se:
\begin{equation}
(a^x+b^y)^m (a^x+b^y) = c^z(a^x+b^y)^m
\end{equation}
Como $c^z = a^x+b^y$, logo, substituindo em $93)$, vem que:
\begin{equation*}
(a^x+b^y)^m (a^x+b^y)=(a^x+b^y)^m(a^x+b^y)
\end{equation*}
ou
\begin{equation}
(a^x+b^y)^m (a^x+b^y)=(a^x+b^y){m+1}
\end{equation}
Na $(4)$, $a^x+b^y$ é o fator primo comum à $a$, $b$ e $c$, haja vista que $a^x+b^y$ divide $(a^x+b^y)^m$.

Segundo Euler, "se temos um problema e se não for possível resolvê-lo imediatamente, é prudente estimar sua dificuldade analisando alguns casos particulares". É o que veremos a seguir.

Dois casos particulares para a veracidade da Conjectura de Beal

Caso $1$: Se $x=y$ e $mdc(x,y,z)=1$

Exemplos:

$\bullet$  $a^3  +  b^3  =  c^{4,5,7,8,10,11,\cdots}$

$\bullet$  $a^4  +  b^4 =  c^{3,5,7,9,11,13, \cdots}$

$\bullet$  $a^5  +  b^5 =  c^{2,3,4,6,7,8,\cdots}$


Caso $2$: se $x \neq y$ e $mdc(x,y,z)=1$

Exemplos:

$\bullet$ $a^3+b^4=c^{5,7,11,13, 17,19,\cdots}$ ou $a^{12}+b^{12}=c^{5,7,11,13, 17,19,\cdots}$ ou $(a^4)^3+(b^3)^4=c^{5,7,1,13,17,19,\cdots}$

$\bullet$ $a^3+b^5=c^{4,7,8,10, 11,13,\cdots}$ ou $a^{15}+b^{15}=c^{4,7,8,10,11,13,\cdots}$ ou  $(a^5)^3+(b^3)^5=c^{4,7,8,10,11,13,\cdots}$

$\bullet$ $a^3+b^6=c^{5,7,8,10,11,12,\cdots}$ ou $a^18+b^18=c^{5,7,8,10,11,12,\cdots}$ ou $(a^6)^3+(b^3)^6=c^{5,7,8,10,11,13,\cdots}$

Método de resolução da Equação de Beal para os dois casos

Caso $1$: $a^3+b^3=c^4$

Como o expoente de $a$ e $b$ é $3$, logo, substituindo na $(4)$ $x$ e $y$ por $3$, obtém-se:
\begin{equation}
a^3(a^3+b^3)^m + b^3(a^3+b^3)^m=(a^3+b^3)^{m+1}
\end{equation}
Como na equação, $a^3 + b^3 = c^4$, o membro da esquerda tem expoente $3$ e o da direita,  expoente $4$, logo, temos que encontrar dois números $m$ e $m + 1$ que seja possível decompor m em potência de $3$ e $m + 1$ em potência de $4$. Isso só será possível se $m$ e $m + 1$ forem, respectivamente, múltiplo de $3$ e $4$. Logo, $m = 12k – 9$ e $m + 1 = 12k – 8$.

Substituindo os valores de $m$ e $m + 1$ na $(5)$, vem:
\begin{equation}
a^3(a^3+b^3)^{12k-9} + b^3(a^3+b^3)^{12k-9} = (a^3+b^3)^{12k-8}
\end{equation}
Seja $k=a=b=1$. Substituindo os valores de $k$, $a$ e $b$ na $(6)$, vem que:
\begin{equation*}
1^3(1^3+1^3)^3 + 1^3(1^3+1^3)^3 = (1^3+1^3)^4\\
2^3+2^3=2^4\\
8+8=16
\end{equation*}
Solução: $a=b=c=2$ (fator primo comum: $2$).

Se escolhermos, por exemplo, $k=a=1$ e $b=2$, e substituirmos na $(6)$, obteremos:
\begin{equation*}
1^3(1^3+2^3)^3 + 2^3(1^3+2^3)^3 = (1^3+2^3)^4\\
9^3+2^3(9^3)=9^4\\
9^3+18^3=6561
\end{equation*}
Solução: $a=c=0$ e $b=18$ (fator primo comum: $3$).

Conclusão: Qualquer que seja o valor de $k \neq 0$, $a$, $b$ e $c$ terão sempre um fator primo comum à $a$, $b$ e $c$.

Caso $2$: $a^3+b^4=c^5$

Note que o $mdc(3, 4, 5) = 1$, só que o teorema de Sebá exige que os expoentes de $a$ e $b$ sejam iguais. A fim de que os expoentes de $a$ e $b$ sejam iguais, basta que os expoentes de $a$ e $b$ sejam iguais a $12$, ou seja, $3 \times 4$.

Encontrar solução em inteiros para a equação $a^3 + b^4 = c^5$, é o mesmo que encontrar solução em inteiros para a equação $a^{12} + b^{12} = c^5$, haja vista que podemos escrever $a^{12} + b^{12} = c^5$ como: $(a^4)^3 + (b^3)^4 = c^5$. Como o expoente de $a$ e $b$ é $12$, logo, substituindo na $(4)$ os valores de $x$, $y$ e $z$ por $12$, obtém-se:
\begin{equation}
a^{12}(a^{12}+b^{12})^m + b^{12}(a^{12}+b^{12})^m=(a^{12}+b^{12})^{m+1}
\end{equation}
Como na equação $a^{12}+b^{12}=c^5$, o membro da esquerda tem expoente $12$ e o da direita tem expoente $5$, logo, temos que encontrar dois números $m$ e $m+1$ que seja possível decompor $m$ em potência de $12$ e $m+1$ em potência de $5$. Isso só será possível se $m$ e $m+1$ forem respectivamente múltiplos de $12$ e $5$. Logo, $m=60k-36$ e $m+1=60k-35$. Substituindo os valores de $m$ e $m+1$ na relaçao $(7)$, vem que:
\begin{equation}
a^{12}(a^{12}+b^{12})^{60k-36} + b^{12}(a^{12}+b^{12})^{60k-36} = (a^{12}+b^{12})^{60k-35}
\end{equation}
Seja $k=a=b=1$. Substituindo os valores de $k$, $a$ e $b$ na relação $(8)$, vem que:
\begin{equation*}
2^{24} + 2^{24} = 2^{25}\\
(2^8)^3 + (2^6)^4 = (2^6)^4\\
256^3 + 64^4 = 32^5
\end{equation*}
Solução: $a=256$, $b=64$ e $c=32$ (fator primo comum: $2$).

Se escolhermos, por exemplo, $k=a=1$ e $b=2$, e substituirmos na $(8)$, obteremos:
\begin{equation*}
(4097^8)^3 + (2 (4097^6))^4 = (4097^5)^5
\end{equation*}
Solução: $a=4097^8$, $b=2(4097)^6$ e $c=4097^5$ (fator primo comum: $241).

Outros dois casos particulares para os quais a Conjectura de Beal é verdadeira

Caso 1:

Se $A=B=C=2$, $x=y=2n > 2$ e $z=2n+1 \geq 2$, então a equaçã ode Beal tem solução.

Demonstração:

\begin{equation*}
2^{2n} + 2^{2n} = 2^{2n+1}\\
2^{2n} (1+1) = 2^{2n+1}\\
2 = 2^{2n+1} \cdot 2^{-2n}\\
2 = 2^{2n+1+(-2n)}\\
2=2
\end{equation*}

Exemplos:

$\bullet$ $2^4+2^4 = 2^5$ (O número $2$ é um fator primo comum a $A$, $B$ e $C$)

$\bullet$ $2^6+2^6 = 2^7$ (O número $2$ é um fator primo comum a $A$, $B$ e $C$)

$\bullet$ $2^8+2^8=2^9$ (O número $2$ é um fator primo comum a $A$, $B$ e $C$)

E assim por diante.

Caso $2$:

Se $A=B=C=2$, $x=y=2n+1>2$ e $z=2n+2>2$, então a equação de Beal tem solução.

Demonstração:

\begin{equation*}
2^{2n+1} + 2^{2n+1} = 2^{2n+2}\\
2^{2n+1}(1+1) = 2^{2n+2}\\
2=2^{2n+2}\cdot 2^{-(2n+1)}\\
2=2^{2n+2-2n-1}\\
2=2
\end{equation*}

Exemplos:


$\bullet$ $2^3+2^3 = 2^4$ (O número $2$ é um fator primo comum a $A$, $B$ e $C$)

$\bullet$ $2^5+2^5 = 2^6$ (O número $2$ é um fator primo comum a $A$, $B$ e $C$)

$\bullet$ $2^7+2^7=2^8$ (O número $2$ é um fator primo comum a $A$, $B$ e $C$

E assim por diante.

Quatro casos particulares para os quais a equação de Beal não tem solução

Se $x,y,z >2$ e $mdc(x,y,z)>1$, então a equação de Beal não tem solução. Se não, vejamos:

Caso $1$: $x=y=2n+1$ e $z$ é múltiplo de $2n+1$

Exemplos:

$\bullet$ $A^3+B^3=C^6$ ou $A^3+B^3=(C^2)^3$ (Equação de Fermat)

$\bullet$ $A^5+B^5=C^{10}$ ou $A^5+B^5=(C^2)^5$ (Equação de Fermat)

E assim por diante.

Caso $2$: $x=y=2n$ e $z$ múltiplo de $x$ e $y$

Exemplos:

$\bullet$ $A^4+B^4=C^8$ ou $A^4+B^4=(C^2)^4$ (Equação de Fermat)

$\bullet$ $A^6+B^6=C^{12}$ ou $A^6+B^6=(C^2)^6$ (Equação de Fermat)

E assim por diante.

Caso $3$: $x=2n+1$, $y=2x$ e $z=3x$

Exemplos:

$\bullet$ $A^3+B^6=C^9$ ou $A^3+(B^2)^3=(C^3)^3$ (Equação de Fermat)

$\bullet$ $A^5+b^{10}=C^{15}$ ou $A^5+(B^2)^5=(C^3)^5$ (Equação de Fermat)

E assim por diante.

Caso $4$: $x=2n$, $y=2x$ e $z=3x$

Exemplos:

$\bullet$ $A^4+B^8=C^{12}$ ou $A^4+(B^2)^4=(C^3)^4$ (Equação de Fermat)

$\bullet$ $A^6+B^{12}=C^{18}$ ou $A^6+(B^2)^6=(C^3)^6$ (Equação de Fermat)

E assim por diante.

Conclusão:

Segundo R. D. Mauldin, A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem. Notices of the American Mathematical Society. $44$, $1436-1437$, $1997$ para cada tripla $x$, $y$ e $z$ de inteiros, todos maiores do que $2$, só pode haver apenas uma quantidade finita de soluções para a equação diofantina  $a^x + b^y = c^z$; mas, por meio do teorema de Sebá, $1^\circ$ e $2^\circ$ casos, para cada tripla $x$, $y$ e $z$ de inteiros primos entre si, todos maiores do que $2$, há infinitas soluções para a equação diofantina  $a^x + b^y = c^z$, para $k$ inteiro, no intervalo: $1 \leq  k < \infty$.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

Veja mais:


Método de Sebá para Resolução Alguns Casos Particulares Nas Equações Diofantinas Lineares
Conjecturas de Sebá Sobre a Distância Entre Dois Números Primos Consecutivos
Como Construir uma Espiral Pitagórica

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15/11/2014

Emmy Noether e a Álgebra Moderna

Até o primeiro quartel do século $XIX$ a álgebra ainda praticamente se restringia à teoria clássica das equações. Daí que não se cogitasse de sistemas algébricos além dos usuais. Mas mesmo estes careciam de uma fundamentação lógica. Por exemplo, não havia uma definição precisa de número real e, portanto, as propriedades das operações com esses números eram simplesmente admitidas com base na intuição (e, por que não dizer, na fé).


A questão da resolubilidade (por radicais) das equações de grau $\geq 5$ foi um dos fatores que contribuíram para iniciar uma mudança nesse panorama. Joseph-Louis Lagrange $(1736-1818)$, um dos primeiros a examiná-la com profundidade, concluiu que a teoria das permutações era "a verdadeira filosofia da questão". E acertou porque as condições de resolubilidade, estabelecidas por Evariste Galois $(1811-1832)$, envolvem a noção de grupo de permutações (criada por Galois, assim como o termo grupo). Essas condições não se verificam para equações de grau $\geq 5$ que, portanto, não são resolúveis por radicais. Mas a noção de grupo abstrato só surgiria em $1854$ com Arthur Cayley. Começavam assim a surgir as estruturas algébricas. Mais algum tempo e surgiria a de anel, a que está intimamente ligado o nome de Amalie Emmy Noether $(1882-1935)$.

Emmy Noether nasceu na cidade de Erlanger, sul da Alemanha, em cuja universidade seu pai era professor. Em Erlanger mesmo, de $1900$ a $1903$, frequentou cursos de línguas e matemática nos moldes então impostos às mulheres: com a aquiescência dos professores responsáveis (o que muitas vezes não se conseguiam) mas com direito a obter a graduação mediante exames finais (uma avanço em relação a outros tempos). Depois de graduada prosseguiu seus estudos e em $1907$ obteve seu doutoramento em matemática com uma tese de valor mas que, com certeza, não prenunciava até onde ela poderia chegar.

Nos anos seguintes permaneceu em Erlanger trabalhando em suas pesquisas (das quais resultaram vários artigos) e, eventualmente, substituindo seu pai na universidade. Em $1916$, a convite de Hilbert, vai para Göttingen. Mas, apesar de seus méritos científicos cada vez mais evidentes, por ser mulher praticamente as portas lhe eram fechadas de uma carreira universitária  plena. Assim, somente em $1922$ passou a ser remunerada pela universidade, em nível bastante modesto, apesar das instâncias de hilbert. Mas sempre se dedicou ao trabalho com extrema dedicação e brilho, sobressaindo-se em alto grau na orientação de alunos. Dentre estes, um dos mais talentosos foi B. L. van der Waerden, autos do clássico Álgebra moderna $(1930)$. Esta obra, baseada em grande parte em cursos ministrados por Emmy, levou a todos os cantos do mundo a nova álgebra, a álgebra moderna ou abstrata, cuja ideia central é a de estrutura algébrica.

O nome de Emmy, sem dúvida uma das principais fundadoras desse novo campo, está ligado mais diretamente a dois conceitos fundamentais: o de anel noetheriano (em sua homenagem) e o de anel de Dedekind, de muita utilidade na geometria algébrica. O conceito de anel foi introduzido por Richard Dedekind $(1831-1916)$ e basicamente se compõe de um conjunto não vazio e duas operações sobre este conjunto: uma "adição" (com as quatro propriedades usuais) e uma "multiplicação" (associativa e distributiva em relação à adição). São exemplos de anéis: o sistema dos números inteiros, o dos racionais, o dos reais, o dos complexos e o dos polinômios (inteiros, racionais, reais ou complexos). Cada um deles, obviamente, tem suas particularidades, são apenas modelos de anéis. Mas a teoria geral dos anéis vale para todos eles, assim como para qualquer sistema que se enquadrar na definição (inclusive os que venham a ser criados). Nessa generalidade reside a grande vantagem de se trabalhar com estruturas algébricas.

Em $1933$, com os nazistas já dominando a Alemanha, Emmy, que era de origem judia, teve sua licença para lecionar suspensa por tempo indeterminado. Nesse mesmo ano mudou-se para os Estados Unidos, contratada pelo Bryn Mawr College, perto de Filadélfia. Mas em $1935$ morreu de maneira inesperada devido a complicações decorrentes de uma cirurgia aparentemente bem-sucedida. Nunca uma mulher, até sua época, levara tão alto a matemática.

Texto de Hygino H. Domingues

Veja mais:

• Florence Nightingale e os Gráficos Estatísticos
• Lagrange: A Grande Pirâmide Da Matemática
• Cayley e a Teoria das Matrizes

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19/10/2014

Teorema da Decomposição de Polinômios

O Teorema Fundamental da Álgebra nos garante que toda equação polinomial admite pelo menos uma raiz complexa. A demonstração desse teorema foi a tese de doutoramento do grande Gauss em $1799$.

Uma consequência do Teorema fundamental da Álgebra é o Teorema da Decomposição.

Teorema:

Todo polinômio $P(x)$ de grau $n \geq 1$:
\begin{equation}
P(x) \equiv a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots +a_1x + a_0
\end{equation}
pode ser fatorado como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau:
\begin{equation}
P(x) \equiv a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_n)
\end{equation}
onde $r_1, r_2, \cdots , r_n$ são todas as raízes de $P(x)$.

Demonstração:

Seja $P(x)$ um polinômio de grau $n \geq 1$:
\begin{equation}
P(x) \equiv a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots +a_1x + a_0
\end{equation}
Pelo Teorema fundamental da Álgebra (TFA) , $P(x)$ admite uma raiz complexa $r_1$. Logo, podemos escrever $P(x)$ como:
\begin{equation}
P(x) \equiv (x-r_1) \cdot Q_1(x)
\end{equation}
onde $Q_1(x)$ tem grau $n-1$.

Se $n-1 \geq$, então pelo TFA, $Q_1(x)$ admite uma raiz complexa $r_2$ e podemos escrever:
\begin{equation}
Q_1(x) \equiv (x-r_2)\cdot Q_2(x)
\end{equation}
Substituindo $(5)$ em $(4)$, obtemos:
\begin{equation}
P(x) \equiv (x-r_1)(x-r_2)\cdot Q_2(x)
\end{equation}
Repetindo esse processo até que $Q_n(x)$ seja constante, obtemos:
\begin{equation}
P(x) \equiv (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\cdots (x-r_n)\cdot Q_n(x)
\end{equation}
Por definição de identidade de polinômios, temos que o coeficiente $a_n$ de $P(x)$ deve ser igual a $Q_n(x)$. Logo:
\begin{equation}
P(x) \equiv a_n(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\cdots (x-r_n)
\end{equation}

Exemplos:

$1)$ Fatorar o polinômio $P(x) \equiv 2x^2-7x+3$ como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau.

Primeiramente devemos encontrar as raízes do polinômio. Para isso, igualamos a zero e assim poderemos aplicar a fórmula para a equação de segundo grau:
\begin{equation*}
2x^2-7x+3=0\\
x=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot2\cdot3}}{4}\\
x=\frac{7\pm 5}{4}\\
x_1=\frac{7+5}{4}=3\\
x_2=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}
\end{equation*}
Agora, pelo Teorema da Decomposição, temos:
\begin{equation*}
P(x) \equiv 2(x-3)(x-1/2)
\end{equation*}

$2)$ Decompor $P(x) \equiv 4x^2-x-3$ como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau.

Fazemos:
\begin{equation*}
4x^2-x-3=0\\
x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 4\cdot(-3)}}{8}\\
x_1=\frac{1+7}{8}=1\\
x_2=\frac{1-7}{8}=-\frac{3}{4}
\end{equation*}
Assim pelo Teorema da Decomposição:
\begin{equation*}
P(x)\equiv 4(x-1)(x+3/4)
\end{equation*}

$3)$ Decompor $P(x) \equiv x^3-8x^2 +12x$ como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau.

Fazemos:
\begin{equation*}
x^3-8x^2+12x=0\\
x(x^2-8x+12)=0
\end{equation*}
Então, temos que $x=0$ ou $x^2-8x+12=0$. Aplicando a fórmula para a equação de segundo grau:
\begin{equation*}
x^2-8x+12=0\\
x=\frac{8\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 12}}{2}\\
x=\frac{8\pm 4}{2}\\
x_1=6\\
x_2=2
\end{equation*}
Assim, pelo Teorema da Decomposição:
\begin{equation*}
P(x)\equiv 1(x-0)(x-6)(x-2)\\
P(x) \equiv (x-2)(x-6)
\end{equation*}

$4)$ Uma das raízes do polinômio $P(x) \equiv 3x^3-20x^2+23x+10$ é $5$. Fatorar $P(x)$ como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau.

Como $5$ é uma raiz de $P(x)$, pelo Teorema de D'Alembert, temos que $P(x)$ é divisível por $(x-5)$, ou seja $P(x) \equiv (x-5)\cdot Q(x)$. Obtemos $Q(x)$ dividindo $P(x)$ por $(x-5)$. Assim, podemos aplicar Briot-Ruffini para encontrarmos as outras raízes:


Logo, $Q(x) \equiv 3x^2-5x-2$. Portanto, $P(x) \equiv (x-5)(3x^2-5x-2)$.

As raízes de $P(x)$ são dadas por: $(x-5)(3x^2-5x-2)=0$. Então, ou $x-5=0$ ou $3x^2-5x-2=0$. Para $x-5=0$, temos que $x=5$. Aplicando a fórmula da equação de segundo grau na segunda equação, encontramos como raízes $2$ e $-1/3$. Assim, pelo Teorema da Decomposição:
\begin{equation*}
P(x) \equiv 3(x-5)(x-2)(x+1/3)
\end{equation*}

$5)$ Sabendo que $3$ é uma raiz dupla da equação $x^4-12x^3+53x^2-102x+72=0$, obter as outras raízes em $\mathbb{C}$.

Pelo Teorema da Decomposição, a equação pode ser reescrita como:
\begin{equation*}
(x-3)\underbrace{(x-3)\overbrace{(x-r_3)(x-r_4)}^{Q_2(x)}}_{Q_1(x)}=0
\end{equation*}
onde $r_3$ e $r_4$ são outras duas raízes da equação, além do $3$.

Dividindo $P(x)\equiv x^4-12x^3+53x^2 -102x +72$ por $x-3$, obtemos $Q_1(x)$. E dividindo $Q_1(x)$ por $x-3$, obtemos $Q_2(x)$. Aplicando Briot-Ruffini:


Portanto, $Q_1(x) \equiv x^3-9x^2+26x-24$. Para $Q_2(x)$, fazemos:



Portanto, $Q_2(x) \equiv x^2-6x+8$.

Agora, reescrevemos a equação original como:
\begin{equation*}
(x-3)(x-3)(x^2-6x+8)=0
\end{equation*}
Resolvendo cada uma das equações:
\begin{equation*}
x-3=0\\
x=3
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
x^2-6x+8=0\\
x_1=4\\
x_2=2
\end{equation*}
Portanto, além da raiz dupla $r_1=r_2=3$, a equação admite outras duas raízes iguais a $r_3=2$ e $r_4=4$.

Referências:

[1] Matemática Volume Único - Manoel Paiva - Ed. Moderna

Veja mais:

➊ Divisão de Polinômios
➋ Multiplicidade de uma Raiz
➌ Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
 
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02/10/2014

Teorema do Quadrilátero Inscritível

Um quadrilátero está inscrito numa circunferência se seus vértices são pontos desta circunferência.

Teorema:

Se um quadrilátero é inscritível numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares.

Por hipóteses temos que o quadrilátero $ABCD$ está inscrito na circunferência $\lambda$. Em tese temos que:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\alpha & + & \gamma & = & 180^\circ\\
\beta & + & \delta & = & 180^\circ
\end{matrix}\right.
\end{equation}

Demonstração:

Pelo teorema do ângulo inscrito, temos que o ângulo $\alpha$ é igual à metade do arco $\widehat{BCD}$:
\begin{equation}
\alpha=\frac{\widehat{BCD}}{2}
\end{equation}

Analogamente temos que o ângulo $\gamma$ é igual à metade do arco $\widehat{DAB}$:
\begin{equation}
\gamma = \frac{\widehat{DAB}}{2}
\end{equation}
Assim:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
\alpha & = & \frac{\widehat{BCD}}{2}\\
\gamma& = & \frac{\widehat{DAB}}{2}
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow \alpha + \gamma = \frac{\widehat{BCD}+\widehat{DAB}}{2}=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ
\end{equation}Analogamente provamos que $\beta + \delta = 180^\circ$, ou ainda observando que como a soma dos ângulos internos de uma quadrilátero é igual a $360^\circ$, segue que $\beta + \delta = 180^\circ$.

Exemplos:

$a)$ Calcule o valor de $\alpha$:

Sabemos que $\alpha + 72^\circ = 180^\circ$. Então $\alpha = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

$b)$ Calcule o valor de $\alpha$:


 Como $\alpha + 110^\circ = 180^\circ$, então $\alpha = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

$c)$ Calcule o valor de $\alpha$:


Sabemos que $112^\circ + \gamma = 180^\circ$. Então, $\gamma = 68^\circ$. Por outro lado, $\alpha + \gamma = 180^\circ$. Substituindo o valor de $\gamma$, obtemos: $\alpha = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais:

➊ Organograma dos Quadriláteros Notáveis
➋ Teorema do Ângulo Inscrito
➌ Quadriláteros Notáveis


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27/09/2014

Arcos de Circunferência

O bom entendimento sobre as medidas de ângulos em graus e em radianos é necessário para o estudo da circunferência trigonométrica para que possamos também trabalhar com ângulos que não sejam agudos e fazer um estudo mais geral e completo, preparando-se para o estudo das funções trigonométricas.


Introdução

Os ângulos aparecem nos registros da Grécia antiga associados ao estudo dos elementos de uma círculo, relacionados com arcos e cordas. As propriedades do ângulo central de uma circunferência eram conhecidas desde os tempo de Eudoxo (Astrônomo, matemático e filósofo grego do século $IVa.C.$), que teria usado medidas de ângulos em diversos cálculos, como a determinação das dimensões da Terra e a distância relativa entre o Sol e a Terra.

Acredita-se que os sumérios e os arcadinos $(3500a.C.)$ já sabiam medir ângulos.

Um dos primeiros astrônomos gregos a dividir o círculo em $360$ partes iguais foi Hipsicles (século $IIIa.C.$), talvez por acreditarem que a Terra leva cerca de $360$dias para completar sua translação em torno do Sol. Mas a hipótese mais provável é ter havido influência do sistema de numeração sexagesimal (base $60$), utilizado na Babilônia.

Comprimento de uma circunferência

Seja um círculo qualquer de centro $O$ e raio $r$. A borda desse círculo, ou seja, o contorno desse círculo é chamado de circunferência.

Se pudermos retificar essa circunferência, ou seja, transformá-la em um segmento de reta, este segmento teria o comprimento $C$ que seria o comprimento da própria circunferência. Veja aqui um exemplo de retificação da circunferência.

O comprimento $C$ da circunferência é dado por:
\begin{equation}
C=2\pi r
\end{equation}
onde $r$ é o raio da circunferência e $\pi$ é uma constante irracional, presente em toda circunferência e numericamente vale $3,1415$, aproximadamente. Veja aqui uma breve cronologia de $\pi$.

Medidas de arcos e ângulos

Sempre que quisermos medir alguma grandeza, usamos outra grandeza padrão como uma medida unitária e depois procuramos descobrir quantas vezes a grandeza a ser medida contém a grandeza padrão.

No caso de uma régua, existem versões com escalas em milímetros, outras em centímetros. As trenas possuem marcação de milímetros, centímetros e metros. Já o odômetro de um veículo, mede com precisão de $100$ metros.

Então, medida é a razão entre duas grandezas de mesma espécie.

Sendo assim, a medida de um arco de circunferência $\widehat{AB}$ é um número $\alpha$, não-negativo, determinado pela razão entre o arco $\widehat{AB}$ a ser medido e um arco unitário $u$ da mesma circunferência. Simbolicamente temos:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\widehat{AB}}{u}
\end{equation}

Definição $1$: Arco de circunferência

Arco de circunferência é cada uma das duas partes em que uma circunferência fica dividida por dois pontos. assim, sendo $A$ e $B$ dois de seus pontos, eles a dividem em duas partes:

 

Se os pontos coincidem, teremos arco nulo ou arco de uma volta.

Grau

Foi convencionada a divisão da circunferência em $360$ arcos congruentes. Cada um desses arcos foi chamado de arco de um grau $(1º)$. Cada arco de $1º$ foi dividido em $60$ sub-arcos congruentes e cada um desses sub-arcos recebeu o nome de minuto de grau $(1^\prime)$. E cada arco de minuto de grau foi sub-dividido em outros $60$ arcos congruentes dando origem ao arco de segundo de grau $(1^{\prime \prime}$). Um exemplo dessa notação é $30º 12^\prime 15^{\prime \prime}$.

Em problemas de nosso cotidiano, minutos e segundos de grau não são muito utilizados, mas em medições técnicas e em astronomia, seu uso é essencial. Assim:
\begin{equation}
1º = 60^\prime \Rightarrow 1^\prime = 60^{\prime \prime} \Rightarrow 1º = 3600^{\prime \prime}
\end{equation}

Definição $2$: Grau

Grau é o arco unitário equivalente a $1/360$ da circunferência que o contém:

Radiano

Seja uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ e seja $\ell$ o comprimento de um arco de circunferência com medida de ângulo central igual a $\alpha$.

Dizemos que um arco mede $1$ radiano $(1\:\text{rad})$ se o seu comprimento $\ell$ for igual ao comprimento do raio $r$. Assim, a medida do ângulo central também será de $1$ radiano.



Definição $3$: Ângulo central

Ângulo central de uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro $O$ da circunferência.



Então, para sabermos a medida de um arco ou ângulo central correspondente, em radianos, calculamos quantas vezes esse arco de comprimento $\ell$ contém a medida do raio $r$. Obtemos dividindo $\ell$ por $r$:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\ell}{r}
\end{equation}
Se $\ell$ é o arco de uma volta, então $\ell$ é o comprimento da circunferência $C=2\pi r$:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\ell}{r} = \frac{2 \pi r}{r} = 2\pi \: \text{rad}
\end{equation}
Assim, a circunferência é um arco de $2\pi \: \text{rad}$ e o ângulo central de uma volta mede $2\pi \: \text{rad}$. E como o ângulo de uma volta tem $360º$, então $2\pi \: \text{rad}$ equivale a $360º$.

Definição $4$: Radiano

Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém.


Comprimento de uma arco de circunferência

Seja uma circunferência de centro $O$ e raio $r$, cujo ângulo central de um arco de comprimento $\ell$ corresponde em radianos mede $\alpha$. Da relação $(4)$ concluímos que:
\begin{equation}
\ell = \alpha \cdot r
\end{equation}
onde $\ell$ é o comprimento do arco, $r$ é o raio e $\alpha$ é a medida do ângulo central em radianos.

Exemplos

$1)$ Uma pista circular de atletismo tem diâmetro de $50m$. Calcular a distância percorrida por um atleta após dar $6$ voltas completas nesta pista.

Resolução: Como o diâmetro é de $50m$, o raio mede $25m$ e o comprimento da pista é:
\begin{equation*}
C=2\pi r=2\pi \cdot 25=50\pi \cong 157m
\end{equation*}
Como foram $6$ voltas, basta multiplicarmos o resultado obtido por $6$. A distância percorrida foi de $157\cdot 6=942$.

$2)$ Converter as medidas de ângulos:

$a)$ $270º$ em radianos

Como $360º=2\pi \: \text{rad}$, então $180º=\pi \: \text{rad}$. Usamos este valor como referência na regade três:
\begin{matrix}
\pi \: \text{rad}& = & 180º\\
 x & = & 270º
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $\displaystyle x=\frac{3}{2} \pi \: \text{rad}$

$b)$ $2/3 \pi \: \text{rad}$ em graus
\begin{matrix}
\pi \: \text{rad}& = & 180º\\
 2/3 \pi \: \text{rad} & = &x
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $x=120º$

$c)$ $37º30^\prime$ em radianos

Primeiro convertemos $37º30^\prime$ em segundos de grau:
\begin{equation*}
37º30^\prime = 37 \cdot 60^\prime + 30^\prime = 2250^\prime
\end{equation*}
E agora convertemos $180º$ em minutos de grau, obtendo $10800^\prime$.

Então fazemos:
\begin{matrix}
10800^\prime& = & \pi \: \text{rad}\\
2250^\prime & = &x
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $\displaystyle x=\frac{5}{24} \pi \: \text{rad}$

$d)$ $\pi/16 \: \text{rad}$ em graus
\begin{matrix}
\pi \: \text{rad}& = & 180º\\
 \pi/16 \: \text{rad} & = &x
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $\displaystyle x=\frac{180º}{16}=11,25º$. Podemos escrever:
\begin{equation*}
x=11,25º = 11º + 0,25\cdot 60^\prime=11º15^\prime
\end{equation*}

$e)$ $1$ radiano em graus
\begin{matrix}
\pi \: \text{rad}& = & 180º\\
 1 \: \text{rad} & = &x
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $\displaystyle x=\frac{180º}{\pi}\cong 57,2957795º$, ou $x\cong 57º19^\prime 29^{\prime \prime}$

$3)$ As circunferências da figura abaixo são concêntricas, sendo $r_1=3\:cm$, $r_2=8\: cm$ e $\ell_2=40\: cm$. Calcular: $a)$ o ângulo $\alpha$ em radianos e $b)$ o arco $\ell_1$.



Resolução:

$a)$ $\displaystyle \alpha = \frac{\ell_2}{r_2}=\frac{40}{8}=5\: \text{rad}$

$b)$$\displaystyle \alpha = \frac{\ell_1}{r_1} \Rightarrow s_1=\alpha r_1=5\cdot 3= 15\:cm$

Referências

[1] Matemática V. Único - Facchini
[2] Matemática V. Único - Marcondes, Gentil & Sérgio
[3] Matemática V. 2 Contextos e Aplicações - Dante

Vejam mais:

➊ O Surgimento do Grau na Circunferência
➋ A Astronomia e os Astrônomos da Grécia Antiga
➌ Como Encontrar o Centro de uma Circunferência
 
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20/09/2014

Razão de Secção

Consideremos três pontos: $A(x_a,y_a)$, $B(x_b,y_b)$ e $C(x_c,y_c)$, pertencentes a uma mesma reta $r$, oblíqua aos eixos $x$ e $y$ e ainda sendo $B$ e $C$ distintos.

Definição:

A razão $k$ das medidas algébricas de $\overline{AC}$ e $\overline{CB}$ é chamada de razão de secção de $\overline{AB}$ pelo ponto $C$ e é dada por:
\begin{equation}
k=\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}},\: C \not\equiv A : \text{e} \: C\not\equiv B
\end{equation}
Dados dois pontos $A$ e $B$ em uma reta $r$, um ponto $C$ pertencente a $r$ pode dividir o segmento $\overline{AB}$ de duas formas diferentes.

$1º)$ O ponto $C$ está entre os pontos $A$ e $B$.



[figura 1]

Analisando a figura acima e aplicando o Teorema de Tales, obtemos as relações:
\begin{equation}
k=\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=\frac{x_c-x_a}{x_b-x_c}=\frac{y_c-y_a}{y_b-y_c}, \: x_b \neq x_c \: \text{e} \: y_b \neq y_c
\end{equation}
Notamos que se o ponto $C$ estiver entre$A$ e $B$, obteremos $k$ sempre positivo, pois:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
x_c>x_a \Rightarrow x_c-x_a>0\\
x_b>x_c \Rightarrow x_b-x_c>0
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow k>0
\end{equation}

$2º)$ O ponto $C$ não está entre os pontos $A$ e $B$.

Neste caso, pode ocorrer duas situações:


[Figura 2]

Apesar do ponto $C$ estar antes do ponto $A$ ou depois do ponto $B$, para estas duas possibilidades, temos:
\begin{equation}
k=\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=\frac{x_c-x_a}{x_b-x_c}=\frac{y_c-y_a}{y_b-y_c}
\end{equation}
Na primeira situação temos que:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
x_c>x_a \Rightarrow x_c-x_a>0\\
x_b<x_c \Rightarrow x_b-x_c<0
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow k<0
\end{equation}

Na segunda situação temos que:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
x_c<x_a \Rightarrow x_c-x_a<0\\
x_b>x_c \Rightarrow x_b-x_c>0
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow k<0
\end{equation}
Quando $C$ não estiver entre $A$ e $B$, obteremos $k$ sempre negativo.

Notamos que quando $C \not\equiv A$, $\overline{AC}=0$ e consequentemente $k=0$.

Resumindo:

$\bullet$ Quando $C$ está entre $A$ e $B$, temos $k>0$;
$\bullet$ Quando $C$ não está entre $A$ e $B$, temos $k<0$;
$\bullet$ Quando $C\not\equiv A$, temos $k=0$.

Podemos ainda encontrar a abscissa de $C$ em função de $k$ e das abscissas de $A$ e $B$. Para isso isolamos $x_a$ na relação $(2)$:
\begin{equation}
\begin{matrix}
k=\frac{x_c-x_a}{x_b-x_c}\\
k(x_b-x_c)=x_c-x_a\\
kx_b-kx_c=x_c-x_a\\
x_c+kx_x=x_a+kx_b\\
x_c(1+k)=x_a+kx_b\\
x_c=\frac{x_a+kx_b}{1+k},\: \forall k\neq -1
\end{matrix}
\end{equation}
Analogamente, podemos encontrar a ordenada de $C$ em função de $k$ e das ordenadas de $A$e $B$, obtendo:
\begin{equation}
y_c=\frac{y_a+ky_b}{1+k}, \: \forall k\neq -1
\end{equation}

Exemplo $1$: Dados os pontos $A(-3,1)$ e $B(3,-5)$, determinar o ponto $C$ que divide o segmento $\overline{AB}$nas razões: $a)$ $k=2$ e $b)$ $k=-1/3$.

Resolução:

$a)$ Como conhecemos as coordenadas de $A$ e $B$ e o valor de $k$, basta substituirmos esses valores nas fórmulas $(7)$ e $(8)$:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x_c &=&\frac{x_a+kx_b}{1+k}&=&\frac{-3+2\cdot 3}{1+2}&=&1 \\
\:\\
y_c &=&\frac{y_a+ky_b}{1+k}&=&\frac{1+2(-5)}{1+2}&=&-3
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Portanto, o ponto procurado é $C(1,-3)$.

$b)$ Como conhecemos as coordenadas de $A$ e $B$ e o valor de $k$, basta substituirmos esses valores nas fórmulas $(7)$ e $(8)$:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x_{c'} &=&\frac{x_a+kx_b}{1+k}&=&\frac{-3+(-1/3)\cdot 3}{1+(-1/3)}&=&-6 \\
\:\\
y_{c'} &=&\frac{y_a+ky_b}{1+k}&=&\frac{1+(-1/3)(-5)}{1+(-1/3)}&=&4
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Portanto, o ponto procurado é $C'(-6,4)$.

Exemplo $2$: Dados os pontos $A(1,2)$ e $C(2,6)$ sobre uma reta $r$, determinar as coordenadas do ponto $B$ sobre a reta $r$, tal que $\overline{AB}=2 \overline{BC}$.

Resolução:
\begin{matrix}
x_b-x_a=2(x_c-x_b)\\
x_b-x_a=2x_c-2x_b\\
3x_b=2x_c+x_a\\
3x_b=2\cdot 2+1\\
3x_b=5\\
x_b=\frac{5}{3}
\end{matrix}

Analogamente, encontramos a coordenada $y_b$:
\begin{matrix}
y_b-y_a=2(y_c-y_b)\\
y_b-y_a=2y_c-2y_b\\
3y_b=2x_c+y_a\\
3y_b=2\cdot 6+2\\
3y_b=14\\
y_b=\frac{14}{3}
\end{matrix}
Portanto, o ponto procurado é $\displaystyle B\left(\frac{5}{3}, \frac{14}{3}\right)$.

Referências:

[1] Matemática - Facchini

Veja mais:


➊ Distância de um Ponto a uma Reta 
➋ Distância Entre Dois Pontos no Plano
➌ Teorema da Base Média de um Triângulo
 

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30/08/2014

Como Construir uma Espiral Pitagórica

A Espiral Pitagórica é construída com triângulos retângulos cujas medidas dos lados são expressas por números inteiros.

Veremos neste post sua construção, assim como o desenvolvimento das fórmulas que geram os lados dos triângulos.


A Espiral Pitagórica é construída utilizando triângulos retângulos, onde a hipotenusa do primeiro triângulo retângulo é o menor cateto do segundo; e a hipotenusa do segundo triângulo retângulo é o menor cateto do terceiro; e assim por diante. Faz-se necessário encontrarmos um algoritmo que nos dê as medidas desses triângulos para que possamos sem dificuldades, construir a espiral.

Dentre as formas analisadas para a construção, podemos encontrar $4$ possibilidades que nos levam a quatro teoremas que nos dão as fórmulas para calcularmos os lados dos triângulos retângulos que compõem a Espiral Pitagórica.

Teorema 1: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ tem apenas uma solução se $a$ for um primo ímpar;


Demonstração:

A equação $a^2+b^2=c^2$ pode ser escrita como:
\begin{equation}
c+b=\frac{a^2}{c-b}
\end{equation}
Uma vez que $b$ e $c$ são inteiros, logo $c-b$ tem que dividir $a^2$ sem deixar resto. Logo, $c-b$ são os divisores positivos de $a^2$. Se $a^2$ é o quadrado de um primo ímpar, os divisores de $a^2$ são: $a^2$, $a$ e $1$. Substituindo estes divisores na relação $(1)$, obtemos os seguintes sistemas lineares:
\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&a^2\\
c & +&b & =&1
\end{matrix}\right.
\qquad
S_2:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&a\\
c & +&b & =&a
\end{matrix}\right.
\qquad
S_3:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&1\\
c & +&b & =&a^2
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Dos três sistemas de equação acima, apenas a solução $S_3$ é compatível. Resolvendo o sistema, obtemos:
\begin{equation}
c=\frac{a^2+1}{2} \qquad \text{,}\qquad b=c-1
\end{equation}

Exemplos:

$1)$ Se $a=3$, $\displaystyle c=\frac{3^2+1}{2}=5$ e $b=c-1=5-1=4$

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(3,4,5)$.

$2)$ Se $a=5$, $\displaystyle c=\frac{5^2+1}{2}=13$ e $b=13-1=12$.

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(5,12,13)$.

$3)$ Se $a=13$, $\displaystyle c=\frac{13^2+1}{2}=85$ e $b=85-1=84$.

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(13,84,85)$.

 Como $c=85$ é um ímpar composto, o teorema $1$ falha e este caso será analisado no teorema $4$.


Teorema $2$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ tem apenas uma solução se $a$ for um par da forma $2p$, onde $p$ é um primo ímpar;

Demonstração:

Substituindo $a$ por $2p$ na equação $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
c+b=\frac{4p^2}{c-b}
\end{equation}
Como $c$ e $b$ são inteiros, $c-b$ tem que dividir $4p^2$ sem deixar resto; logo, $c-b$ são os divisores positivos de $4p^2$ menores que $4p$. Os divisores pares de $4p^2$ menores que $4p$ são: $2$ e $4$. Substituindo $2$ e $4$ por $c-b$ em $\displaystyle c+b=\frac{4p^2}{c-b}$, obtemos os seguintes sistemas lineares:

\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&2\\
c & +&b & =&2p^2
\end{matrix}\right.
\qquad
S_2:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&4\\
c & +&b & =&p^2
\end{matrix}\right.
\end{equation}


Já que $c$ é inteiro, dos sistemas de equações acima somente $S_1$ é compatível. Resolvendo $S_1$, obtemos:
\begin{equation}
c=p^2+1
\end{equation}
Como $a=2p$, logo $\displaystyle p=\frac{a}{2}$. Substituindo $p$ por $\displaystyle \frac{a}{2}$ na relação $(6)$, obtemos que:
\begin{equation}
c=\frac{a^2}{4}+1 \qquad \text{,} \qquad b=c-2
\end{equation}

Exemplos:

$4)$ Se $a=2p=2\cdot 3=6$, $\displaystyle c=\frac{6^2}{4}+1=10$ e $b=10-2=8$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(6,8,10)$.

$5)$ Se $a=2p=2\cdot 5=10$, $\displaystyle c=\frac{10^2}{4}+1=26$ e $b=26-2=24$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(10, 24, 26)$.

$6)$ Se $a=2p=2\cdot13=26$, $\displaystyle c=\frac{26^2}{4}+1=170$ e $b=170-2=168$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(26, 168, 170)$.

Como $c=170$ não é um par da forma $2p$, o teorema $2$ falha e este caso será analisado no teorema $3$.

Teorema $3$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$, possui um número de soluções inteiras igual ao número de divisores pares $(k)$ de $a^2$ menores que $a$ tal que $a^2$ divida $2k$ sem deixar resto, se $a$ for um par diferente de $2p$.

Demonstração:

Seja $c-b=k$ os divisores de $a^2$. Substituindo $c-b$ por $k$ na equação $(1)$, obtemos o seguinte sistema de equações:
\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&k\\
c & +&b & =&\frac{a^2}{k}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos a seguinte solução:
\begin{equation}
2c=k+\frac{a^2}{k}\qquad \text{ou}\qquad c=\frac{a^2+k^2}{2k}
\end{equation}
Como $c-b=k$, logo $b=c-k$. Como $2c$ e $k$ são sempre pares, a fim de que $c$ seja inteiro, $\displaystyle \frac{a^2}{k}$ tem que ser par. Como $2k$ e $a^2$ são pares, e além disso, $k$ são os divisores de $a^2$, se incluirmos os divisores ímpares de $a^2$, a soma $a^2+k^2$ vai ser ímpar, e, consequentemente, $a^2+k^2$ dividido por $2k$ vai ser fracionário. Foi por isso que consideramos somente os divisores pares de $a^2$.

Se $k=a$, então $\displaystyle c=\frac{a^2+a^2}{2a}=a$. Como $b=c-k$, então $b=a-a=0$. Logo, os divisores pares de $a^2$ devem ser menores que $a$.

Portanto, se $a$ for par diferente de $2p$, o número de soluções em inteiros é igual ao número de divisores pares de $a^2$ menores que $a$, que divide $\displaystyle \frac{a^2}{2k}$.

Exemplos:

$7)$ Os divisores pares de $170^2$ menores que $170$ são: $k=2$, $4$, $10$, $20$, $34$, $50$ e $68$.

Para $a=170$ e $k=2$, temos:$\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 1}=7225$;

Para $a=170$ e $k=4$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 4}=3612,5$;

Para $a=170$ e $k=10$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 10}=1445$;

Para $a=170$ e $k=20$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2 \cdot 20}=722,5$;

Para $a=170$ e $k=34$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 34}=425$;

Para $=170$ e $k=50$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 50}=289$;

Para $a=170$ e $k=64$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 64}=212,5$.

Como para $k=4$, $k=20$ e $k=68$, $\displaystyle \frac{a^2}{2k}$ não é inteiro, logo, só existem quatro ternos pitagóricos com $a=170$, os quais são:

$(170, 7224, 7226)$, $(170, 1440, 1450)$, $(170, 408, 442)$ e $(170, 264, 314)$.

Vamos escolher a hipotenusa com menor valor como cateto menor do próximo triângulo pitagórico. Escolhemos a hipotenusa com menor valor para evitar que não trabalhemos com números muito grandes para hipotenusas.

Os divisores pares de $314^2 < 314$ são $k=2$ e $k=4$.

Para $a=314$ e $k=2$, temos: $\displaystyle \frac{314^2}{2\cdot 2}=24649$;

Para $a=314$ e $k=4$, temos: $\displaystyle \frac{314^2}{2\cdot 4}=12324,5$.

Só existe um terno pitagórico com $a=314$. Para $a=314$ e $k=2$, o terno pitagórico é:
\begin{equation*}
c=\frac{314^2+2^2}{2\cdot 2}=24650 \qquad \text{e} \qquad b=24650-2-25648
\end{equation*}
O triângulo pitagórico é $(a,b,c)=(314, 24648, 24650)$.

Como o valor da hipotenusa $(24650)$ é muito grande, paremos por aqui.

Teorema $4$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ possui um número de soluções igual ao número de divisores de $k$ de $a^2$ menores que $a$.

Demonstração:

Pelo Teorema $3$, já que um número ímpar composto tem apenas divisores ímpares, então se $a$ for ímpar, o número de soluções inteiras é igual ao número de divisores de $a^2$ menores que $a$.

Exemplos:

$8)$ Os divisores de $85^2<85$ são: $k=1$, $k=5$, $k=17$ e $k=25$.

Para $k=1$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+1^1}{2\cdot 1}=3613 \qquad \text{e} \qquad b=3613-1=3612
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 3612,3613)$.

Para $k=5$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+5^2}{2\cdot 5}=725 \qquad \text{e} \qquad b=725-5=720
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 720,725)$.

Para $k=17$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+17^2}{2\cdot 17}=221 \qquad \text{2} \qquad b=221-17=204
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 204, 221)$.

Para $k=25$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+25^2}{2\cdot 25}=157 \qquad \text{e} \qquad b=157-25=132
\end{equation*}
O triângulo pitagórico $(a,b,c)=(85, 132, 157)$.

Já que na espiral pitagórica, a partir do segundo triângulo pitagórico, o cateto menor é sempre a hipotenusa do triângulo anterior, das quatro hipotenusas $(3613, 725, 221, 157)$, vamos escolher a hipotenusa com menor valor como cateto menor do próximo triângulo pitagórico. Escolhemos a hipotenusa com menor valor para evitar que trabalhemos com números muito grandes para a hipotenusa.

O divisor de $157^2 < 157$ é: $k=1$

Para $k=1$:
\begin{equation*}
c=\frac{157^2+1^2}{2\cdot 1}=12325 \qquad \text{e} \qquad b=12325-1=12324
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(157, 12324, 12325)$.

Os divisores de $12325^2 < 12325$ são:
$k=1, 5, 17, 25, 29, 85, 125, 289, 425, 493, 625, 725, 841, 1445, 2125, 2465, 3625, 7225 \: \text{e}\: 10625$.

Quanto maior o valor de $k$, menor será a medida da hipotenusa. Para evitar cálculos desnecessário, tomemos o maior valor de $k$:

Para $k=10625$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+10625^2}{2\cdot 10625}=12461 \qquad \text{e} \qquad b=12461-10625=1836
\end{equation*}
O terno pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 1836, 12461)$. Como $b<a$, logo $(12325,1836,12461)$ é um terno pitagórico, mas não são medidas de um triângulo pitagórico.

Como para $k=10625$ não é compatível com as medidas de um triângulo pitagórico, então vamos escolher $k=7225$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+7225^2}{2\cdot 7225}=14125 \qquad \text{e} \qquad b=14125-7225=6900
\end{equation*}
O terno pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 6900, 14125)$. Como $b<a$, logo $(12325, 6900, 14125)$ é um terno pitagórico, mas não são medidas de um triângulo pitagórico.

Como para $k=7225$ não é compatível com as medidas de um triângulo pitagórico, então vamos escolher $k=3625$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+3625^2}{2\cdot 3625}=22765 \qquad \text{e} \qquad b=22765-3625=19140
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 19140, 22765)$. 

Como o valor da hipotenusa $(22765)$ é muito grande, paramos por aqui.

Com posse dos valores encontrados nos exemplos dos teoremas $1$ a $4$ acima, podemos construir duas espirais distintas:

A primeira espiral será construída com triângulos pitagóricos, cujas hipotenusas são número ímpares, encontradas nos Teoremas $1$ e $4$:
\begin{equation*}
(3,4,5),(5,12,13),(13,84,85),(85,132,157),(157,12324,12325),(12325,19140,22765)
\end{equation*}

[Espiral Pitagórica Ímpar]

A segunda espiral será construída com triângulos pitagóricos, cujas hipotenusas são pares, encontradas nos Teoremas $2$ e $3$:
\begin{equation*}
(6,8,10), (10,24,26), (26,168,170), (170, 264, 314), (314, 24648, 24650)
\end{equation*}

[Espiral Pitagórica Par]

Como as medidas dos lados dos triângulos retângulos crescem rapidamente, fica difícil fazer uma espiral como vários triângulos. Portanto, os desenhos acima servem apenas para ilustrar a formação da espiral. Numericamente, podemos observar que a espiral pitagórica par cresce mais rápido que a espiral ímpar.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.

Veja mais


Construindo Raízes de Números Naturais
Construção da Espiral de Arquimedes com Régua e Compasso
Ternos Pitagóricos: A Tábua de Plimpton 322

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09/08/2014

A Notação Sigma Para Somas

A definição formal de integral definida envolve a soma de uma quantidade muito grande de termos, tornando-se necessária uma notação especial.

No simbolismo matemático usamos a letra grega maiúscula Sigma, representada pelo glifo $\displaystyle \Sigma$, correspondente à letra latina $S$, e é chamada de Notação Sigma. Não por acaso é a primeira letra da palavra soma, que ajuda a lembrar o propósito da notação sigma, designando a ideia de somatório ou adição.

Quando usamos o símbolo $\displaystyle \sum$, queremos representar a soma de todos os termos que obedecem a uma forma geral. Assim:
\begin{equation*}
\sum _{k=m}^n a_k=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_n
\end{equation*}
Lê-se: A soma de $a_k$, com $k$ assumindo valores que variam de $m$ a $n$.

A variável $k$ é o índice do somatório e designa uma valor inicial chamado limite inferior igual a $m$, assumindo valores inteiros até alcançar o limite superior igual a $n$.

Não necessariamente o índice é representado pela letra $k$. Podemos usar as letras $i$, $j$, $k$, ou outra qualquer dependendo da necessidade, servindo ao mesmo propósito. Então:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N a_k = \sum_{i=1}^N a_i = \sum_{j=1}^N a_j
\end{equation*}
Se quisermos somar os números naturais de $2$ a $6$, por exemplo, escrevemos na notação de somatório:
\begin{equation*}
\sum_{k=2}^6 k = 2+3+4+5+6
\end{equation*}
Vejamos outros exemplos específicos na notação sigma:

Exemplo $1$:

\begin{aligned}
\sum_{k=1}^5 k^2& = 1^2 + 2^2 +3^2+4^2+5^2\\
&=1+4+9+16+25\\
&=55
\end{aligned}
Esta é a soma dos quadrados dos cinco primeiros números naturais.

Exemplo $2$:

\begin{aligned}
\sum_{k=1}^4 2^k &=2^1+2^2+2^3+2^4\\
&=2+4+8+16\\
&=30
\end{aligned}
Esta é a soma das quatro primeiras potências de $2$.

Exemplo $3$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N 2k =2+4+6+\cdots+2N
\end{aligned}
Esta é a soma dos $N$ primeiros números pares.

Exemplo $4$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N (2k-1)=1+3+5+\cdots+(2N-1)
\end{aligned}
Esta é a soma dos $N$ primeiros números ímpares.

Exemplo $5$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N (3^k-3^{k-1})&=(3^1-3^0)+(3^2-3^1)+\cdots+(3^N-3^{N-1})
\end{aligned}
Aqui fazemos uma pequena manipulação:

\begin{aligned}
&=-3^0+(3^1-3^1)+(3^2-3^2)+\cdots +(3^{N-1}-3^{N-1})+3^N\\
&=3^N-3^0=3^N-1
\end{aligned}


Exemplo $6$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N k &=1+2+3+\cdots+N\\
&= \frac{N(N+1)}{2}
\end{aligned}
Esta é a fórmula para a soma dos $N$ termos de uma $P.A.$ finita.

Podemos ainda fazer o processo inverso: dada uma sequência, vamos encontrar a notação sigma:

Exemplo $7$:
\begin{aligned}
3+9+27+81 = 3^1+3^2+3^3+3^4= \sum_{k=1}^4 3^k
\end{aligned}


Exemplo $8$:
\begin{aligned}
&5+9+13+17+21+15\\
&= 5+(5+4)+(5+8)+(5+12)+(5+16)+(5+20)\\
&= 5+(5+4)+(5+4\cdot 2)+(5+4\cdot 3)+(5+4\cdot 4)+(5+4\cdot 5)\\
&= \sum_{k=0}^5 (5+4k)
\end{aligned}
A Notação Sigma é essencialmente útil para indicar a soma dos termos de uma sequência numérica. Normalmente, quando trabalhamos com sequências, é conveniente começar com um termo de ordem zero: $a_0$. Assim, o segundo termos é $a_1$, o terceiro é $a_2$, e assim por diante. Podemos escrevê-la como $a_0, a_1, a_2, \cdots $. Assim, o k-ésimo termo da sequência é $a_k$ e a soma dos $N$ termos pode ser escrita como:
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N a_k=a_0+a_1+a_2+\cdots + a_N
\end{equation*}
Se quisermos somar apenas o terceiro, o quarto e o quinto termos, escrevemos:
\begin{equation*}
\sum_{k=2}^4 a_k=a_2+a_3+a_4
\end{equation*}

Propriedades Básicas dos Somatórios

Algumas propriedades básicas dos somat´rios podem ser estabelecidas. Consideremos que $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_N$ e $b_0, b_1, b_2, \cdots , b_N$, representam sequências de números e seja $A, B,C$ números constantes.

$P1)$ Propriedade da Constante
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N C= NC
\end{equation*}

$P2)$ Propriedade da Homogenidade
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N Ca_k = C\sum_{k=1}^N a_k
\end{equation*}

$P3)$ Propriedade Aditiva
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(a_k+b_k\right)=\sum_{k=1}^N a_k + \sum_{k=1}^N b_k
\end{equation*}

$P4)$ Propriedade Linear
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(Aa_k + Bb_k\right) = A\sum_{k=1}^N a_k + B\sum_{k=1}^N b_k
\end{equation*}

$P5)$ Desigualdade Triangular Generalizada
\begin{equation*}
\left| \sum_{k=1}^N a_k \right|  \leq \sum_{k=1}^N \left| a_k \right|
\end{equation*}

$P6)$ Propriedade Telescópica
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(b_k - b_{k-1}\right) = b_N - b_0
\end{equation*}

$P7)$ Soma de uma Sequência Aritmética
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N \left(A+Ck\right) = \left(N+1\right)\left(A+\frac{NC}{2}\right)
\end{equation*}

$P8)$ Soma de uma Sequência Geométrica
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N AC^k = A\left(\frac{1-C^{N+1}}{1-C}\right), \qquad C\neq 1
\end{equation*}

$P9)$ Soma dos Inteiros Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k = \frac{N(N+1)}{2}
\end{equation*}

$P10)$ Soma dos Quadrados Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}
\end{equation*}

$P11)$ Soma dos Cubos Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^3 = \frac{N^2(N+1)^2}{4}
\end{equation*}

Exemplos usando as propriedades básicas dos somatórios:

Exemplo $9$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{20} \left(2k^2-3k+1\right)
\end{aligned}
Usamos a propriedade $P4)$:
\begin{equation*}
= \sum_{k=1}^{20} 2k^2+\sum_{k=1}^{20}(-3k)+\sum_{k=1}^{20} 1
\end{equation*}
Agora, usamos as propriedades $P1)$ e $P1)$:
\begin{equation*}
2\sum_{k=1}^{20} -3\sum_{k=1}^{20}k + 20
\end{equation*}
Agora usamos a propriedade $P10)$ no primeiro somatório e a $P9)$ no segundo:
\begin{matrix}
=\frac{2(20)(21)(41)}{6}-\frac{3(20)(21)}{2}+20\\
=5740-630+20\\
=5130
\end{matrix}

Exemplo $10$:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^2(5k+1)
\end{equation*}
\begin{matrix}

=\sum_{k=1}^N5k^3+\sum_{k=1}^N k^2\\
=5\left(\frac{N^2(N+1)^2}{4}\right) + \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
= \frac{5N^2(N+1)^2}{4} + \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
=N(N+1)\left(\frac{5N(N+1)}{4}+\frac{(2N+1}{6}\right)\\
=N(N+1)\left(\frac{15N(N+1)+2(2N+1)}{12}\right)\\
=\frac{N(N+1)(15N^2+15N)+2N+2}{12}\\
=\frac{(N^2+N)(15N^2+15N)+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^4+15N^3+15N^3+15N^2+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^4+30N^3+15N^2+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^2(N^2+2N+1)+2(N+1)}{12}
\end{matrix}
Exemplo $11$:
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N \frac{1}{2^k}
\end{equation*}
Usando a propriedade $P8)$:
\begin{equation*}
=\sum_{k=0}^N \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{N+1}}{1-\frac{1}{2}} = 2-\frac{1}{2^N}
\end{equation*}

Exemplo $12$: Encontre a soma dos $100$ primeiros inteiros ímpares.

Pela propriedade $P7)$, fazemos $A=1$, $C=2$, $N=99$:
\begin{matrix}
\sum_{k=0}^{99} (1+2k)=1+3+5+\cdots +199\\
=100\left(1+\frac{99(2)}{2}\right)\\
=10.000
\end{matrix}

A Área sob uma Parábola

Este é um bom exemplo para aplicarmos a notação sigma. Calculemos a área $A$ sob a parábola $y=x^2$ entre $x=0$ e $x=1$.

Usando o conceito de integral definida, obtemos:
\begin{equation*}
A=\int_0^1 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3} u.a.
\end{equation*}
Agora, usemos a notação sigma. Considere a figura abaixo:
O intervalo $[0,1]$ foi subdividido em sub intervalos iguais:\begin{equation*}
\left[0,\frac{1}{N}\right] ,\left[\frac{1}{N},\frac{2}{N}\right] , \left[\frac{2}{N},\frac{3}{N}\right],\cdots ,\left[\frac{N-1}{N},\frac{N}{N}\right]
\end{equation*}
Vejam que o k-ésimo intervalo é:
\begin{equation*}
\left[\frac{k-1}{N},\frac{k}{N}\right]
\end{equation*}
Em cada subintervalo, podemos formar um retângulo circunscrito à curva, cuja altura do k-ésimo retângulo é $\displaystyle \left(\frac{k}{N}\right)^2$ e sua área é $\displaystyle \frac{1}{N}\cdot \left(\frac{k}{N}\right)^2$.

Podemos obter uma estimativa para a área $A$ somando as áreas dos $N$ retângulos circunscritos:
\begin{equation*}
A\approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2
\end{equation*}
E pela fórmula para a soma dos quadrados sucessivos:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2 = \sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{N^3}\right)k^2 = \left(\frac{1}{N}\right)^3 \sum_{k=1}^N k^2 = \frac{1}{N^3} \left( \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\right) = \frac{(N+1)(2N+1)}{6N^2}
\end{equation*}
Aplicando a distributiva no numerador, segue que:
\begin{equation*}
A\approx \frac{1}{3}+\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Como os retângulos são circunscritos à curva e somente aproximam a área, então:
\begin{equation*}
A \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{2N} + \frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Utilizemos agora, retângulos inscritos à mesma curva no mesmo intervalo, com os mesmos $N$ subintervalos:

Notamos que a altura do k-ésimo retângulo inscrito é $\displaystyle \left(\frac{k-1}{N}\right)^2$ e sua área é $\displaystyle \frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2$.

Novamente podemos obter uma estimativa para a área $A$, somando asáreas dos $N$ retângulos inscritos:
\begin{matrix}
A\approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2\\
=\frac{1}{N^3}\sum_{k=1}^N (k^2-2k+2)\\
=\frac{1}{N^3}\left(\sum_{k=1}^N k^2-2\sum_{k=1}^Nk+\sum_{k=1}^N\right)\\
=\frac{1}{N^3}\left(\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}-\frac{2N(N+1)}{2}+N\right)\\
=\frac{2N^2-3N+1}{6N^2}
\end{matrix}
Então, a área vale aproximadamente:
\begin{equation*}
A\approx \frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Como os retângulos são inscritos à curva e somente aproxima a área, então:
\begin{equation*}
A\geq \frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Deste modo, a área $A$ sob a curva, tem que estar entre as duas estimativas encontradas, de modo que:
\begin{matrix}
\frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}\leq A \leq \frac{1}{3}+\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}\\
\sum_{k=1}^N\frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2 \leq A \leq \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2
\end{matrix}
À medida que $N$ aumenta, ambas as estimativas se aproximam de um valor, tendo $1/3$ como limite. Como a área $A$ está entre as duas estimativas, podemos nos aproximar o quanto desejarmos do valor limite $1/3$, tomando cada vez mais subintervalos. Quando o número de subintervalos tende ao infinito, a área $A$ sob a curva $f(x)=x^2$, no intervalo $[0,1]$ tende a ser igual a $1/3$.

Exercícios: Desenvolva os somatórios

\begin{aligned}
&a) \: \sum_{k=1}^6 (2k+1)\\
&b) \: \sum_{k=3}^7 \frac{k}{k-2}\\
&c) \: \sum_{k=-1}^3 3^k\\
&d) \: \sum_{k=1}^{50}(2k+3)\\
&e) \: \sum_{k=1}^N k(k+1)\\
&f) \: \sum_{k=6}^{100}k^2\\
&g) \: \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}
\end{aligned}

Referências:

$[1]$ Cálculo V1 - Munem-Foulis
$[2]$ Cálculo com Geometria Anaçítica V1 - Simmons


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30/07/2014

A Equação do Número Prateado

Neste post veremos como encontrar a equação do número de prata, utilizando para isso proporções no retângulo prateado.

Definição $1$: O número prateado ou número de prata, ou ainda razão prateada, é uma constante irracional simbolizada por $\delta_S$ e numericamente vale:
\begin{equation}
\delta_S=1+\sqrt{2}
\end{equation}
Definição $2$: Um retângulo prateado é aquele cuja razão entre dois de seus lados adjacentes seja igual ao número prateado. Assim, tomando um retângulo de lados iguais a $AB$ e $AD$, a razão:
\begin{equation}
\frac{AB}{AD}=\delta_S=1+\sqrt{2}
\end{equation}
Partindo da construção geométrica do retângulo prateado, podemos deduzir a equação do número prateado. Considere o retângulo da figura acima. Pela definição de retângulo prateado, temos que a razão de prata é dada por:
\begin{equation}
\delta_S=\frac{AB}{AD}
\end{equation}
Usando semelhança de trângulos entre os retângulos $ABCD$ e $EBCF$, podemos deduzir que:
\begin{equation}
\frac{AD}{AB}=\frac{BE}{BC}
\end{equation}
No entanto, $BE=AB-2AD$, já que $AE=2AD$, e também $BC=AD$. Assim, podemos fazer estas substituições em $(4)$, obtendo:
\begin{equation}
\frac{AD}{AB}=\frac{AB-2AD}{AD}
\end{equation}
Mas, pela relação $(3)$, temos que $\delta_S=AB/AD$, e seu inverso será $\displaystyle \frac{1}{\delta_S}=\frac{AD}{AB}$. Assim:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\frac{1}{\delta_S}=\frac{AB-2AD}{AD}\\
\frac{1}{\delta_S}=\frac{AB}{AD}-\frac{2AD}{AD}\\
\frac{1}{\delta_S}=\delta_S-2
\end{matrix}
\end{equation}
Multiplicando ambos os lados da equação por $\delta_S$ para eliminar o denominador:
\begin{equation}
1=\delta_S^2-2\delta_S
\end{equation}
E assim obtemos:
\begin{equation}
\delta_S^2-2\delta_S-1=0
\end{equation}
A equação obtida em $(8)$ é a equação do Número prateado. Podemos resolver esta equação utilizando a fórmula para a equação de segundo grau:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\delta_S=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}\\
\delta_{S_1}=1+\sqrt{2}\\
\delta_{S_2}=1-\sqrt{2}
\end{matrix}
\end{equation}
Tomamos então a raiz positiva: $\delta_S=1+\sqrt{2}$ como solução da equação, encontrando o número prateado.

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