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30/07/2014

A Equação do Número Prateado

Neste post veremos como encontrar a equação do número de prata, utilizando para isso proporções no retângulo prateado.

Definição $1$: O número prateado ou número de prata, ou ainda razão prateada, é uma constante irracional simbolizada por $\delta_S$ e numericamente vale:
\begin{equation}
\delta_S=1+\sqrt{2}
\end{equation}
Definição $2$: Um retângulo prateado é aquele cuja razão entre dois de seus lados adjacentes seja igual ao número prateado. Assim, tomando um retângulo de lados iguais a $AB$ e $AD$, a razão:
\begin{equation}
\frac{AB}{AD}=\delta_S=1+\sqrt{2}
\end{equation}
Partindo da construção geométrica do retângulo prateado, podemos deduzir a equação do número prateado. Considere o retângulo da figura acima. Pela definição de retângulo prateado, temos que a razão de prata é dada por:
\begin{equation}
\delta_S=\frac{AB}{AD}
\end{equation}
Usando semelhança de trângulos entre os retângulos $ABCD$ e $EBCF$, podemos deduzir que:
\begin{equation}
\frac{AD}{AB}=\frac{BE}{BC}
\end{equation}
No entanto, $BE=AB-2AD$, já que $AE=2AD$, e também $BC=AD$. Assim, podemos fazer estas substituições em $(4)$, obtendo:
\begin{equation}
\frac{AD}{AB}=\frac{AB-2AD}{AD}
\end{equation}
Mas, pela relação $(3)$, temos que $\delta_S=AB/AD$, e seu inverso será $\displaystyle \frac{1}{\delta_S}=\frac{AD}{AB}$. Assim:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\frac{1}{\delta_S}=\frac{AB-2AD}{AD}\\
\frac{1}{\delta_S}=\frac{AB}{AD}-\frac{2AD}{AD}\\
\frac{1}{\delta_S}=\delta_S-2
\end{matrix}
\end{equation}
Multiplicando ambos os lados da equação por $\delta_S$ para eliminar o denominador:
\begin{equation}
1=\delta_S^2-2\delta_S
\end{equation}
E assim obtemos:
\begin{equation}
\delta_S^2-2\delta_S-1=0
\end{equation}
A equação obtida em $(8)$ é a equação do Número prateado. Podemos resolver esta equação utilizando a fórmula para a equação de segundo grau:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\delta_S=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}\\
\delta_{S_1}=1+\sqrt{2}\\
\delta_{S_2}=1-\sqrt{2}
\end{matrix}
\end{equation}
Tomamos então a raiz positiva: $\delta_S=1+\sqrt{2}$ como solução da equação, encontrando o número prateado.

Veja mais: 

O Número Prateado
O Retângulo Prateado
O Número Prateado na Trigonometria
O Número Prateado e a Área do Octógono Regular
Algumas Propriedades do Número Prateado no blog Fatos Matemáticos

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