30/08/2014

Como Construir uma Espiral Pitagórica

A Espiral Pitagórica é construída com triângulos retângulos cujas medidas dos lados são expressas por números inteiros.

Veremos neste post sua construção, assim como o desenvolvimento das fórmulas que geram os lados dos triângulos.


A Espiral Pitagórica é construída utilizando triângulos retângulos, onde a hipotenusa do primeiro triângulo retângulo é o menor cateto do segundo; e a hipotenusa do segundo triângulo retângulo é o menor cateto do terceiro; e assim por diante. Faz-se necessário encontrarmos um algoritmo que nos dê as medidas desses triângulos para que possamos sem dificuldades, construir a espiral.

Dentre as formas analisadas para a construção, podemos encontrar $4$ possibilidades que nos levam a quatro teoremas que nos dão as fórmulas para calcularmos os lados dos triângulos retângulos que compõem a Espiral Pitagórica.

Teorema 1: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ tem apenas uma solução se $a$ for um primo ímpar;


Demonstração:

A equação $a^2+b^2=c^2$ pode ser escrita como:
\begin{equation}
c+b=\frac{a^2}{c-b}
\end{equation}
Uma vez que $b$ e $c$ são inteiros, logo $c-b$ tem que dividir $a^2$ sem deixar resto. Logo, $c-b$ são os divisores positivos de $a^2$. Se $a^2$ é o quadrado de um primo ímpar, os divisores de $a^2$ são: $a^2$, $a$ e $1$. Substituindo estes divisores na relação $(1)$, obtemos os seguintes sistemas lineares:
\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&a^2\\
c & +&b & =&1
\end{matrix}\right.
\qquad
S_2:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&a\\
c & +&b & =&a
\end{matrix}\right.
\qquad
S_3:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&1\\
c & +&b & =&a^2
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Dos três sistemas de equação acima, apenas a solução $S_3$ é compatível. Resolvendo o sistema, obtemos:
\begin{equation}
c=\frac{a^2+1}{2} \qquad \text{,}\qquad b=c-1
\end{equation}

Exemplos:

$1)$ Se $a=3$, $\displaystyle c=\frac{3^2+1}{2}=5$ e $b=c-1=5-1=4$

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(3,4,5)$.

$2)$ Se $a=5$, $\displaystyle c=\frac{5^2+1}{2}=13$ e $b=13-1=12$.

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(5,12,13)$.

$3)$ Se $a=13$, $\displaystyle c=\frac{13^2+1}{2}=85$ e $b=85-1=84$.

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(13,84,85)$.

 Como $c=85$ é um ímpar composto, o teorema $1$ falha e este caso será analisado no teorema $4$.


Teorema $2$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ tem apenas uma solução se $a$ for um par da forma $2p$, onde $p$ é um primo ímpar;

Demonstração:

Substituindo $a$ por $2p$ na equação $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
c+b=\frac{4p^2}{c-b}
\end{equation}
Como $c$ e $b$ são inteiros, $c-b$ tem que dividir $4p^2$ sem deixar resto; logo, $c-b$ são os divisores positivos de $4p^2$ menores que $4p$. Os divisores pares de $4p^2$ menores que $4p$ são: $2$ e $4$. Substituindo $2$ e $4$ por $c-b$ em $\displaystyle c+b=\frac{4p^2}{c-b}$, obtemos os seguintes sistemas lineares:

\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&2\\
c & +&b & =&2p^2
\end{matrix}\right.
\qquad
S_2:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&4\\
c & +&b & =&p^2
\end{matrix}\right.
\end{equation}


Já que $c$ é inteiro, dos sistemas de equações acima somente $S_1$ é compatível. Resolvendo $S_1$, obtemos:
\begin{equation}
c=p^2+1
\end{equation}
Como $a=2p$, logo $\displaystyle p=\frac{a}{2}$. Substituindo $p$ por $\displaystyle \frac{a}{2}$ na relação $(6)$, obtemos que:
\begin{equation}
c=\frac{a^2}{4}+1 \qquad \text{,} \qquad b=c-2
\end{equation}

Exemplos:

$4)$ Se $a=2p=2\cdot 3=6$, $\displaystyle c=\frac{6^2}{4}+1=10$ e $b=10-2=8$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(6,8,10)$.

$5)$ Se $a=2p=2\cdot 5=10$, $\displaystyle c=\frac{10^2}{4}+1=26$ e $b=26-2=24$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(10, 24, 26)$.

$6)$ Se $a=2p=2\cdot13=26$, $\displaystyle c=\frac{26^2}{4}+1=170$ e $b=170-2=168$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(26, 168, 170)$.

Como $c=170$ não é um par da forma $2p$, o teorema $2$ falha e este caso será analisado no teorema $3$.

Teorema $3$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$, possui um número de soluções inteiras igual ao número de divisores pares $(k)$ de $a^2$ menores que $a$ tal que $a^2$ divida $2k$ sem deixar resto, se $a$ for um par diferente de $2p$.

Demonstração:

Seja $c-b=k$ os divisores de $a^2$. Substituindo $c-b$ por $k$ na equação $(1)$, obtemos o seguinte sistema de equações:
\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&k\\
c & +&b & =&\frac{a^2}{k}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos a seguinte solução:
\begin{equation}
2c=k+\frac{a^2}{k}\qquad \text{ou}\qquad c=\frac{a^2+k^2}{2k}
\end{equation}
Como $c-b=k$, logo $b=c-k$. Como $2c$ e $k$ são sempre pares, a fim de que $c$ seja inteiro, $\displaystyle \frac{a^2}{k}$ tem que ser par. Como $2k$ e $a^2$ são pares, e além disso, $k$ são os divisores de $a^2$, se incluirmos os divisores ímpares de $a^2$, a soma $a^2+k^2$ vai ser ímpar, e, consequentemente, $a^2+k^2$ dividido por $2k$ vai ser fracionário. Foi por isso que consideramos somente os divisores pares de $a^2$.

Se $k=a$, então $\displaystyle c=\frac{a^2+a^2}{2a}=a$. Como $b=c-k$, então $b=a-a=0$. Logo, os divisores pares de $a^2$ devem ser menores que $a$.

Portanto, se $a$ for par diferente de $2p$, o número de soluções em inteiros é igual ao número de divisores pares de $a^2$ menores que $a$, que divide $\displaystyle \frac{a^2}{2k}$.

Exemplos:

$7)$ Os divisores pares de $170^2$ menores que $170$ são: $k=2$, $4$, $10$, $20$, $34$, $50$ e $68$.

Para $a=170$ e $k=2$, temos:$\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 1}=7225$;

Para $a=170$ e $k=4$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 4}=3612,5$;

Para $a=170$ e $k=10$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 10}=1445$;

Para $a=170$ e $k=20$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2 \cdot 20}=722,5$;

Para $a=170$ e $k=34$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 34}=425$;

Para $=170$ e $k=50$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 50}=289$;

Para $a=170$ e $k=64$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 64}=212,5$.

Como para $k=4$, $k=20$ e $k=68$, $\displaystyle \frac{a^2}{2k}$ não é inteiro, logo, só existem quatro ternos pitagóricos com $a=170$, os quais são:

$(170, 7224, 7226)$, $(170, 1440, 1450)$, $(170, 408, 442)$ e $(170, 264, 314)$.

Vamos escolher a hipotenusa com menor valor como cateto menor do próximo triângulo pitagórico. Escolhemos a hipotenusa com menor valor para evitar que não trabalhemos com números muito grandes para hipotenusas.

Os divisores pares de $314^2 < 314$ são $k=2$ e $k=4$.

Para $a=314$ e $k=2$, temos: $\displaystyle \frac{314^2}{2\cdot 2}=24649$;

Para $a=314$ e $k=4$, temos: $\displaystyle \frac{314^2}{2\cdot 4}=12324,5$.

Só existe um terno pitagórico com $a=314$. Para $a=314$ e $k=2$, o terno pitagórico é:
\begin{equation*}
c=\frac{314^2+2^2}{2\cdot 2}=24650 \qquad \text{e} \qquad b=24650-2-25648
\end{equation*}
O triângulo pitagórico é $(a,b,c)=(314, 24648, 24650)$.

Como o valor da hipotenusa $(24650)$ é muito grande, paremos por aqui.

Teorema $4$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ possui um número de soluções igual ao número de divisores de $k$ de $a^2$ menores que $a$.

Demonstração:

Pelo Teorema $3$, já que um número ímpar composto tem apenas divisores ímpares, então se $a$ for ímpar, o número de soluções inteiras é igual ao número de divisores de $a^2$ menores que $a$.

Exemplos:

$8)$ Os divisores de $85^2<85$ são: $k=1$, $k=5$, $k=17$ e $k=25$.

Para $k=1$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+1^1}{2\cdot 1}=3613 \qquad \text{e} \qquad b=3613-1=3612
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 3612,3613)$.

Para $k=5$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+5^2}{2\cdot 5}=725 \qquad \text{e} \qquad b=725-5=720
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 720,725)$.

Para $k=17$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+17^2}{2\cdot 17}=221 \qquad \text{2} \qquad b=221-17=204
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 204, 221)$.

Para $k=25$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+25^2}{2\cdot 25}=157 \qquad \text{e} \qquad b=157-25=132
\end{equation*}
O triângulo pitagórico $(a,b,c)=(85, 132, 157)$.

Já que na espiral pitagórica, a partir do segundo triângulo pitagórico, o cateto menor é sempre a hipotenusa do triângulo anterior, das quatro hipotenusas $(3613, 725, 221, 157)$, vamos escolher a hipotenusa com menor valor como cateto menor do próximo triângulo pitagórico. Escolhemos a hipotenusa com menor valor para evitar que trabalhemos com números muito grandes para a hipotenusa.

O divisor de $157^2 < 157$ é: $k=1$

Para $k=1$:
\begin{equation*}
c=\frac{157^2+1^2}{2\cdot 1}=12325 \qquad \text{e} \qquad b=12325-1=12324
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(157, 12324, 12325)$.

Os divisores de $12325^2 < 12325$ são:
$k=1, 5, 17, 25, 29, 85, 125, 289, 425, 493, 625, 725, 841, 1445, 2125, 2465, 3625, 7225 \: \text{e}\: 10625$.

Quanto maior o valor de $k$, menor será a medida da hipotenusa. Para evitar cálculos desnecessário, tomemos o maior valor de $k$:

Para $k=10625$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+10625^2}{2\cdot 10625}=12461 \qquad \text{e} \qquad b=12461-10625=1836
\end{equation*}
O terno pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 1836, 12461)$. Como $b<a$, logo $(12325,1836,12461)$ é um terno pitagórico, mas não são medidas de um triângulo pitagórico.

Como para $k=10625$ não é compatível com as medidas de um triângulo pitagórico, então vamos escolher $k=7225$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+7225^2}{2\cdot 7225}=14125 \qquad \text{e} \qquad b=14125-7225=6900
\end{equation*}
O terno pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 6900, 14125)$. Como $b<a$, logo $(12325, 6900, 14125)$ é um terno pitagórico, mas não são medidas de um triângulo pitagórico.

Como para $k=7225$ não é compatível com as medidas de um triângulo pitagórico, então vamos escolher $k=3625$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+3625^2}{2\cdot 3625}=22765 \qquad \text{e} \qquad b=22765-3625=19140
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 19140, 22765)$. 

Como o valor da hipotenusa $(22765)$ é muito grande, paramos por aqui.

Com posse dos valores encontrados nos exemplos dos teoremas $1$ a $4$ acima, podemos construir duas espirais distintas:

A primeira espiral será construída com triângulos pitagóricos, cujas hipotenusas são número ímpares, encontradas nos Teoremas $1$ e $4$:
\begin{equation*}
(3,4,5),(5,12,13),(13,84,85),(85,132,157),(157,12324,12325),(12325,19140,22765)
\end{equation*}

[Espiral Pitagórica Ímpar]

A segunda espiral será construída com triângulos pitagóricos, cujas hipotenusas são pares, encontradas nos Teoremas $2$ e $3$:
\begin{equation*}
(6,8,10), (10,24,26), (26,168,170), (170, 264, 314), (314, 24648, 24650)
\end{equation*}

[Espiral Pitagórica Par]

Como as medidas dos lados dos triângulos retângulos crescem rapidamente, fica difícil fazer uma espiral como vários triângulos. Portanto, os desenhos acima servem apenas para ilustrar a formação da espiral. Numericamente, podemos observar que a espiral pitagórica par cresce mais rápido que a espiral ímpar.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.


Veja mais

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Construção da Espiral de Arquimedes com Régua e Compasso
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09/08/2014

A Notação Sigma Para Somas

A definição formal de integral definida envolve a soma de uma quantidade muito grande de termos, tornando-se necessária uma notação especial.

No simbolismo matemático usamos a letra grega maiúscula Sigma, representada pelo glifo $\displaystyle \Sigma$, correspondente à letra latina $S$, e é chamada de Notação Sigma. Não por acaso é a primeira letra da palavra soma, que ajuda a lembrar o propósito da notação sigma, designando a ideia de somatório ou adição.

Quando usamos o símbolo $\displaystyle \sum$, queremos representar a soma de todos os termos que obedecem a uma forma geral. Assim:
\begin{equation*}
\sum _{k=m}^n a_k=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_n
\end{equation*}
Lê-se: A soma de $a_k$, com $k$ assumindo valores que variam de $m$ a $n$.

A variável $k$ é o índice do somatório e designa uma valor inicial chamado limite inferior igual a $m$, assumindo valores inteiros até alcançar o limite superior igual a $n$.

Não necessariamente o índice é representado pela letra $k$. Podemos usar as letras $i$, $j$, $k$, ou outra qualquer dependendo da necessidade, servindo ao mesmo propósito. Então:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N a_k = \sum_{i=1}^N a_i = \sum_{j=1}^N a_j
\end{equation*}
Se quisermos somar os números naturais de $2$ a $6$, por exemplo, escrevemos na notação de somatório:
\begin{equation*}
\sum_{k=2}^6 k = 2+3+4+5+6
\end{equation*}
Vejamos outros exemplos específicos na notação sigma:

Exemplo $1$:

\begin{aligned}
\sum_{k=1}^5 k^2& = 1^2 + 2^2 +3^2+4^2+5^2\\
&=1+4+9+16+25\\
&=55
\end{aligned}
Esta é a soma dos quadrados dos cinco primeiros números naturais.

Exemplo $2$:

\begin{aligned}
\sum_{k=1}^4 2^k &=2^1+2^2+2^3+2^4\\
&=2+4+8+16\\
&=30
\end{aligned}
Esta é a soma das quatro primeiras potências de $2$.

Exemplo $3$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N 2k =2+4+6+\cdots+2N
\end{aligned}
Esta é a soma dos $N$ primeiros números pares.

Exemplo $4$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N (2k-1)=1+3+5+\cdots+(2N-1)
\end{aligned}
Esta é a soma dos $N$ primeiros números ímpares.

Exemplo $5$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N (3^k-3^{k-1})&=(3^1-3^0)+(3^2-3^1)+\cdots+(3^N-3^{N-1})
\end{aligned}
Aqui fazemos uma pequena manipulação:

\begin{aligned}
&=-3^0+(3^1-3^1)+(3^2-3^2)+\cdots +(3^{N-1}-3^{N-1})+3^N\\
&=3^N-3^0=3^N-1
\end{aligned}


Exemplo $6$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N k &=1+2+3+\cdots+N\\
&= \frac{N(N+1)}{2}
\end{aligned}
Esta é a fórmula para a soma dos $N$ termos de uma $P.A.$ finita.

Podemos ainda fazer o processo inverso: dada uma sequência, vamos encontrar a notação sigma:

Exemplo $7$:
\begin{aligned}
3+9+27+81 = 3^1+3^2+3^3+3^4= \sum_{k=1}^4 3^k
\end{aligned}


Exemplo $8$:
\begin{aligned}
&5+9+13+17+21+15\\
&= 5+(5+4)+(5+8)+(5+12)+(5+16)+(5+20)\\
&= 5+(5+4)+(5+4\cdot 2)+(5+4\cdot 3)+(5+4\cdot 4)+(5+4\cdot 5)\\
&= \sum_{k=0}^5 (5+4k)
\end{aligned}
A Notação Sigma é essencialmente útil para indicar a soma dos termos de uma sequência numérica. Normalmente, quando trabalhamos com sequências, é conveniente começar com um termo de ordem zero: $a_0$. Assim, o segundo termos é $a_1$, o terceiro é $a_2$, e assim por diante. Podemos escrevê-la como $a_0, a_1, a_2, \cdots $. Assim, o k-ésimo termo da sequência é $a_k$ e a soma dos $N$ termos pode ser escrita como:
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N a_k=a_0+a_1+a_2+\cdots + a_N
\end{equation*}
Se quisermos somar apenas o terceiro, o quarto e o quinto termos, escrevemos:
\begin{equation*}
\sum_{k=2}^4 a_k=a_2+a_3+a_4
\end{equation*}

Propriedades Básicas dos Somatórios

Algumas propriedades básicas dos somat´rios podem ser estabelecidas. Consideremos que $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_N$ e $b_0, b_1, b_2, \cdots , b_N$, representam sequências de números e seja $A, B,C$ números constantes.

$P1)$ Propriedade da Constante
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N C= NC
\end{equation*}

$P2)$ Propriedade da Homogenidade
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N Ca_k = C\sum_{k=1}^N a_k
\end{equation*}

$P3)$ Propriedade Aditiva
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(a_k+b_k\right)=\sum_{k=1}^N a_k + \sum_{k=1}^N b_k
\end{equation*}

$P4)$ Propriedade Linear
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(Aa_k + Bb_k\right) = A\sum_{k=1}^N a_k + B\sum_{k=1}^N b_k
\end{equation*}

$P5)$ Desigualdade Triangular Generalizada
\begin{equation*}
\left| \sum_{k=1}^N a_k \right|  \leq \sum_{k=1}^N \left| a_k \right|
\end{equation*}

$P6)$ Propriedade Telescópica
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(b_k - b_{k-1}\right) = b_N - b_0
\end{equation*}

$P7)$ Soma de uma Sequência Aritmética
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N \left(A+Ck\right) = \left(N+1\right)\left(A+\frac{NC}{2}\right)
\end{equation*}

$P8)$ Soma de uma Sequência Geométrica
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N AC^k = A\left(\frac{1-C^{N+1}}{1-C}\right), \qquad C\neq 1
\end{equation*}

$P9)$ Soma dos Inteiros Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k = \frac{N(N+1)}{2}
\end{equation*}

$P10)$ Soma dos Quadrados Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}
\end{equation*}

$P11)$ Soma dos Cubos Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^3 = \frac{N^2(N+1)^2}{4}
\end{equation*}

Exemplos usando as propriedades básicas dos somatórios:

Exemplo $9$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{20} \left(2k^2-3k+1\right)
\end{aligned}
Usamos a propriedade $P4)$:
\begin{equation*}
= \sum_{k=1}^{20} 2k^2+\sum_{k=1}^{20}(-3k)+\sum_{k=1}^{20} 1
\end{equation*}
Agora, usamos as propriedades $P1)$ e $P1)$:
\begin{equation*}
2\sum_{k=1}^{20} -3\sum_{k=1}^{20}k + 20
\end{equation*}
Agora usamos a propriedade $P10)$ no primeiro somatório e a $P9)$ no segundo:
\begin{matrix}
=\frac{2(20)(21)(41)}{6}-\frac{3(20)(21)}{2}+20\\
=5740-630+20\\
=5130
\end{matrix}

Exemplo $10$:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^2(5k+1)
\end{equation*}
\begin{matrix}

=\sum_{k=1}^N5k^3+\sum_{k=1}^N k^2\\
=5\left(\frac{N^2(N+1)^2}{4}\right) + \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
= \frac{5N^2(N+1)^2}{4} + \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
=N(N+1)\left(\frac{5N(N+1)}{4}+\frac{(2N+1}{6}\right)\\
=N(N+1)\left(\frac{15N(N+1)+2(2N+1)}{12}\right)\\
=\frac{N(N+1)(15N^2+15N)+2N+2}{12}\\
=\frac{(N^2+N)(15N^2+15N)+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^4+15N^3+15N^3+15N^2+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^4+30N^3+15N^2+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^2(N^2+2N+1)+2(N+1)}{12}
\end{matrix}
Exemplo $11$:
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N \frac{1}{2^k}
\end{equation*}
Usando a propriedade $P8)$:
\begin{equation*}
=\sum_{k=0}^N \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{N+1}}{1-\frac{1}{2}} = 2-\frac{1}{2^N}
\end{equation*}

Exemplo $12$: Encontre a soma dos $100$ primeiros inteiros ímpares.

Pela propriedade $P7)$, fazemos $A=1$, $C=2$, $N=99$:
\begin{matrix}
\sum_{k=0}^{99} (1+2k)=1+3+5+\cdots +199\\
=100\left(1+\frac{99(2)}{2}\right)\\
=10.000
\end{matrix}

A Área sob uma Parábola

Este é um bom exemplo para aplicarmos a notação sigma. Calculemos a área $A$ sob a parábola $y=x^2$ entre $x=0$ e $x=1$.

Usando o conceito de integral definida, obtemos:
\begin{equation*}
A=\int_0^1 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3} u.a.
\end{equation*}
Agora, usemos a notação sigma. Considere a figura abaixo:
O intervalo $[0,1]$ foi subdividido em sub intervalos iguais:\begin{equation*}
\left[0,\frac{1}{N}\right] ,\left[\frac{1}{N},\frac{2}{N}\right] , \left[\frac{2}{N},\frac{3}{N}\right],\cdots ,\left[\frac{N-1}{N},\frac{N}{N}\right]
\end{equation*}
Vejam que o k-ésimo intervalo é:
\begin{equation*}
\left[\frac{k-1}{N},\frac{k}{N}\right]
\end{equation*}
Em cada subintervalo, podemos formar um retângulo circunscrito à curva, cuja altura do k-ésimo retângulo é $\displaystyle \left(\frac{k}{N}\right)^2$ e sua área é $\displaystyle \frac{1}{N}\cdot \left(\frac{k}{N}\right)^2$.

Podemos obter uma estimativa para a área $A$ somando as áreas dos $N$ retângulos circunscritos:
\begin{equation*}
A\approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2
\end{equation*}
E pela fórmula para a soma dos quadrados sucessivos:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2 = \sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{N^3}\right)k^2 = \left(\frac{1}{N}\right)^3 \sum_{k=1}^N k^2 = \frac{1}{N^3} \left( \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\right) = \frac{(N+1)(2N+1)}{6N^2}
\end{equation*}
Aplicando a distributiva no numerador, segue que:
\begin{equation*}
A\approx \frac{1}{3}+\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Como os retângulos são circunscritos à curva e somente aproximam a área, então:
\begin{equation*}
A \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{2N} + \frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Utilizemos agora, retângulos inscritos à mesma curva no mesmo intervalo, com os mesmos $N$ subintervalos:

Notamos que a altura do k-ésimo retângulo inscrito é $\displaystyle \left(\frac{k-1}{N}\right)^2$ e sua área é $\displaystyle \frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2$.

Novamente podemos obter uma estimativa para a área $A$, somando asáreas dos $N$ retângulos inscritos:
\begin{matrix}
A\approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2\\
=\frac{1}{N^3}\sum_{k=1}^N (k^2-2k+2)\\
=\frac{1}{N^3}\left(\sum_{k=1}^N k^2-2\sum_{k=1}^Nk+\sum_{k=1}^N\right)\\
=\frac{1}{N^3}\left(\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}-\frac{2N(N+1)}{2}+N\right)\\
=\frac{2N^2-3N+1}{6N^2}
\end{matrix}
Então, a área vale aproximadamente:
\begin{equation*}
A\approx \frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Como os retângulos são inscritos à curva e somente aproxima a área, então:
\begin{equation*}
A\geq \frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Deste modo, a área $A$ sob a curva, tem que estar entre as duas estimativas encontradas, de modo que:
\begin{matrix}
\frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}\leq A \leq \frac{1}{3}+\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}\\
\sum_{k=1}^N\frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2 \leq A \leq \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2
\end{matrix}
À medida que $N$ aumenta, ambas as estimativas se aproximam de um valor, tendo $1/3$ como limite. Como a área $A$ está entre as duas estimativas, podemos nos aproximar o quanto desejarmos do valor limite $1/3$, tomando cada vez mais subintervalos. Quando o número de subintervalos tende ao infinito, a área $A$ sob a curva $f(x)=x^2$, no intervalo $[0,1]$ tende a ser igual a $1/3$.

Exercícios: Desenvolva os somatórios

\begin{aligned}
&a) \: \sum_{k=1}^6 (2k+1)\\
&b) \: \sum_{k=3}^7 \frac{k}{k-2}\\
&c) \: \sum_{k=-1}^3 3^k\\
&d) \: \sum_{k=1}^{50}(2k+3)\\
&e) \: \sum_{k=1}^N k(k+1)\\
&f) \: \sum_{k=6}^{100}k^2\\
&g) \: \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}
\end{aligned}

Referências:

$[1]$ Cálculo V1 - Munem-Foulis
$[2]$ Cálculo com Geometria Anaçítica V1 - Simmons


Veja mais: 

A Soma de Gauss
O Cálculo Integral: O Cálculo das Áreas
A Notação Sigma para Somatórios no blog Fatos Matemáticos

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30/07/2014

A Equação do Número Prateado

Neste post veremos como encontrar a equação do número de prata, utilizando para isso proporções no retângulo prateado.

Definição $1$: O número prateado ou número de prata, ou ainda razão prateada, é uma constante irracional simbolizada por $\delta_S$ e numericamente vale:
\begin{equation}
\delta_S=1+\sqrt{2}
\end{equation}
Definição $2$: Um retângulo prateado é aquele cuja razão entre dois de seus lados adjacentes seja igual ao número prateado. Assim, tomando um retângulo de lados iguais a $AB$ e $AD$, a razão:
\begin{equation}
\frac{AB}{AD}=\delta_S=1+\sqrt{2}
\end{equation}
Partindo da construção geométrica do retângulo prateado, podemos deduzir a equação do número prateado. Considere o retângulo da figura acima. Pela definição de retângulo prateado, temos que a razão de prata é dada por:
\begin{equation}
\delta_S=\frac{AB}{AD}
\end{equation}
Usando semelhança de trângulos entre os retângulos $ABCD$ e $EBCF$, podemos deduzir que:
\begin{equation}
\frac{AD}{AB}=\frac{BE}{BC}
\end{equation}
No entanto, $BE=AB-2AD$, já que $AE=2AD$, e também $BC=AD$. Assim, podemos fazer estas substituições em $(4)$, obtendo:
\begin{equation}
\frac{AD}{AB}=\frac{AB-2AD}{AD}
\end{equation}
Mas, pela relação $(3)$, temos que $\delta_S=AB/AD$, e seu inverso será $\displaystyle \frac{1}{\delta_S}=\frac{AD}{AB}$. Assim:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\frac{1}{\delta_S}=\frac{AB-2AD}{AD}\\
\frac{1}{\delta_S}=\frac{AB}{AD}-\frac{2AD}{AD}\\
\frac{1}{\delta_S}=\delta_S-2
\end{matrix}
\end{equation}
Multiplicando ambos os lados da equação por $\delta_S$ para eliminar o denominador:
\begin{equation}
1=\delta_S^2-2\delta_S
\end{equation}
E assim obtemos:
\begin{equation}
\delta_S^2-2\delta_S-1=0
\end{equation}
A equação obtida em $(8)$ é a equação do Número prateado. Podemos resolver esta equação utilizando a fórmula para a equação de segundo grau:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\delta_S=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}\\
\delta_{S_1}=1+\sqrt{2}\\
\delta_{S_2}=1-\sqrt{2}
\end{matrix}
\end{equation}
Tomamos então a raiz positiva: $\delta_S=1+\sqrt{2}$ como solução da equação, encontrando o número prateado.

Veja mais: 

O Número Prateado
O Retângulo Prateado
O Número Prateado na Trigonometria
O Número Prateado e a Área do Octógono Regular
Algumas Propriedades do Número Prateado no blog Fatos Matemáticos

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26/07/2014

Resolução da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx$

Integrais por frações parciais às vezes podem ser complicadas de serem resolvidas. Às vezes é mais complicado encontrar as frações parciais equivalente ao integrando do que resolver as integrais obtidas após este processo. Este é um exemplo interessante porque além de trabalharmos com métodos de integração, utilizamos o método de eliminação de Gauss na resolução do sistema linear que geram as frações parciais. Veremos passo a passo cada etapa desta resolução.

Seja a integral:
\begin{equation}
\int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx=I
\end{equation}
Sugiro a leitura do artigo sobre o método de integração por frações parciais. Primeiramente, fatoramos o denominador do integrando:
\begin{equation}
I = \int \frac{1}{(x^2-1)(x^2-1)}dx = \int \frac{1}{(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)}dx
\end{equation}
Como há fatores lineares no denominador e eles se repetem, este é o segundo caso do método para denominadores lineares. Vejam o o artigo aqui. O integrando deve ser:
\begin{equation}
\frac{1}{(x+1)^2(x-1)^2}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x-1)}+\frac{D}{(x-1)^2}
\end{equation}
 Eliminando o denominador, obtemos:
\begin{equation*}
1=A(x+1)(x-1)^2+B(x-1)^2+C(x-1)(x+1)^2+D(x+1)^2
\end{equation*}
Aplicando a distributiva:
\begin{equation*}
1=Ax^3-Ax^2-Ax+A+Bx^2-2Bx+B+Cx^3+Cx^2-Cx-C+Dx^2+2Dx+D
\end{equation*}
Fatorando as potências:
\begin{equation*}
1=x^3(A+C)+x^2(-A+B+C+D)+x(-A-2B-C+2D+A+B-C+D
\end{equation*}
Agora, igualamos os coeficientes dos dois membros da relação, obtendo o sistema linear:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
-A & -2B & -C &+2D &=0 \\
A & +B & -C & +D &=1\\
A &  & +C & &=0
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para resolver este sistema, utilizaremos o Método de Eliminação de Gauss (escalonamento), deixando o sistema triangular superior. Para eliminar o termo que contém $A$ da segunda equação, somamo-a à primeira equação multiplicada por $-1$; Para eliminar o termo que contém $A$ da terceira equação, basta somarmos com a primeira equação; E o mesmo ocorre com a quarta equação. Então obtemos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
 & -3B & -2C & +D &=0 \\
 & +2B &  & +2D &=1\\
 & B & +2C & D&=0
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para facilitar o escalonamento, utilizaremos as propriedades, trocando a quarta pela segunda equação, e a segunda pela terceira equação:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
 & B & +2C & D&=0\\
 & -3B & -2C & +D &=0 \\
 & +2B &  & +2D &=1\\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para eliminarmos o termo que contém $B$ da terceira e quarta equações, somamos a terceira equação com a segunda multiplicada por $3$; e somamos a quarta equação com a segunda multiplicada por $-2$. Obtemos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
 & B & +2C & D&=0\\
 &  & 4C & +4D &=0 \\
 &  & -4C &  &=1\\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Temos imediatamente que $C=-1/4$. Substituindo $C$ na terceira equação, obtemos $D=1/4$. Substituindo $C$ e $D$ na segunda equação, obtemos $B=1/4$. Finalmente, substituindo $B$, $C$ e $D$ na primeira equação, obtemos $A=1/4$. Agora já temos condições de substituir estes valores nas frações parciais :
\begin{equation}
I=\int \left( \frac{1}{4(x+1)}+\frac{1}{4(x+1)^2}-\frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{4(x-1)^2}\right) dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I=\frac{1}{4}\int\frac{dx}{(x+1)}+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x+1)^2}-\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x-1)}+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x-1)^2}
\end{equation}
Para resolvermos cada uma das quatro integrais acima, utilizaremos o Método da Substituição. Fazemos:

$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x+1)}$, fazemos $u=x+1$ e $du=dx$;
$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x+1)^2}$, fazemos $v=x+1$ e $dv=dx$;
$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x-1)}$, fazemos $p=x-1$ e $dp=dx$;
$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x-1)^2}$, fazemos $w=x-1$ e $dw=dx$.

Substituindo em cada integral de  $(9)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{4}\int \frac{du}{u}+\frac{1}{4}\int \frac{dv}{v^2}-\frac{1}{4}\int \frac{dp}{p}+\frac{1}{4}\int \frac{dw}{x^2}\\
I=\frac{1}{4}\ln (u)-\frac{1}{4v}-\frac{1}{4}\ln(p) - \frac{1}{4w}+C\\
I=\frac{1}{4}\left[\ln(u)-\ln(p)-\frac{1}{v}-\frac{1}{w}\right]+C
\end{matrix}
\end{equation}
Substituindo $u$, $v$, $p$ e $w$:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{4}\left[\ln(x+1)-\ln(x-1)-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}\right]+C\\
I=\frac{1}{4}\left[\ln(x+1)-\ln(x-1)-\frac{(x-1)-(x+1)}{(x^2-1)}\right]+C\\
I=\frac{1}{4}\left[\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)-\frac{2x}{(x^2-1)}\right]+C
\end{matrix}
\end{equation}

Veja mais 

Integral por Substituição
Integral por Frações Parciais - Fatores Lineares
Integral por Frações Parciais - Fatores Quadráticos

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09/07/2014

Integral de $\displaystyle \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx$

Às vezes surgem dúvidas de leitores que valem um post. A resolução desta integral é interessante e usa o método de substituição trigonométrica.

Seja a integral:
\begin{equation*}
\int \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx = I
\end{equation*}
Vejam o artigo sobre o método da substituição trigonométrica para resolução de certas integrais. Com o auxílio visual, analisemos o triângulo retângulo da figura acima.

Temos que $\displaystyle \text{sen}(\theta) = \frac{x}{4} \Rightarrow x=4 \text{sen}(\theta)$ e então $dx=4\cos (\theta) d \theta$. E ainda temos que $\displaystyle \sqrt{16-x^2} = 4 \cos (\theta)$.

Assim, a integral fica:
\begin{matrix}
I = \frac{1}{4} \int \frac{4\cos (\theta)}{16 \text{sen}^2 (\theta)}\cdot 4\cos (\theta) d \theta\\
I= \frac{1}{4} \int \frac{16 \cos^2 (\theta)}{16 \text{sen}^2 (\theta)}d \theta\\
I= \frac{1}{4} \int \text{cotg}^2 (\theta) d \theta
\end{matrix}
Da identidade trigonométrica $1+\text{cotg}^2(x)=\text{cossec}^2(x)$, temos que:
\begin{equation*}
I=\frac{1}{4} \int \left( \text{cossec}^2 (\theta)-1 \right) d \theta
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I=\frac{1}{4} \int \text{cossec}^2 (\theta) d\theta - \frac{1}{4} \int 1 d\theta
\end{equation*}
A integral de $\text{cossec}^2 (\theta)$ é $-\text{cotg}(\theta)+C$. Assim:
\begin{equation*}
I=-\frac{1}{4} \cdot \text{cotg} (\theta) - \frac{1}{4} \cdot \theta + C = -\frac{1}{4}\left(\theta + \text{cotg}(\theta)\right) + C
\end{equation*}
Mas $\displaystyle \theta = \text{arcsen}\left(\frac{x}{4} \right)$ e $\displaystyle \text{cotg}(\theta) = \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}$. Assim:
\begin{matrix}
I=-\frac{1}{4}\left( \text{arcsen}\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}\right)+C\\
I=\int \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx=-\frac{x\ \text{arcsen}\left(\frac{x}{4}\right) + \sqrt{16-x^2}}{4x}+C
\end{matrix}

Veja mais:

Integração por Substituição Trigonométrica
Integração por Frações Parciais - Fatores Lineares
Integração por Frações Parciais - Fatores Quadráticos Irredutíveis

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07/06/2014

Florence Nightingale e os Gráficos Estatísticos

É inegável a importância que os gráficos estatísticos adquiriram nos dias de hoje, nas mais variadas áreas do conhecimento, principalmente me virtude da existência de diversos aplicativos computacionais relativamente simples de serem operados. Isso se deve ai seu grande poder de concisão e forte apelo visual.

Nos livros, revistas, jornais e relatórios, os gráficos são de fácil entendimento para a maior parte das pessoas. Geralmente são considerados até mais compreensíveis do que as tabelas.

Além de serem utilizados como meio rápido e fácil de comunicação, os gráficos estatísticos também são úteis na busca de padrões de comportamento e relações entre variáveis, na descoberta de novos fenômenos, na aceitação ou rejeição de hipóteses, etc.

Florence Nightingale foi uma das pioneiras na utilização dos gráficos estatísticos. Nasceu em Villa Colombia, próximo de Florença, Itália, em maio de $1820$. Seus pais eram de origem britânica e estavam viajando pela Europa quando ela nasceu.

Apresentou, desde cedo, uma forte inclinação para o estudo da Matemática. Gostava de indicar por números tudo que pudesse ser registrado, tal como distâncias, tempos de viagem, orçamentos, etc. No entanto, Nighingale sofreu forte oposição dos pais, que, por fim, cederam aos anseios da filha. Assim, ela conseguiu realizar seus sonhos de estudo e ainda preparou-se para exercer a Enfermagem.

É frequentemente lembrada como uma das fundadoras da profissão de enfermeira e reformadora dos sistemas de saúde. Atuou como enfermeira-chefe do Exército britânico de $1854$ a $1860$, durante a Guerra da Crimeia (Inglaterra, França e Turquia se uniram contra a Rússia por problemas territoriais), na qual constatou que a falta de higiene e as doenças hospitalares matavam grande número de soldados internados.

Conseguiu, com suas reformas, reduzir significativamente a taxa de mortalidade no hospital onde atuou. Famosa pelo seu talento profissional, passou a trabalhar ativamente pela reforma dos sistemas de saúde e pelo desenvolvimento da Enfermagem. Em $1860$, publicou seu livro mais importante, Notas sobre Enfermagem, no qual enfatixou os modernos princípios da Enfermagem.
[Veja em tamanho maior aqui]

Florence Nightingale utilizou-se dos dados estatísticos, quer em forma de tabelas, quer em forma de gráficos, como ferramenta para suas atividades de reforma na área de saúde. A base para a utilização do ferramental estatístico ela já possuía, em virtude do conhecimento prévio de Matemática e da habilidade para trabalhar com números, além do conhecimento dos aspectos médicos ligados à sua atividade.

Ela utilizou os gráficos estatísticos (gráfico de frequência, frequências acumuladas, histogramas e outros) com a finalidade de expressar sua ideias para membros do Exército e do governo. Seus gráficos foram tão criativos que se constituíram num marco do desenvolvimento da Estatística. Seu trabalho foi tão importante que, em $1858$, ela foi a primeira mulher eleita membro da Associação Inglesa de Estatística.

Durante a Guerra Civil Americana  Nightingale foi conselheira de saúde nos Estados Unidos, na área militar. Também trabalhou como conselheira de saúde do governo britânico no Canadá.

Em $1883$, recebeu uma condecoração (Cruz Vermelha Real) da rainha Vitória por seus relevantes serviços prestados à saúde.

Em $1907$ foi a primeira mulher a receber das mãos do rei Eduardo $VII$ a Ordem do Mérito. Faleceu em Londres em agosto de $1910$ aos $90$ anos.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V11 - Iezzi, Hazzan & Degenszajn


Veja mais: 

O Teorema de Hardy-Weinberg
No Cerne do ENEM, o Teorema de Bayes
Como Obter uma Medida Confiável

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25/05/2014

A Soma de Gauss


Uma história interessante do jovem Carl Friederich Gauss $(1777-1855)$ quando este tinha apenas $10$ anos é que em uma das aulas de aritmética, o professor pediu aos alunos que calculassem o valor da soma:
\begin{equation*}
S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 99 + 100
\end{equation*}
Não levou muito tempo e Gauss escreveu a resposta em sua pequena lousa: $5050$. Seu professor não acreditou no que vira, enquanto seus colegas somavam termo a termo. Mais incrédulo ficou ao fim da aula quando verificou que a única resposta certa fora a de Gauss, que justificou assim seu procedimento:

“A soma de $1$ com $100$, de $2$ com $99$, de $3$ com $98$, e assim por diante, é sempre igual a $101$. Como na soma desejada o número $101$ aparece $50$ vezes, basta multiplicar $101$ por $50$ para obter $5050$”.

E isso Gauss fez em pouco tempo e sem dificuldades, um prenúncio das grandes contribuições do gênio que foi.

Consideremos a $P.A.$ finita de razão $r$:
\begin{equation*}
a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{N-2}+a_{N-1}+a_N
\end{equation*}
A soma $S_N$ de seus $N$ termos pode ser escrita como:

onde:

$\bullet$ $a_1$ é o primeiro termo;
$\bullet$ $a_N$ é p enésimo termo;
$\bullet$ $N$ é o número de termos;
$\bullet$ $S_N$ é a soma dos $N$ termos.

Logo:
\begin{equation*}
S_N=(a_1+a_N)+(a_1+a_N)+\cdots + (a_1+a_N)
\end{equation*}
Como sempre somamos dois termos da $P.A.$ de $N$ termos, teremos $N/2$ parcela iguais a $(a_1+a_N)$, o que nos leva à fórmula da soma dos termos de uma $P.A.$ finita:
\begin{equation}
S_N=\frac{(a_1+a_N)N}{2}
\end{equation}

Exemplo $1$: Tomemos o problema que o professor passou a Gauss e seus colegas: Encontrar a soma dos números naturais de $1$ a $100$ utilizando a fórmula moderna.

Neste caso, precisamos somar os termos da sequência:
\begin{equation*}
S_N=1+2+3+\cdots +98+99+100
\end{equation*}
Observando a sequência acima, temos que $a_1=1$, $a_N=100$ e $N=100$. Aplicando na fórmula do termo geral obtida em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
S_N=\frac{(a_1+a_N)N}{2}=\frac{(1+100)100}{2}=\frac{10100}{2}=5050
\end{equation*}
Que é a mesma soma obtida por Gauss.

Exemplo $2$: Calcular a soma dos primeiros $N$ números ímpares $(1, 3, 5, \cdots , 2N-1, \cdots )$, $N \in \mathbb{N^*}$.
\begin{equation*}
S_N=\frac{(a_1+a_N)N}{2}=\frac{(1+2N-1)N}{2}=\frac{2N^2}{2}=N^2
\end{equation*}
Portanto, a soma dos $N$ primeiros números ímpares é igual a $N^2$.

Vamos calcular a soma dos 50 primeiros números ímpares dessa sequência. O primeiro termo é $a_1=1$. Para descobrirmos o quinquagésimo termo da sequência, fazemos: $a_N=2N-1 \Rightarrow a_{50}=2\cdot 50 -1 = 99$. Assim:
\begin{equation*}
S_N=\frac{(a_1+a_N)N}{2}=\frac{(1+99)50}{2}=2500
\end{equation*}
Ou simplesmente fazemos:
\begin{equation*}
S_N=N^2=50^2=2500
\end{equation*}

Veja mais: 

Dirichlet e os Números Primos de uma Progressão Aritmética
Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Soma dos Termos de uma P.G. Infinita

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24/05/2014

Como Achar o Centro do Círculo, por Euclides

No livro $III$ dos Elementos, Proposição $1$, Euclides nos mostra como achar o centro de um círculo dado de maneira muito elementar e elegante.

Proposição $1$ do Livro $III$: Achar o centro do círculo dado.

Seja o círculo $C_1$. Tracemos através dele uma corda $\overline{AB}$ ao acaso. Tracemos sua mediatriz, marcando os pontos $C$, $D$ e $E$. O ponto médio do segmento $\overline{DE}$ é o centro $O$ do círculo $C_1$.

[Figura 1]

Para a demonstração, Euclides inicia com o absurdo de que um ponto genérico $G$ no interior do círculo seja seu centro.

Tracemos uma corda $\overline{AB}$ ao acaso e sua mediatriz, marcando os pontos $C$, $D$ e $E$. Tomemos o ponto genérico $G$ como centro. Se $G$ é o centro do círculo, então tracemos os segmentos $\overline{GA}$, $\overline{GC}$ e $\overline{GB}$.
[Figura 2]

Como $\overline{AC}$ é igual a $\overline{BC}$ e $\overline{GC}$ é comum aos triângulos $ACG$ e $BCG$, então os segmentos $\overline{AC}$ e $\overline{GC}$ são iguais aos segmentos $\overline{BC}$ e $\overline{GC}$, respectivamente.

Se $G$ é o centro do círculo, então $\overline{GA}=\overline{GB}$, pois são os raios do círculo. Portanto, o ângulo $A\hat{C}G$ é igual ao ângulo $B\hat{C}G$, que são retos, já que a mediatriz $\overline{DE}$ define ângulos retos com a corda $\overline{AB}$. Mas por construção, o ângulo $O\hat{C}B$ também é reto, assim como o ângulo $G\hat{C}B$. Mas $G\hat{C}B$ é menor que $O\hat{C}B$, o que torna impossível ser o ponto  $G$ o centro do círculo, exceto se este estiver sobre a mediatriz $\overline{DE}$. Assim, o ponto $O$ é o centro da círculo $C_1$.

Em outro artigo deste blog, sobre Como Encontrar o Centro de uma Circunferência, utilizamos $3$ pontos sobre uma circunferência $A$, $B$ e $C$ e traçamos as mediatrizes das cordas $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$. O ponto de encontro dessas mediatrizes define o centro $O$ da circunferência.

Vejam que esse método é essencialmente o método que Euclides utilizou em seu Elementos. Se fizermos coincidir os pontos $E$ com $B$, basta construirmos as mediatrizes das cordas $\overline{AB}$ e $\overline{BD}$. A intersecção cairá sobre o centro $O$ do círculo.

Referências:

[1] Os Elementos - Euclides - Tradução de Irineu Bicudo - Ed. Unesp

Vejam mais: 

Como Encontrar o Centro de uma Circunferência
Teorema de Pitágoras Segundo Euclides
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13/04/2014

Como Determinar o Número de Diagonais de um Polígono Convexo de $N$ Lados

Esta é uma abordagem simples de como determinar quantas diagonais são possíveis traçar num polígono convexo sem ter que propriamente traçá-las, mas apenas sabendo o número de lados do polígono.

Definição $1$: Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois de seus vértices não-consecutivos.

Tomando um quadrilátero qualquer, vemos que parte apenas uma diagonal de cada vértice. Por exemplo, do vértice $A$, parte apenas a diagonal $\overline{AC}$:

Tomando um pentágono, temos, por exemplo, que do vértice $A$ partem duas diagonais: $\overline{AC}$ e $\overline{AD}$:

Já para um hexágono, temos, por exemplo, que do vértice $A$ partem três diagonais: $\overline{AC}$, $\overline{AD}$ e $\overline{AE}$:

O que queremos é encontrar uma forma de determinar a quantidade de diagonais sem ter que traçá-las no polígono. Vejam que para um polígono de $4$ lados, temos $1$ diagonal partindo de um vértice; para um polígono de $5$ lados, temos $2$ diagonais partindo de um vértice; para um polígono de $6$ lados temos $3$ diagonais partindo de um vértice. Vejam que o número de diagonais que parte de um vértice é igual à quantidade de lados do polígono menos $3$. E para um polígono de $N$ lados, teremos $N-3$ diagonais partindo de um vértice. Assim, podemos montar uma pequena tabela:


Como o número de vértices é igual ao número de lados do polígono, segue que teremos, com extremidade nos $N$ vértices:
\begin{equation}
N\cdot (N-3) \: \text{diagonais}
\end{equation}
No entanto, como cada diagonal tem extremidades em dois vértices, cada diagonal é contada duas vezes, por exemplo no quadrilátero, temos que as diagonais $\overline{AC}= \overline{CA}$, representam a mesma diagonal. Então, basta dividirmos por dois:
\begin{equation}
d=\frac{N(N-3)}{2}
\end{equation}
Para ilustrarmos esse fato, observamos as imagens abaixo:

Podemos montar uma tabela:

Exemplo $1$: Calcular o número de diagonais de um polígono de $256$ lados.

Fazemos:
\begin{equation*}
d=\frac{N(N-3)}{2}=\frac{256(256-3)}{2}=32.384
\end{equation*}
Portanto, há $32.384$ diagonais num polígono de $256$ lados.

Exemplo $2$: Qual é o polígono cujo número de diagonais é o quíntuplo do  número de lados?

Temos que $d=5N$. Então, fazemos a substituição:
\begin{equation*}
\frac{N(N-3)}{2}=5N\Rightarrow N^2-3N=10N \Rightarrow N^2-13N=0 \Rightarrow N(N-13)=0
\end{equation*}
Daqui, concluímos que ou $N=0$ ou $N=13$. Mas, não faz sentido um polígono de $0$ lados, logo tomamos $N=13$ como solução. Assim, o polígono procurado é um tridecágono.

Montemos uma tabela para relembrarmos os nomes dos polígonos:

Exemplo $3$: A diferença entre o número de diagonais de dois polígono é $85$ e o número de lados de um é o triplo de número de lados do outro. Quais são estes polígonos?

Dizemos que $d_1$ é o número de diagonais do polígono de $N_I$ lados e $d_2$ o número de diagonais do polígono de $N_{II}$ lados. Podemos retirar do problema as seguintes informações:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
d_2-d_1=85\\
N_2=3N_1
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Temos que:
\begin{matrix}
d_1=\frac{N_I(N_I-3)}{2} \: \text{e} \: d_2=\frac{N_{II}(N_{II}-3)}{2}
\end{matrix}
Substituindo $d_1$ e $d_2$ na primeira equação do sistema acima, obtemos:
\begin{matrix}
d_2-d_1=85\\
\frac{N_{II}(N_{II}-3)}{2}-\frac{N_I(N_I-3)}{2}=85\\
\frac{N^2_{II}-3N_{II}}{2}-\frac{N^2_I+3N_I}{2}=85\\
N^2_{II}-3N_{II}-N^2_I+3N_I=170
\end{matrix}
Mas $N_{II}=3N_I$, assim:
\begin{matrix}
(3N_I)^2-3(3N_I)-N_I^2+3N_I=170\\
9N_I^2-9N_I-N_I^2+3N_I=170\\
8N_I^2-6N_I-170=0\\
4N_I^2-3N_I-85=0\\
N_I=\frac{3\pm \sqrt{9+1360}}{8}\\
N_I=\frac{3\pm 37}{8}\\
N_{I_1}=5\\
N_{I_2}=-34/8
\end{matrix}
A raiz negativa não nos interessa e o que procuramos é a raiz positiva $5$. Assim, fazemos:
\begin{equation*}
N_{II}=3N_I \Rightarrow 3\cdot 5=15
\end{equation*}
Desta forma, os polígonos procurados são o pentágono e o pentadecágono.

Referências:

$[1]$ Fundamentos da Matemática - Ismael Reis - $7^a$ - Ed. Moderna


Veja mais:

Soma dos Ângulos Internos e Externos de um Polígono Convexo
O Ângulo Interno de um Polígono Regular
Teorema do Ângulo Inscrito

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05/04/2014

Soma dos Ângulos Internos e Externos de um Polígono Convexo

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo depende da quantidade de lados que esse polígono possui; já a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é uma constante e vale $360^\circ$.

Ângulos Internos

Definição $1$: Ângulo interno de um polígono é o ângulo formado por dois de seus lados, que seja interno ao polígono.

[Figura 1]

Teorema $1$: A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de $N$ lados é dada pela fórmula:
\begin{equation}
S_\alpha = (N-2)\cdot 180^\circ
\end{equation}
onde:

$\bullet$ $S_\alpha$ é a soma dos ângulos internos;
$\bullet$ $N$ é o número de lados do polígono.

Demonstração: Tomando um polígono convexo, para $N>3$, podemos decompô-lo em triângulos, traçando diagonais a partir de um vértice qualquer:

[Figura 2]

Vejam que há uma relação entre o número de lados do polígono e a quantidade de triângulos em que podemos decompô-lo:

[Tabela 1]

Como soma das medidas dos ângulo internos de um polígono é igual à soma das medidas dos ângulos internos de todos os $N-2$ triângulos que o compõe, e como a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é igual a $180^\circ$, temos:
\begin{equation}
S_\alpha = (N-2) \cdot 180^\circ
\end{equation}
Uma consequência direta desse resultado é a determinação do ângulo interno de um polígono regular, dado por:
\begin{equation}
\alpha = \frac{(N-2)\cdot 180^\circ}{N}
\end{equation}
onde $\alpha$ é a medida de cada ângulo interno de um polígono regular de $N$ lados.

Ângulos Externos


Definição $2$: Ângulo externo de um polígono é aquele suplementar ao ângulo interno em um dado vértice, formado pelo prolongamento de um dos lados e o lado adjacente.

[Figura 3]

Teorema $2$: A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de $N$ lados é igual a $180^\circ$:
\begin{equation}
S_\beta = \beta_1, \beta_2, \beta_3, \cdots, \beta_N=360^\circ
\end{equation}
onde:

$\bullet$ $\beta_N$ é o ângulo externo do polígono;
$\bullet$ $S_\beta$ é a soma dos ângulos externos.

Demonstração: Partimos do fato que a soma dos ângulos interno e externo é igual a um ângulo raso. Assim:
\begin{equation}
\alpha + \beta = 180^\circ
\end{equation}
Então, para cada par de ângulos associados a um lado $N$ do polígono, temos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\alpha_1 + \beta_1 = 180^\circ\\
\alpha_2 + \beta_2 = 180^\circ\\
\alpha_3 + \beta_3 = 180^\circ\\
\vdots \\
\alpha_N + \beta_N = 180^\circ\\
\end{matrix}
\end{equation}
Somando membro a membro as $N$ igualdades, obtemos:
\begin{equation}
S_\alpha + S_\beta = N \cdot 180^\circ
\end{equation}
onde:

$\bullet$ $S_\alpha$ é a soma dos ângulos internos;
$\bullet$ $S_\beta$ é a soma dos ângulos externos;
$\bullet$ $N$ é o número de lados do polígono.

Manipulando a equação $(7)$, obtemos:
\begin{equation}
S_\beta = N \cdot 180^\circ - S_\alpha
\end{equation}
Substituindo $S_\alpha$ dada na equação $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
S_\beta = N\cdot 180^\circ - (N-2) \cdot 180^\circ\\
S_\beta = N\cdot 180^\circ - N\cdot 180^\circ + 360^\circ\\
S_\beta = 360^\circ
\end{matrix}
\end{equation}
Uma consequência imediata desse resultado é a determinação da medida de um ângulo externo de um polígono regular, dada por:
\begin{equation}
\beta = \frac{S_\beta}{N} \qquad \text{ou} \qquad \beta = \frac{360^\circ}{N}
\end{equation}
onde $\beta$ é a medida de cada ângulo externo de um polígono regular de $N$ lados.

Exemplo $1$: Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um heptágono.

Temos que $N=7$, já que o polígono é um heptágono. Assim:
\begin{matrix}
S_\alpha=(N-2)\cdot 180^\circ \\
S_\alpha= (7-2)\cdot 180^\circ\\
S_\alpha= 5\cdot 180^\circ\\
S_\alpha = 900^\circ
\end{matrix}
Desse modo, a soma dos ângulos internos de um heptágono vale $900^\circ$.

Exemplo $2$: Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono regular e determinar a medida de cada ângulo externo.

Temos que $N=9$. Fazemos:
\begin{matrix}
S_\alpha = (N-2)\cdot 180^\circ\\
S_\alpha = (9-2) \cdot 180^\circ\\
S_\alpha = 7 \cdot 180^\circ\\
S_\alpha = 1260^\circ
\end{matrix}
Para sabermos quanto vale cada ângulo interno, dividimos a soma dos ângulos internos por $9$, obtendo $140^\circ$. Agora, para calcularmos o ângulo externo, basta fazermos:
\begin{matrix}
\beta = 180^\circ - \alpha\\
\beta = 180^\circ - 140^\circ\\
\beta = 40^\circ
\end{matrix}

Exemplo $3$: Qual polígono possui a soma das medidas dos ângulos internos igual a $1800^\circ$?

Basta aplicarmos a fórmula:
\begin{matrix}
S_\alpha = (N-2) \cdot 180^\circ\\
1800^\cdot = 180^\circ \cdot N - 360^\circ\\
180^\circ \cdot N = 2160^\circ\\
N = 12
\end{matrix}
Logo, o polígono procurado é o dodecágono.

Exemplo $4$: Qual polígono regular possui a medida dos ângulos externos igual a $60^\circ$?

Aplicamos a fórmula dada em $(10)$:
\begin{matrix}
\beta = \frac{360^\circ}{N}\\
N = \frac{360^\circ}{60}=6
\end{matrix}
Logo, o polígono em questão é um hexágono.

Exemplo $5$: Qual é o polígono regular cuja medida do ângulo interno é o triplo da medida do ângulo externo?

Podemos escrever que $\alpha = 3\beta$. E agora substituirmos as equações $(3)$ e $(10)$:
\begin{matrix}
\frac{(N-2)\cdot 180^\circ}{N} = 3\cdot \frac{360^\circ}{N}\\
180^\circ \cdot N - 360^\circ = 1080^\circ\\
180^\circ \cdot N = 1440^\circ\\
N=8
\end{matrix}

Referências:

$[1]$ Fundamentos de Matemática $7^a$ - Ismael Reis - Ed. Moderna 


Veja mais:

O Ângulo Interno de um Polígono Regular
Teorema do Ângulo Inscrito
A Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo  no blog Fatos Matemáticos

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04/03/2014

Sequências de Raízes do tipo $\sqrt{3R^2}$

Esta é uma construção geométrica simples, utilizando apenas duas circunferências e um segmento de reta, que relaciona raízes quadradas do tipo $\displaystyle \sqrt{3R^2}$.

Teorema $1$: Seja  a circunferência $C_1$ de raio $R$ de centro $A$. Seja a circunferência $C_2$ de raio $R$ que passe por $A$ centrada em $B$. Marque as intersecções entre as circunferências como $C$ e $D$. Então o segmento $\displaystyle \overline{CD}=\sqrt{3R^2}$.

Demonstração: Por construção o triângulo $ABC$ é equilátero, cujos lados medem $R$. Seja $M$ o ponto médio entre os centros das circunferências e seja $h$ o segmento $\overline{CM}$. Pelo teorema pitagórico, temos que:
\begin{equation*}
R^2=h^2+\left( \frac{R}{2}\right)^2 \Rightarrow h=\frac{\sqrt{3R^2}}{2}
\end{equation*}
Mas $\overline{CD}=2h$, logo:
\begin{equation*}
\overline{CD}=\sqrt{3R^2}
\end{equation*}
Considerando raios de valores inteiros, podemos construir uma tabela:
Corolário $1$: A área do quadrado construído sobre o segmento $\overline{CD}$ vale $A=3R^2$.


Demonstração: Sendo $R=\overline{AB}$, $\overline{CD}=\sqrt{3R^2}$, que é um dos lados do quadrado, sua área é dada por:
\begin{equation*}
A=\overline{CD}^2=\left(\sqrt{3R^2} \right)^2=3R^2
\end{equation*}
Podemos montar uma tabela:
Vejam que para $R\in \mathbb{N}$, temos uma sequência numérica para a área do quadrado construído. Para valores de $R$ até $100$, temos:
$$3, 12, 27, 48, 75, 108, 147, 192, 243, 300, 363, 432, 507, 588, 675, 768, 867, 972, 1083, 1200, 1323, 1452, 1587, 1728, 1875, 2028, 2187, 2352, 2523, 2700, 2883, 3072, 3267, 3468, 3675, 3888, 4107, 4332, 4563, 4800, 5043, 5292, 5547, 5808, 6075, 6348, 6627, 6912, 7203, 7500, 7803, 8112, 8427, 8748, 9075, 9408, 9747, 10092, 10443, 10800, 11163, 11532, 11907, 12288, 12675, 13068, 13467, 13872, 14283, 14700, 15123, 15552, 15987, 16428, 16875, 17328, 17787, 18252, 18723, 19200, 19683, 20172, 20667, 21168, 21675, 22188, 22707, 23232, 23763, 24300, 24843, 25392, 25947, 26508, 27075, 27648, 28227, 28812, 29403, 30000$$
Vejam que a sequência acima é uma P.A. de segunda ordem, pois:
\begin{equation*}
a_{N-1}-a_N=b_N \qquad \text{onde} \qquad b_N=b_1+(N-1)r
\end{equation*}
Montemos uma tabela com os $10$ primeiros termos da sequência para uma análise:
A P.A. definida pelos termos $b_N$ tem razão aritmética $r=6$. Por definição, numa P.A., a diferença entre um termo e seu antecessor é uma constante denominada $r$, o que justifica na tabela acima $N>1$.


Veja mais:

Construindo Raízes de Números Naturais
Área de Intersecção Circular no blog Elementos de Teixeira
P.A. de Segunda Ordem  no blog Fatos Matemáticos

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02/03/2014

Fatoração de Expressões Algébricas


Fatorar uma expressão algébrica significa decompô-la em um produto de fatores. Uma expressão é chamada de prima quando seus divisores são ela própria e a unidade.

Podemos dividir o estudo de fatoração de expressões em alguns casos particulares:

Caso $1$: Fator Comum em Evidência

Neste caso, temos que observar se há fatores comuns a todos os termos da expressão em questão. Se houver, tomamos o maior divisor comum dos termos, colocando-o em evidência e dividimos cada termo por este fator comum.

Exemplo $1$: Fatorar a expressão $4x+6y+10z$.

Primeiramente observamos que, para os coeficientes $4$, $6$ e $10$, o maior divisor comum é o número $2$; já para as incógnitas, ou variáveis, $x$, $y$ e $z$, não há fator comum.

Colocamos os divisor comum em evidência e dividimos a expressão por este fator. Assim:
$$2(2x+3y+5z)$$
Notem que esse processo é o inverso da propriedade distributiva, pois:
$$2(2x+3y+5z)=4x+6y+10z$$

Exemplo $2$: Fatorar a expressão $3x^3y+9x^2y^2-24xyz$.

Vejam que neste caso, temos constantes e variáveis comuns aos termos. Observem que para as constantes $3$, $9$ e $24$, o maior divisor comum é o número $3$, já para as vaiáveis $x^3y$, $x^2y^2$ e $xyz$, o maior divisor comum é $xy$. Fazemos:
$$3xy(x^2+3xy-8z)$$
Para a verificação, basta aplicar a propriedade distributiva e comparar o resultado obtido com a expressão original:
$$3xy(x^2+3xy-8z)=3x^3y+9x^2y^2-24xyz$$

Caso $2$: Agrupamento

Quando  não tivermos um fator comum a todos os termos, mas apenas a grupos de termos, separamos esses grupos e fatoramos cada grupo individualmente, como feito no caso $1$, colocando em evidência os fatores comuns.

Exemplo $3$: Fatorar a expressão $x^2+ax+bx+ab$.

Vejam que não há um fator comum a todos os termos desta expressão, mas se a separamos em dois grupos, conseguiremos fatorá-la:
$$\boxed{x^2+ax}+ \boxed{bx+ab}$$
No primeiro grupo, o fator comum é o $x$; já no segundo grupo, o fator comum é o $b$. Então reescrevemos a expressão colocando os fatores comuns em evidência:
$$x(x+a)+b(x+a)$$
Notem que a expressão acima ainda possui fatores comuns, que é o $x+a$. Continuamos a fatorar esta expressão colocando o fator $x+a$ em evidência:
$$(x+a)(x+b)$$
Para verificarmos este resultado, basta aplicarmos a propriedade distributiva e comparar o resultado obtido com a expressão original:
$$(x+a)(x+b)=x^2+bx+ax+ab$$

Exemplo $4$: Fatorar a expressão $6x^2-9ax+4bx-6ab$.

Primeiramente localizamos os grupos que possuem fatores comuns e colocamo-os em evidência:
$$\boxed{6x^2-9ax}+\boxed{4bx-6ab}$$
E agora fazemos:
$$3x(2x-3a)+2b(2x-3a)$$
Como a expressão ainda possui fatores comuns, fazemos:
$$(2x-3a)(3x+2b)$$
Para verificarmos este resultado, aplicamos a propriedade distributiva e comparamos com a expressão original:
$$(2x-3a)(3x+2b)=6x^2+4bx-9ax-6ab$$

Caso $3$: Trinômio Quadrado Perfeito

Um trinômio é chamado de trinômio quadrado perfeito quando dois de seus termos possuem raiz quadrada exata e o terceiro termo for duas vezes o produto dessas raízes.

Para o caso do trinômio $x^2+2xy+y^2$, temos que os termos $x^2$ e $y^2$ possuem raiz quadrada exata: $\sqrt{x^2}=x$ e $\sqrt{y^2}=y$ e o terceiro termo $2xy$ é igual a duas vezes o produto das raízes quadradas dos outros dois termos.

Um trinômio quadrado perfeito pode ser decomposto na soma ou na diferença das raízes quadradas dos termos que possuem raiz quadrada exata:

$i)$ $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$

Para verificarmos esta igualdade, basta percebermos que $(x+y)^2=(x+y)(x+y)$. Desta forma, aplicando a propriedade distributiva, obtemos:
$$(x+y)(x+y)=x^2+xy+xy+y^2=x^2+2xy+y^2$$
$ii)$ $x^2-2xy+y^2$

Analogamente ao item $i)$, fazemos:
$$(x-y)(x-y)=x^2-xy-xy+y^2=x^2-2xy+y^2$$
Observando os itens $i)$ e $ii)$, podemos resumir como:

O quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo termos, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo $5$: Fatorar a expressão $9x^2+6x+1$.

Primeiramente temos que localizar os termos que possuem raiz quadrada exata, que neste exemplo são os termos $9x^2$ e $1$, pois $\sqrt{9x^2}=3x$ e $\sqrt{1}=1$. Vejam que o segundo termo $6x$ é duas vezes o produto das raízes quadradas dos outros dois termos. Temos que:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
\sqrt{9x^2}=3x\\
\sqrt{1}=1
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Assim:
$$9x^2+6x+1=(3x+1)^2$$

Exemplo $6$: Fatorar a expressão $4x^2-12xy+9y^2$.

Vemos claramente que o primeiro e o terceiro termos possuem raízes quadradas exatas: $\sqrt{4x^2}=2x$ e $\sqrt{9y^2}=3y$. Já o segundo termo é o duplo produto das raízes quadradas dos outros dois termos:
$$4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2$$

Observações: Quando fatoramos um trinômio quadrado perfeito, este é transformado no quadrado de uma soma ou no quadrado de uma diferença:
\begin{matrix}
\bullet \: x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\\
\bullet \: x^2-2xy+y^2 =(x-y)^2
\end{matrix}

Caso $4$: Trinômio do Segundo Grau da Forma $x^2+Sx+P$.

Esse tipo de fatoração é conhecido como fatoração por Soma e Produto. Num trinômio de segundo grau da forma $x^2+Sx+P$, assumindo que $S=u+v$ e $P=u \cdot v$, podemos decompô-lo num produto de binômios do primeiro grau:
$$x^2+Sx+P=(x+u)(x+v)$$
Talvez se pensarmos do modo inverso, facilite o entendimento. Vamos considerar o produto entre dois binômios do primeiro grau:
$$(x+u)(x+v)$$
Aplicando a propriedade distributiva, obtemos:
$$x^2+ux+vx+uv=x^2+x(u+v)+uv$$
sendo $x$ a incógnita e $u$ e $v$ constantes quaisquer. Sendo assim:
$\bullet \: x^2$ é o primeiro termo;
$\bullet \: x(u+v)$ é o segundo termo;
$\bullet \: v$ é o terceiro termo.

Se fizermos $S=u+v$ e $P=uv$, a expressão assume a forma $x^2 + Sx +P$.

Exemplo $7$: Fatorar a expressão $x^2+8x+15$.

Nesta expressão, $8x$ é o segundo termo e $15$ é o terceiro termo. Então, temos que:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
S=u+v=8\\
P=uv=15
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Para fatorar a expressão, temos que encontrar dois números cujas soma seja igual a $8$ e cujo produto seja igual a $15$.

Com a prática, identificamos estes números rapidamente, mas se não soubermos, podemos montar uma tabela com as possibilidades. Devemos observar que:

$1)$ O produto $P=uv=15$ é um número positivo; logo, os números devem possuir o mesmo sinal, ambos positivos ou ambos negativos;
$2)$ A soma $S=u+v=8$ é positiva. Logo, os dois números são positivos.

Montemos uma tabela com produto entre dois números positivos que resulte em $15$ e suas respectivas somas, a fim de checar qual dessas somas resulta em $8$:
Vemos que os números procurados são $3$ e $5$, pois o produto entre eles é $15$ e a soma é $8$. Logo:
$$x^2+8x+15=(x+3)(x+5)$$

Exemplo $8$: Fatorar a expressão $x^2-9x+20$.

Temos que:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
S=u+v=-9\\
P=uv=20
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Temos que encontrar dois números cuja soma seja $-9$ e cujo produto seja $20$. Devemos observar que:

$1)$ O produto $P=uv=20$ é positivo, logo os números possuem o mesmo sinal;
$2)$ A soma $S=u+v=-9$ é negativa. Logo os números são negativos.

Mantemos uma tabela com o produtos entre dois números negativos que resultem em $20$ e suas respectivas somas, a fim de checar qual dessas somas resulta em $-9$:

Os números procurados são $-4$ e $-5$, pois o produto entre eles é $20$ e a soma $-9$. Logo:
$$x^2-9x+20=(x-4)(x-5)$$

Exemplo $9$: Fatorar a expressão $x^2+3x-28$.

Temos que:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
S=u+v=3\\
P=uv=-28
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Devemos observar que:

$1)$ O produto $P=uv=-28$ é negativo, sugerindo que os números possuem sinais contrários;
$2)$ Como a soma $S=u+v=3$ é positiva, concluímos que o maior número em valor absoluto é positivo.

Montamos uma tabela com o produto entre os números, sendo o maior em valor absoluto positivo e o menor, negativo, com suas respectivas somas:

Os números procurados são $-4$ e $7$, pois o produto entre eles vale $-28$ e a soma é $3$. Assim:
$$x^2+3x-28=(x-4)(x+7)$$

Exemplo $10$: Fatorar a expressão $x^2-2x+15$.

Temos que:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
S=u+v=-2\\
P=uv=-15
\end{matrix}\right.
\end{equation*} 
Observemos que:

$1)$ O produto $P=uv=-15$; logo os números possuem sinais contrários;
$2$ Como a soma $S=u+v=-2$, concluímos que o maior número em valor absoluto é negativo. Montemos uma tabela:

Os números procurados são $3$ e $-5$, pois o produto entre eles vale $-15$ e a soma vale $-2$. Logo:
$$x^2-2x-15=(x+3)(x-5)$$

Caso $5$: Diferença de Quadrados

Quando um binômio é a diferença de dois quadrados perfeitos, podemos decompô-lo em dois fatores, sendo um a soma e o outro a diferença das raízes quadradas dos termos do binômio:
$$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$$
Esta igualdade é fácil de verificar aplicando a propriedade distributiva:
$$(x+y)(x-y)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2$$

Exemplo $11$: Fatorar o binômio $x^2-25$.

Olhando individualmente cada termo do binômio temos que $\sqrt{x^2}=x$ e $\sqrt{25}=5$, logo:
$$x^2-25=(x+5)(x-5)$$

Exemplo $12$: Fatorar o binômio $36x^4-144y^2$.

Para cada termo do binômio, temos que $\sqrt{36x^2}=6x^2$ e $\sqrt{144y^2}=12y$. Assim:
$$36x^4-144y=(6x^2+12y)(6x^2-12y)$$

Caso $6$: Soma e Diferença de Cubos

Quando um binômio é uma soma ou diferença de cubos, podemos decompô-lo num produto de dois fatores, sendo o primeiro um binômio e o segundo um trinômio:
$$x^3\pm y^3=(x \pm y)(x^2 \mp xy+y^2)$$
Podemos verificar esta igualdade aplicando a propriedade distributiva:
$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3-x^2y+xy^2+x^2y-xy^2+y^3=x^3+y^3$$
Para a diferença de cubos $x^3-y^3$, procedemos de modo análogo, mas fica a cargo do leitor a verificação.

Exemplo $13$: Fatorar a expressão $64+x^6$.

Podemos reescrever a expressão como $4^3+(x^2)^3$. Agora temos:
$$64+x^6=(4+x^2)(16-4x^2+x^4)$$

Exemplo $14$: Fatorar a expressão $x^6y^3-27z^9$.

Primeiramente reescrevemos a expressão como:
$$(x^2)^3y^3-3^3(z^3)^3=(x^2y)^3-(3z^3)^3$$
Assim:
$$x^6y^3-27z^9=(x^2y-3z^3)(x^4y^2+3x^2yz^3+9z^6)$$


Caso $7$: Polinômio Cubo Perfeito

Um polinômio é um cubo perfeito quando dois de seus quatro termos possuem raiz cúbica exata e os outros dois são o triplo produto do quadrado da primeira raiz pela segunda e o triplo produto do quadrado da segunda raiz pela primeira.

Um polinômio cubo perfeito pode ser decomposto no cubo da soma ou no cubo da diferença das raízes cúbicas dos termos que possuem raiz cúbica exata:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\\
(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3
\end{matrix}\right.
\end{equation*}

Exemplo $15$: Fatorar a expressão $8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3$.

Os termos que possuem raiz cúbica exata são $8x^3$ e $27y^3$, pois $\sqrt[3]{8x^3}=2x$ e $\sqrt[3]{27y^3}=3y$; Já os dois termos restantes são o triplo produto do quadrado de uma raiz pela outra, pois $36x^2y=3\cdot (2x)^2\cdot (3y)$ e $54xy^2=3\cdot (2x)\cdot (3y)^2$. Assim:
$$8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3=(2x+3y)^3$$
Vejam que a fatoração nos leva ao cubo da soma. Observem que os sinais são todos positivos.

Exemplo $16$: Fatorar a expressão $x^3-6x^2+12x-8$.

As raízes cúbicas exatas são $x^3$ e $8$, pois $\sqrt[3]{x^3}=x$ e $\sqrt[3]{8}=2$; Já ps odis termos restantes são o triplo produto de uma raiz pelo quadrado da outra, pois $6x^2=3\cdot x^2 \cdot 2$ e $12x=3\cdot x \cdot 2^2$. Assim:
$$x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3$$
Vejam que a fatoração nos leva a um cubo da diferença. Observem que os sinais são alternados.

Exercícios: Fatorar as expressões abaixo.

$1) \: a^3-ax \qquad 2)\: 6x^3+2x^4+4x^5$

$3)\: 10a^2b^3c^4-15a^3b^2c^4+30a^4b^3c^2 \qquad 4) \: 2x+cx+2c+c^2$

$5) \: 6x^2+3xy-2ax-ay \qquad 6) \: x^2+mxy-4xy-4my^2$

$7) \: 4x^2+4x+1 \qquad 8) \: \displaystyle \frac{9}{25}x^6+\frac{12}{5}x^3y+4y^2$

$9)\: x^2+y^8-2y^4x \qquad 10) \: x^2+7x+10$

$11) \: x^2+x-12 \qquad 12)\: y^2-2y-15$

$13) \: a^2-2a-8 \qquad 14) \: 121x^4-64y^6$

$15)\: \displaystyle x^4 -\frac{9}{16} \qquad 16)\: (3a+2b)^2-(3a-2b)^2$

$17) \: x^9+y^6 \qquad 18)\:125x^6-1$

$19)\: \displaystyle \frac{a^3m^{15}}{125}-1 \qquad 20)  \:b^6-9b^4+27b^2-27$

$21)\:a^3x^6+3a^2x^4y^2+3ax^2y^4+y^6 \qquad 22) \: 4x^3-16x$

$23)\: x^4+x \qquad 24)\: 3ax^2-3ay^2+6x^2-6ay^2$

Referências:

[1] Fundamentos da Matemática - 7ª Série - Ismael Reis


Veja mais: 

Completando Quadrados
Fatoração do Trinômio Quadrático em Z no blog Fatos Matemáticos
O Uso de Figuras Geométricas em Questões Algébricas no blog Vivendo Entre Símbolos

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