28 de jun de 2015

Resolução da integral $\displaystyle \int \frac{1}{a-bx}dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{a-bx}dx = -\frac{\ln(a-bx)}{b}+C
\end{equation*}
onde $a$ e $b$ são constantes tais que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq bx$.


Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{a-bx}dx
\end{equation*}
Fazemos a substituição $u = a-bx$. Assim, $du= - bdx$ e $dx = -\frac{du}{b}$:
\begin{equation*}
I = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{b}\\
\ \\
I = -\frac{1}{b} \int \frac{1}{u}du
\end{equation*}
A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln(u)$. Assim:
\begin{equation*}
I = - \frac{1}{b} \ln(u)+C
\end{equation*}
Mas $u=a-bx$, logo:
\begin{equation*}
I = -\frac{1}{b} \ln(a-bx) + C\\
\ \\
I = - \frac{\ln(a-bx)}{b}+C
\end{equation*}

Veja mais:

Lista de resolução e integrais
Integração por substituição
Integração por partes



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24 de jun de 2015

Triângulos órticos

O triângulo é objeto de estudo desde a antiguidade. Nos remotos tempos de Tales, Pitágoras e Arquimedes já sabia-se algumas de sua propriedades e com o passar dos séculos, os matemáticos e entusiastas vieram a descobrir muitas outras mais. Uma dessas propriedades é que da intersecção das três alturas de um triângulo, obtém-se um ponto denominado ortocentro, que é único em um triângulo.




Ao unirmos os pés dessas alturas, obtemos um novo triângulo denominado triângulo órtico, justamente por ser obtido através da construção do ortocentro.

Definição

Chama-se órtico de um triângulo $ABC$ qualquer, o triângulo cujos vértices são os pés das alturas do triângulo $ABC$.


O ortocentro existe em qualquer triângulo, seja ele acutângulo, obtusângulo ou retângulo. No entanto, o triângulo órtico só existe no triângulo acutângulo e no obtusângulo, pois no triângulo retângulo os pés das três alturas se coincidem num mesmo ponto, que é o vértice do triângulo que contém o ângulo reto.

Todo triângulo não-retângulo possui um único triângulo órtico. Porém, um mesmo triângulo órtico pode ser obtido de quatro triângulo diferentes: um acutângulo e três obtusângulos.



A figura acima mostra os quatro triângulos que possuem o mesmo órtico. Note que o triângulo acutângulo $ABC$ contém os outros três triângulos obtusângulos, e por este motivo o triângulo acutângulo é denominado triângulo fundamental do triângulo órtico.

Teorema

As alturas de um triângulo acutângulo são as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo órtico.

Demonstração

Primeiramente, vemos que os ângulos $A\widehat{B}H$ e $A\widehat{C}H$ são congruentes e medem $\alpha$.



Vamos provar que os ângulos $A\widehat{H_a}H_b$ e $A\widehat{H_a}H_c$ são congruentes e também medem $\alpha$.

Observemos que os quadriláteros $HH_aCH_b$ e $HH_aBH_c$ são inscritíveis, por possuírem cada um deles um par de ângulos opostos retos e, portanto, suplementares. Do quadrilátero $HH_aCH_b$, deduzimos que $A\widehat{H_a}H_b \equiv A\widehat{C}H_c$, pois são ângulos inscritos que enxergam o mesmo arco $HH_b$:
\begin{equation}
A\widehat{H_a}H_b = \alpha
\end{equation}
Analogamente, do quadrilátero $HH_aBH_c$, deduzimos que $A\widehat{H_a}H_c \equiv A\widehat{B}H_c$:
\begin{equation}
A\widehat{H_a}H_c = \alpha
\end{equation}
Igualando as relações $(1)$ e $(2)$, obtemos que:
\begin{equation}
A\widehat{H_a}H_b\equiv A\widehat{H_a}H_c
\end{equation}
A relação $(3)$ mostra que a altura $\overline{AH_a}$ do triângulo $ABC$ é a bissetriz de um ângulo interno do triângulo órtico.

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos provar que as outras duas alturas são as bissetrizes dos outros dois ângulos internos do triângulo órtico.


Construção geométrica do triângulo órtico a partir do triângulo fundamental

Dado um triângulo acutângulo $ABC$, veremos como construir seu triângulo órtico. Para tal, devemos traçar as três alturas.

$1)$ Seja um triângulo acutângulo $ABC$ dado:



$2)$ Primeiramente vamos construir a altura $\overline{AH_a}$, referente ao lado $\overline{BC}$. Com a ponta seca do compasso em $A$, descrevemos um arco que corta o lado $\overline{BC}$ em nos pontos $P_1$ e $P_2$:



$3)$ Em seguida, construímos a mediatriz do segmento definido pelos pontos $P_1$ e $P_2$. Com a ponta seca do compasso em $P_1$, descrevemos um arco de raio maior que a metade do segmento $\overline{P_1P_2}$. Em seguida, descrevemos outro arco de mesmo raio centrado em $P_2$. A reta que passa pela intersecção desses arcos, também passa pelo ponto $A$ e define a altura $\overline{AH_a}$:



$4)$ Analogamente, construímos as alturas $\overline{BH_b}$ e $\overline{CH_c}$ respectivamente aos lados $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$ do triângulo:



$5)$ Unindo os pés das alturas $H_a$, $H_b$ e $H_c$, construímos o triângulo órtico $H_aH_bH_c$ referente ao triângulo $ABC$.



Referências:

[1] Desenho Geométrico Volume Especial - Putnoki - Ed. Scipione

Veja mais:


Pontos notáveis de um triângulo
Os pontos de Brocard em um triângulo 
Relações métricas no triângulo retângulo

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14 de jun de 2015

O teorema da corda quebrada de Arquimedes

O matemático árabe Abul Raihan al Biruni atribui a Arquimedes, uma elegante proposição geométrica, chamada teorema da corda quebrada o qual enunciaremos abaixo:


Teorema (Arquimedes):

Se $AB$ e $BC$ compõem uma corda quebrada $ABC$, onde $BC > AB$ e se $M$ é o ponto médio do arco $A\widehat{B}C$, então o pé $F$ da perpendicular de $M$ sobre $BC$ é o ponto médio da corda quebrada.

Demonstração:

Na figura acima, provaremos que:
\begin{equation*}
AB + BF = FC = \frac{AB+BC}{2}
\end{equation*}
Desde que $AB < BC$ existe um ponto $E$ sobre $BC$ tal que $EC = AB$.

Por hipótese, $M$ é o ponto médio do arco $A\widehat{M}B$, de modo que $AM = MC$, pois cordas de arcos congruentes são congruentes. Além disso, $\hat{A} = \hat{C}$, pois são ângulos de um mesmo arco $\hat{BM}$. Sendo $EC = AB$, segue que $\triangle ABM \simeq \triangle CEM$.

Desta congruência desses triângulos, segue que $BM = ME$ o que prova que o $\triangle MBE$ é isósceles. Sendo $MF$ sua altura, então $\triangle BMF \simeq EMF$, pois $B\hat{F}M = E\hat{F}M = 90^{\circ}$, $MF = MF$ e $BM = ME$. Assim, $BF = FE$, de modo que
\begin{equation*}
AB + BF = EC + FE = FC
\end{equation*}
Logo,
\begin{equation*}
AB + BC = (AB + BF) + FC = 2FC \quad \Rightarrow FC = AB + BF = \frac{AB+BC}{2}
\end{equation*}

Consequência:

Se o arco $\widehat{MC} = 2\alpha$ e o arco $\widehat{BM} = 2\beta$, então
\begin{equation}
\sin(\alpha - \beta) = \text{sen} (\alpha) \cos (\beta) - \text{sen} (\beta) \cos (\alpha)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\sin(\alpha + \beta) = \text{sen} (\alpha) \cos (\beta) + \text{sen} (\beta) \cos (\alpha)
\end{equation}
Na figura abaixo, $ABC$ é a corda quebrada, $OC = OB = OM = r$.



No $\triangle OGM$,
\begin{equation*}
\sin \alpha = \frac{MG}{OR} = \frac{MC/2}{r} \Longrightarrow MC = 2r \text{sen}( \alpha)
\end{equation*}
e no $\triangle OBH$,

No $\triangle CFM$ retângulo em $F$, $M\hat{C}F = B\hat{O}M/2$, ou seja, $M\hat{C}F = \beta$. Assim,
\begin{equation*}
FC = 2r \text{sen} (\alpha) \cos (\beta)
\end{equation*}
Analogamente, no triângulo retângulo $BFM$, temos $M\hat{B}F = M\hat{O}C/2 = \alpha$. Assim
\begin{equation*}
\cos (\alpha) = \frac{BF}{BM} \Longrightarrow BF = 2r \text{sen} (\beta) \cos (\alpha)
\end{equation*}
Pelo teorema da corda quebrada, $AB + BF = FC$, de modo que
\begin{equation*}
AB = FC - BF \Longrightarrow  AB = 2r(\text{sen} (\alpha) \cos (\beta) - \text{sen}(\beta) \cos (\alpha))
\end{equation*}
No $\triangle BOI$ retângulo em $I$,
\begin{equation*}
\text{sen} (\gamma) = \frac{BI}{OB} = \frac{AB/2}{r}  \Longrightarrow AB = 2r \text{sen} (\gamma)
\end{equation*}
Mas o arco $\widehat{AM} = \widehat{MC}$, donde segue que $2\gamma + 2\beta = 2\alpha \Longrightarrow \gamma = \alpha - \beta$. Logo:
\begin{equation*}
AB = 2r \text{sen}(\alpha - \beta)  \Rightarrow  2r \text{sen}(\alpha - \beta) = 2r(\text{sen} (\alpha) \cos (\beta) - \text{sen} (\beta) \cos (\alpha))
\end{equation*}
donde segue a identidade $(1)$.

Para provar a identidade $(2)$, sabemos do teorema da corda quebrada que $BF + FC = BC$ e que o arco $\widehat{BC} = 2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta)$ . Assim,
\begin{equation*}
\text{sen}(\alpha + \beta) = \text{sen}\left(\frac{\widehat{BC}}{2}\right) = \frac{BC/2}{r} \Longrightarrow BC = 2r \text{sen}(\alpha + \beta)
\end{equation*}
Logo,
\begin{equation*}
2r \text{sen}(\alpha + \beta) = BC = BF + FC = 2r \text{sen}(\alpha) \cos (\beta) + 2r \text{sen} (\beta) \cos (\alpha)
\end{equation*}
donde segue a demonstração.

*Este artigo é uma republicação. O link do artigo original encontra-se nas referências.

Referências:

[1] O teorema da corda quebrada de Arquimedes no blog Fatos Matemáticos

Veja mais:

O cálculo no Japão
O corpus arquimediano
Teorema do ângulo inscrito

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6 de jun de 2015

Resolução da integral $\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$

Li em um livro, talvez no do Simmons ou do Foulis, que integrar é uma arte. E é verdade. Quanto mais resolvo, mais percebo que não basta apenas o trivial.

Esta integral foi enviada por um leitor por e-mail. Só consegui resolvê-la com uma ajuda da Wolfram. Ao resolvermos esta integral, faremos uma substituição nada trivial. No entanto, após uma manipulação de identidades trigonométricas, chegamos a um resultado satisfatório.


Seja a integral:
\begin{equation}
I = \int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx = \int \frac{x^2}{\sqrt{(4-x^2)^3}} dx
\end{equation}
Fazemos a substituição no integrando: $x=2\text{sen}(u)$ e $dx=2\cos (u)du$, de modo que o denominador fica:
\begin{equation*}
\sqrt{(4-x^2)^3} = \sqrt{(4-(2\text{sen}(u))^2)^3} = \sqrt{(4-4\text{sen}^2(u))^3} =(4-4\text{sen}^2(u))\sqrt{(4-4\text{sen}^2(u)} =4(1-\text{sen}^2(u))\sqrt{4(1-\text{sen}^2(u))} = 8\cos ^2(u) \cdot \cos(u) = 8\cos ^3(u)
\end{equation*}
Assim, a integral inicial fica:
\begin{equation*}
I = \int \frac{(2 \text{sen}(u))^2 \cdot 2\cos (u)}{8 \cos ^3(u)}du\\
\ \\
I = \int \frac{4 \text{sen}^2(u) \cdot 2\cos (u)}{8 \cos ^3(u)}du\\
\ \\
I = \int \frac{\text{sen}^2(u)}{\cos ^2(u)}du\\
\ \\
I = \int \text{tg}^2(u)du
\end{equation*}
Podemos escrever $\text{tg}^2(u) = \sec ^2(u)-1$:
\begin{equation*}
I = \int \left(\sec ^2(u) - 1 \right) du\\
\ \\
I = \int \sec ^2(u) du - \int 1 du\\
\ \\
I = \text{tg}(u) - u + C
\end{equation*}
Mas $\displaystyle u= \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)$:
\begin{equation*}
I = \text{tg}\left(\text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) \right) - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C
\end{equation*}
No entanto, $\displaystyle \text{tg} \left( \text{arcsen}(t)\right) = \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}$:
\begin{equation*}
I = \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C \\
\ \\
I = \frac{x}{\displaystyle 2 \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C \\
\ \\
I = \frac{x}{\displaystyle \sqrt{4\left( \frac{4 - x^2}{4}\right)}}- \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C \\
\ \\
I = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C
\end{equation*}

Exemplo $1$:

Calcular a integral definida $\displaystyle I = \int_0^1 \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$.

Como resultado do processo de integração acima, temos que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C
\end{equation*}
Aplicando os limites de integração, obtemos:

\begin{equation*}
I = \int_0^1 \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx = \left[\frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)\right]_0^1\\
\ \\
I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \text{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right) \\
\ \\
I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} \approx 0,053751 \ u.a.
\end{equation*}
Graficamente, temos:


Veja mais:

Método de integração por substituição
Método de integração por substituição trigonométrica
Funções trigonométricas inversas: a função arco seno

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3 de jun de 2015

Triângulos de áreas constantes na elipse

Leonhard Euler foi o matemático mais prolífico de todos os tempos, estudando vários problemas em várias áreas da Matemática. Em um pequeno artigo, ele discute algumas propriedades de triângulos inscritos em seções cônicas e neste post, veremos um relacionado a elipse na proposição abaixo.


Proposição

Seja $A(x_0,y_0)$ um ponto sobre a elipse
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\end{equation}
e passe por ele uma reta tangente $t$. A linha traçada do centro da elipse (ponto $B$) paralela a reta tangente $t$ intercepta a elipse no ponto $C$ conforme a figura acima. Então a área do triângulo $ABC$ não depende do ponto $A$ e sua área é igual ao semi-produto dos semi-eixos $a$ e $b$, isto é,
\begin{equation*}
S_{\triangle ABC} = \frac{ab}{2}
\end{equation*}

Demonstração

Seja $C(x_1,y_1)$ o ponto sobre a elipse tal que $BC$ é paralelo a reta tangente que passa pelo ponto $A(x_0,y_0)$. Por outro lado, derivando implicitamente a expressão $(1)$ em relação a $x$, temos:
\begin{equation}
\frac{2x}{a^2} + \frac{2yy^{\prime}}{b^2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad y^{\prime} = -\frac{b^2x}{a^2y}
\end{equation}
No ponto $A(x_0,y_0)$, o coeficiente angular da reta tangente é dado por
\begin{equation*}
y^{\prime}(x_0,y_0) = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}
\end{equation*}
de modo que a equação da reta que passa pelos pontos $B$ e $C$ é dada por
\begin{equation*}
y - 0 = - \frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x - 0) \quad \text{ou} \quad BC: \ y = -\frac{b^2x_0x}{a^2y_0}
\end{equation*}
Como $C \in BC$, então
\begin{equation}
a^2y_0y_1 = -b^2x_0x_1
\end{equation}
Mas,
\begin{equation*}
S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\vec{BA}\times \vec{BC}| = \frac{1}{2}|(x_0,y_0,0)\times (x_1,y_1,0)|
\end{equation*}
Sendo
\begin{equation*}
(x_0,y_0,0)\times (x_1,y_1,0) =\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_0 & y_0 & 0 \\x_1 & y_1 & 0 \\ \end{vmatrix} = (0,0,x_0y_1 - x_1y_0)
\end{equation*}
segue que
\begin{equation*}
4S_{\triangle ABC}^2 = (x_0y_1 - x_1y_0)^2 = x_0^2y_1^2 - 2x_0x_1y_0y_1 +x_1^2y_0^2
\end{equation*}
Substituindo $(3)$ nesta expressão, temos:
\begin{equation*}
4S_{\triangle ABC}^2 = x_0^2y_1^2 - 2x_0x_1\cdot \biggl(\frac{-b^2x_0x_1}{a^2}\biggr) + x_1^2y_0^2 \\

4S_{\triangle ABC}^2 = x_0^2\biggl(y_1^2 + \frac{2b^2x_1^2}{a^2}\biggr) + x_1y_0^2 \\

4S_{\triangle ABC}^2 = x_0^2\biggl[b^2\biggl(1 - \frac{x_1^2}{a^2}\biggr) + \frac{2b^2x_1^2}{a^2}\biggr] + b^2x_1^2\biggl(1 - \frac{x_0^2}{a^2}\biggr) \\

4S_{\triangle ABC}^2 = x_0^2\biggl(b^2 + \frac{b^2x_1^2}{a^2}\biggr) + b^2x_1^2 - \frac{b^2x_0^2x_1^2}{a^2}
\end{equation*}
\begin{equation}
4S_{\triangle ABC}^2 = b^2(x_0^2 + x_1^2)
\end{equation}

Novamente da expressão $(3)$,
\begin{equation*}
b^4x_0^2x_1^2 = a^4y_0^2y_1^2 \\
\ \\
b^4x_0^2x_1^2 = a^4b^2\biggl(1 - \frac{x_0^2}{a^2} \biggr)b^2\biggl(1 - \frac{x_1^2}{a^2} \biggr) \\
\ \\

x_0^2x_1^2 = (a^2 - x_0^2)(a^2 - x_1^2) = a^4 - a^2x_1^2 - a^2x_0^2 + x_0^2x_1^2 \\
\end{equation*}
\begin{equation}
x_0^2 + x_1^2 = a^2
\end{equation}

Substituindo $(5)$ em $(4)$, temos
\begin{equation*}
4S_{\triangle ABC}^2 = a^2b^2 \quad \Longrightarrow \quad S_{\triangle ABC} = \frac{ab}{2}
\end{equation*}

*Este artigo é uma republicação. O link do artigo original encontra-se nas referências.

Referências

[1] Triângulos de áreas constantes na elipse no blog Fatos Matemáticos

Veja mais:

A equação da elipse
O princípio de Cavalieri
Pontos notáveis de um triângulo

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31 de mai de 2015

O problema da arrumação das bolas em forma de quadrado

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Certo dia um colega do departamento, no qual trabalhamos, apresentou-me um problema que ele havia criado, mas ficou com uma dúvida após resolver alguns exemplos.

O problema

Se $n$ bolas são arrumadas em forma de um quadrado, pergunta-se: quantas bolas devem ser tiradas, do quadrado, de tal modo que arrumando as bolas restantes seja possível formar um novo quadrado?


Resolução de alguns exemplos formulados pelo colega

Um quadrado formado com $9$ bolas, tirando $5$ bolas restam $4$ (um quadrado);  um quadrado formado com $16$ bolas, tirando $12$ bolas restam $4$ (um quadrado) ou tirando $7$ bolas restam $9$ (um quadrado); um quadrado formado com $25$ bolas, tirando $21$ bolas restam $4$ bolas (um quadrado) ou tirando $16$ bolas restam $9$ (um quadrado) ou tirando $9$ bolas restam $16$ (um quadrado); um quadrado formado com $36$ bolas, tirando $32$ bolas restam $4$ (um quadrado) ou tirando $27$ bolas restam $9$ (um quadrado) ou tirando $20$ bolas restam $16$ (um quadrado) ou retirando $21$ bolas restam $25$ (um quadrado). E assim por diante.

A dúvida do colega

Disse o colega: "Eu testei todos os quadrados, de lado maior que $6$ e menor que $100$, formados com bolas, mas nenhum desses quadrados – tirando $6, 10, 14, \cdots$ (ou seja, um número de bolas da forma $4n + 6$) – com as bolas restantes não foi possível arrumá-las para formar um novo quadrado".

Diante do exposto, o colega me perguntou: "professor, por que o número de bolas, da forma $4n + 6$, tirado de um quadrado formado de bolas, com as bolas restantes não é possível formar um novo quadrado?" Vejamos por quê.

Sejam $x^2$ o quadrado formado de bolas; $n$ o número de bolas tirado do quadrado e $y^2$ o quadrado formado com as bolas restantes.

Tirando $n$ bolas de $x^2$ a diferença $x^2 – n$ tem de ser um quadrado, ou seja, $x^2 – n = y^2$.

Se $x^2 – n = y^2$, então, $x^2 – y^2 = n$. Portanto, a fim de que a diferença $x^2 – n$ seja um quadrado, $n$ tem de ser escrito como diferença de dois quadrados, ou seja, $n = x^2 – y^2$.

O teorema abaixo foi extraído de um livro de teoria dos números.

Teorema $1$

Um número inteiro $n$ pode ser escrito como a diferença de dois quadrados de inteiros, $n = x^2 – y^2$, se e somente se $n$ é ímpar ou múltiplo de $4$.

Demonstração dada no mesmo livro

Uma forma direta de obter a representação de $n$ como diferença de dois quadrados é a seguinte:

Se $n$ é múltiplo de $4$:
\begin{equation*}
n = 4k = (k+1)^2 - (k-1)^2
\end{equation*}
Se $n$ é ímpar:
\begin{equation*}
n = 2k+1 = (k+1)^2 - k^2
\end{equation*}

Teorema de Sebá $1$

Todo número ímpar $I$, maior que a unidade, pode ser escrito como diferença de dois quadrados de inteiros: $I = x^2 – y^2$, de uma ou mais maneiras diferentes, por meio das duas equações:
\begin{equation}
x=\frac{I+k^2}{2k}
\end{equation}
e
\begin{equation}
y = x-k,\quad (y>1)
\end{equation}
onde $k$ são os divisores de $I$, tal que $1\leq k^2 < I$.

Demonstração

Como $I = x^2-y^2$, logo:
\begin{equation*}
x+y = \frac{I}{x-y}
\end{equation*}
Como $x$ e $y$ são inteiros, logo, $x-y$ são os divisores de $I$.

Se $x-y=k$, então:
\begin{equation*}
x+y=\frac{I}{k}
\end{equation*}
Temos o seguinte sistema de equações:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x & - & y & = & k\\
x & + & y & = &\displaystyle \frac{I}{k}
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Resolvendo-o, obtem-se:
\begin{equation*}
x = \frac{I+k^2}{2k} \quad \text{e} \quad y=x-k
\end{equation*}
Note que, se $k^2 \geq I$, implica $x-k \leq 0$. Logo, $1 \leq k^2 <I$.

Exemplo $1$

De quantas maneiras diferentes pode-se escrever $121 = x^2 - y^2$?

O divisor de $121$, tal que $1 \leq k^2 <121$ é $1$. Logo, pode-se escrever $121 = x^2-y^2$ de uma única maneira.

Para $k=1$ e $I=121$, fazemos:
\begin{equation*}
x=\frac{121+1^2}{2\cdot 1}=61
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
y=61-1=60
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
121 = x^2 - y^2 = 61^2 - 60^2 = 3721 - 3600 = 121
\end{equation*}
Caso escolhêssemos $k=11$, teríamos $k^2 = 11^2  = 121 = I$ e obter-se-ia:
\begin{equation*}
x = \frac{121 + 11^2}{2 \cdot 11} = 11
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
y = 11 - 11 = 0
\end{equation*}

Exemplo $2$

De quantas maneiras diferentes pode-se escrever o primo $13 = x^2 - y^2$?

O divisor de $13$, tal que $1 \leq k^2 <13$ é $1$. Logo, pode-se escrever $13 = x^2 - y^2$ de uma única maneira como diferença de dois quadrados.

Para $k=1$ e $I=13$, fazemos:
\begin{equation*}
x = \frac{13 + 1^2}{2 \cdot 1} = 7
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
y = 7 - 1 = 6
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
13 = x^2 - y^2 = 7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13
\end{equation*}

Exemplo $3$

De quantas maneiras diferentes pode-se escrever $117 = x^2 - y^2$?

Os divisores de $117$, tal que $1 \leq k^2 < 117$, são $1$, $3$ e $9$. Logo, temos três maneiras diferentes de escrever $117$ como diferenças de dois quadrados.

Modo $1$: Para $k=1$ e $I = 117$

\begin{equation*}
x = \frac{117 + 1^2}{2 \cdot 1} = 59 \quad \text{e} \quad y=59-1 = 58
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
117 = 59^2 - 58^2 = 3481 - 3364
\end{equation*}

Modo $2$: Para $k=3$ e $I=117$

\begin{equation*}
x = \frac{117 + 3^2}{2 \cdot 3} = 21 \quad \text{e} \quad y = 21-3 - 18
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
117 = 21^2 - 18^2 = 441 - 324
\end{equation*}

Modo $3$: Para $k=9$ e $I=117$

\begin{equation*}
x = \frac{117 + 9^2}{2 \cdot 9} = 11 \quad \text{e} \quad y = 11-9=2
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
117 = 11^2 - 2^2
\end{equation*}
Caso escolhêssemos $k=13$, teríamos $k^2 = 13^2 = 169 >117$ e obterse-ia:
\begin{equation*}
x = \frac{117 + 13^2}{2 \cdot 13} = 11 \quad \text{e} \quad y=11-13 = -2 \ \text{(negativo)}
\end{equation*}
Pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números:

Se $n$ é ímpar:
\begin{equation*}
n = 2k + 1 = (k+1)^2 - k^2
\end{equation*}
Se $n=117$, $k=58$, logo:
\begin{equation*}
117 = (58+1)^2 - 58^2 = 59^2 - 58^2
\end{equation*}

Conclusão

Pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números, $117$ só poderia ser escrito de uma única maneira como diferença de dois quadrados; já pelo Teorema de Sebá, o número $117$ pode ser escrito de três maneiras diferentes como diferença de dois quadrados:
\begin{equation*}
117 = 11^2-2^2 = 21^2-18^2 = 59^2-58^2
\end{equation*}

Teorema de Sebá $2$

Todo número par $P > 4$, múltiplo de $4$, pode ser escrito como diferença de dois quadrados de inteiros, $P=x^2-y^2$, de uma ou mais maneiras diferentes, por meio das duas equações seguintes:
\begin{equation}
x=\frac{P+k^2}{2k}
\end{equation}
e
\begin{equation}
y=x-k
\end{equation}
onde $k$ são os divisores de $P$, sendo $k \neq 2n+1$, $2 \leq k^2<P$ e $2k$ tem que dividir $P$.

Demonstração

Como $P=x^2-y^2$, temos que:
\begin{equation*}
x+y = \frac{P}{x-y}
\end{equation*}
Como $x$ e $y$ são inteiros, logo $x-y$ são divisores de $P$.

Se $x-y=k$, então:
\begin{equation*}
x+y=\frac{P}{k}
\end{equation*}
Temos o seguinte sistema de equações:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x & - & y & = & k\\
x & + & y & = &\displaystyle \frac{P}{k}
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Resolvendo-o obtém-se:
\begin{equation*}
x = \frac{P+k^2}{2k} \quad \text{e} \quad y=x-k
\end{equation*}
Note que se $k^2 \geq P$, implica $x-y \leq 0$, logo, $2 \leq k^2 <P$.

Se $k=2n+1$, $P+k^2$ será ímpar, consequentemente $2k$ (par) não divide $P+k^2$ (ímpar).

Exemplo $4$

De quantas maneiras diferentes pode-se escrever $16 = x^2-y^2$?

O divisor de $16$, tal que $2 \leq k^2 <16$ é $2$.

Para $k=2$ e $P=16$, temos:
\begin{equation*}
x = \frac{16 + 2^2}{2\cdot 2} = 5 \quad \text{e} \quad y=5-2 = 3
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
16 = 5^2 - 3^2 = 25-9
\end{equation*}
Caso escolhêssemos $k=4$, teríamos $k^2 = 4^2 = 16 = P$ e obter-se-ia:
\begin{equation*}
x = \frac{16 + 4^2}{2 \cdot 4} = 16 \quad \text{e} \quad y = 16-16=0
\end{equation*}

Exemplo $5$

De quantas maneiras diferentes pode-se escrever $32=x^2-y^2$?

Os divisores de $32$, tal que $2 \leq k^2 < 32$, são: $2$ e $4$. Logo, $32$ pode ser escrito como diferença de dois quadrados de duas maneiras diferentes.

Para $k=2$ e $P=32$, tem-se:
\begin{equation*}
x = \frac{32+2^2}{2 \cdot 2} = 9 \quad \text{e} \quad y = 9-2 = 7
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
32 = 9^2 - 7^2 = 81 - 49
\end{equation*}
Para $k=4$ e $P=32$, tem-se:
\begin{equation*}
x = \frac{32 + 4^2}{2 \cdot 4} = 6 \quad \text{e} \quad y = 6-4 = 2
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
32 = 6^2 - 2^2 = 36 -4
\end{equation*}
Caso escolhêssemos $k=8$ (um dos divisores de $32$, teríamos $k^2 = 8^2 = 64 >P$ e obter-se-ia:
\begin{equation*}
x = \frac{32+8^2}{2 \cdot 8} = 6 \quad \text{e} \quad y=6-8 = -2 \ \text{(negativo)}
\end{equation*}
E pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números:

Se $n$ é par:
\begin{equation*}
n = 4k = (k+1)^2 - (k-1)^2
\end{equation*}
Para $n = 32$, $k=8$, logo:
\begin{equation*}
32 = (8+1)^2 - (8-1)^2 = 9^2 - 7^2
\end{equation*}

Conclusão

Pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números, $32$ só pode ser escrito de uma única maneira como diferença de dois quadrados; já pelo teorema de Sebá, $32$ pode ser escrito de duas maneiras diferentes como uma diferença de dois quadrados:
\begin{equation*}
32 = 6^2-2^2 = 9^2 - 7^2
\end{equation*}
Agora, voltando à pergunta inicial do colega: "professor, por que o número de bolas, da forma $4n+6$, tirado de um quadrado formado de bolas, com as bolas restantes nõa é possível formar um novo quadrado?"

A resposta é: Porque o número de bolas da forma $4n + 6$ não é múltiplo de $4$ e, consequentemente, nenhum número da forma $4n+6$ pode ser escrito como diferença de dois quadrados de inteiros.

Exemplo $6$

Quantas bolas deve ter um quadrado, a fim de que sejam tiradas $5$ bolas e com o restantes seja possível fazer um novo quadrado?

Resolução: Devemos encontrar $x$ e $y$ tais que: $5 = x^2-y^2$.

O divisor de $5$, tal que $1 \leq k^2 < 5$ é $1$. Como $k=1$, logo:
\begin{equation*}
x = \frac{5 + 1^2}{2 \cdot 1} = 3 \quad \text{e} \quad y = 3-1=2
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
5 = 3^2-2^2$ \quad \text{ou} \quad 9-5=4
\end{equation*}
Resposta: Um quadrado com $9$ bolas, tirando $5$ bolas, restam $4$.

Exemplo $7$

Quantas bolas deve ter um quadrado, a fim de que sejam tiradas $15$ bolas e com as restantes seja possível fazer um novo quadrado?

Resolução: Devemos encontrar $x$ e $y$ tais que: $15 = x^2 - y^2$.

Os divisores de $15$, tais que $1 \leq k^2 < 15$ são $1$ e $3$. Logo, $k=1$ e $3$.

Para $k=1$:
\begin{equation*}
x = \frac{15+1^2}{2 \cdot 1} = 8 \quad \text{e} \quad y = 8-1=7
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
15 = 8^2 - 7^2 \quad \text{ou} \quad 64-15=49
\end{equation*}
Para $k=3$:
\begin{equation*}
x=\frac{15+3^2}{2\cdot 3}=4 \quad \text{e} \quad y=4-3=1
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
15 = 4^2-1^2 \quad \text{ou} \quad 4-3-1
\end{equation*}
O número $1$ é um quadrado, mas não é possível formar um quadrado com apenas uma bola.

Resposta: Um quadrado de $64$ bolas, tirando $15$ bolas, restam $49$ bolas.

Exemplo $8$

Quantas bolas deve ter uma quadrado, a fim de que sejam tiradas $99$ bolas e com as restantes seja possível fazer um quadrado?

Resolução: Devemos encontrar $x$ e $y$ tais que: $99=x^2-y^2$.

Os divisores de $99$, tais que $1 \leq k^2 <99$, são $1$, $3$ e $9$. Logo, $k=1$, $3$ e $9$.

Para $k=1$:
\begin{equation*}
x=\frac{99+1^2}{2\cdot 1} = 50 \quad \text{e} \quad y=50-1=49
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
99 = 50^2-49^2 \quad \text{ou} \quad 2500-99=2401
\end{equation*}
Para $k=3$:
\begin{equation*}
x=\frac{99+3^2}{2\cdot 3} = 18 \quad \text{e} \quad y = 18-3=15
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
99=18^2-15^2 \quad \text{ou} \quad 324-99=225
\end{equation*}
Para $k=9$:
\begin{equation*}
x=\frac{99+9^2}{2\cdot 9}=10 \quad \text{e} \quad y=10-9=1
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
99=10^2-1^2 \quad \text{ou} \quad 100-99=1
\end{equation*}
O número $1$ é um quadrado, mas não é possível formar um quadrado com apenas uma bola.

Resposta: Um quadrado com $2500$ bolas, tirando $99$ bolas restam, $2401$ bolas; ou um quadrado de $324$ bolas,retirando $99$ bolas, restam $225$ bolas.

Um terno pitagórico $(a,b,c)$ também resolve o problema das bolas, haja vista que se $a^2+b^2=c^2$, então, $c^2-a^2=b^2$ ou $c^2-b^2=a^2$.

Exemplo $9$

Se o terno pitagórico for $(a,b,c)=(5,12,13)$, então: $13^2=5^2+12^2$.

Como $13^2-5^2=12^2$ e $13^2-12^2=5^2$, logo, um quadrado com $169$ bolas, retirando-se $25$ bolas, ficam $144$ bolas; ou um quadrado com $169$ bolas, retirando-se $144$ bolas, ficam $25$ bolas.

* Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.

Veja mais:

Conjectura de Beal - Casos particulares
Critérios de divisibilidade por qualquer número primo maior que onze
Método para escrever um número ímpar composto como diferença de dois quadrados de inteiros

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30 de mai de 2015

A Constante de Brun

Viggo Brun nasceu em $13$ de outubro de $1885$ em Lier, Noruega e morreu em $15$ de agosto de 1978 me Drobak.

Em $1923$ tornou-se professor no Instituto Norueguês de Tecnologia e em $1946$ tornou-se professor na Universidade de Oslo, onde aposentou-se em $1955$, aos $70$ anos de idade.

Em $1915$ introduziu um novo método, baseado na versão de Legendre do Crivo de Eratóstens, conhecido hoje como Crivo de Brun, que aborda problemas como a Conjectura de Goldbach e os Primos Gêmeos. Utilizou seu Crivo para provar que existem infinitos inteiros $n$, tal que $n$ e $n+2$ tem no máximo nove fatores primos ($9$-quasi-primos) e que todo inteiro par grande é a soma de dois números $9$-quasi-primos ($9$ ou menor).



Sobre os Números Primos Gêmeos, Brun mostrou que a soma dos recíprocos dos pares Primos Gêmeos convergem para um valor finito, atualmente denominado por Constante de Brun.

A Constante de Brun vale hoje aproximadamente $1,9021605824283$ e é calculada através de uma série convergente, dada pela soma infinita:
\begin{equation*}
B_2 = \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{p+2}\right)
\end{equation*}
Abaixo segue uma lista dos $100$ primeiros números primos gêmeos:

3, 5, 7, 11, , 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, 59, 61, 71, 73, 101, 103, 107, 109, 137, 139, 149, 151, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 227, 229, 239, 241, 269, 271, 281, 283, 311, 313, 347, 349, 419, 421, 431, 433, 461, 463, 521, 523, 569, 571, 599, 601, 617, 619, 641, 643, 659, 661, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 857, 859, 881, 883, 1019, 1021, 1031, 1033, 1049, 1051, 1061, 1063, 1091, 1093, 1151, 1153, 1229, 1231, 1277, 1279, 1289, 1291, 1301, 1303, 1319, 1321, 1427, 1429, 1451, 1453, 1481, 1483, 1487, 1489

 Clique aqui para ver os $10.000$ primeiros números primos gêmeos.

Já para a soma dos inversos do números primos, temos uma série divergente, que foi demonstrada pelo gênio Euler no século $XVIII$:
\begin{equation*}
B_1=\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{p_i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19}+\cdots +\frac{1}{p}=\infty
\end{equation*}

Veja mais:

Sobre os primos gêmeos
Quantos números primos existem?
Construindo uma sequência de números não-primos

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26 de abr de 2015

Relações métricas no triângulo retângulo

O triângulo retângulo possui diversas relações interessantes. Neste artigo veremos algumas relações métricas utilizando semelhança de triângulos.



Primeiramente, vamos relembrar algumas definições que serão importantes nas deduções que seguem:

Definição $1$: Triângulo retângulo

Um triângulo é chamado de triângulo retângulo se possuir um ângulo interno reto. O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa e os outros dois lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos.


Definição $2$: Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, existe uma correspondência biunívuca, que associa os três vértices de um triângulo aos três vértices do outro triângulo, tais que:

$a)$ ângulos com vértices correspondentes são congruentes;
$b)$ Lados opostos a vértices correspondentes são iguais.



\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DEF \Longleftrightarrow \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF} ~~\text{e} ~\left\{\begin{matrix}
\hat{A} & \cong  & \hat{D}\\
\hat{B} & \cong & \hat{E}\\
\hat{C} & \cong & \hat{F}
\end{matrix}\right.
\end{equation*}

Seja o triângulo $ABC$, reto em $\hat{A}$:


Temos que:

$\bullet$ $a$ é a hipotenusa;
$\bullet$ $b$ e $c$ são os catetos;
$\bullet$ $h$ é a altura do triângulo relativa à hipotenusa;
$\bullet$ $m$ é a projeção ortogonal do cateto $c$ sobre a hipotenusa;
$\bullet$ $n$ é a projeção ortogonal do cateto $b$ sobre a hipotenusa.

Demonstrações:

Para as demonstrações que seguem, vamos separar o triângulo $ABC$ em dois triângulos. Assim, teremos três triângulos semelhantes:



de modo que:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DAB \sim \triangle DAC
\end{equation*}

$\bullet$ O triângulo $ABC$ é semelhante ao triângulo $DBA$:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DBA \Longleftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
ah = bc \\
c^2 = am \\
bm = ch
\end{gather}

$\bullet$ O triângulo $ABC$ é semelhante ao triângulo $DAC$:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DAC \Longleftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
ah = bc \\
b^2 = an \\
bh = cn
\end{gather}

$\bullet$ O triângulo $DAB$ é semelhante ao triângulo $DAC$:
\begin{equation*}
\triangle DAB \sim \triangle DAC \Longleftrightarrow \frac{c}{b} = \frac{h}{n} = \frac{m}{h}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
cn = bh \\
bm = ch\\
h^2 = mn
\end{gather}

Somando membro a membro as relações $(2)$ e $(5)$ obtemos:
\begin{equation*}
b^2 +c^2 = an+am \\
b^2+c^2 = a(m+n)
\end{equation*}
No entanto,as projeções ortogonais $m$ e $n$ dos catetos $b$ e $c$ sobre a hipotenusa $a$, tem comprimento igual a $m+n=a$. Assim, chegamos ao Teorema de Pitágoras:
\begin{equation}
b^2+c^2 = a^2
\end{equation}

Exemplo $1$:

Determinar as medidas $a$, $h$, $m$ e $n$ no triângulo $ABC$ abaixo:



Da relação $(10)$, temos que:
\begin{equation*}
a^2=b^2+c^2 \Rightarrow a^2=3^2+4^2 \Rightarrow a^2=25 \Rightarrow a=5
\end{equation*}
Da relação $(4)$, temos que:
\begin{equation*}
ah=bc \Rightarrow 5h=3\cdot 4 \Rightarrow h = \frac{12}{5}
\end{equation*}
Da relação $(2)$, temos que:
\begin{equation*}
c^2=am \Rightarrow 3^2 = 5m \Rightarrow m=\frac{9}{5}
\end{equation*}
Da relação $(5)$, temos que:
\begin{equation*}
b^2=an \Rightarrow 4^2=5n \Rightarrow n=\frac{16}{5}
\end{equation*}
Assim, os valores procurados são: $a=5$, $\displaystyle \frac{12}{5}$, $\displaystyle m=\frac{9}{5}$ e $\displaystyle n=\frac{16}{5}$.

Exemplo $2$:

Calcular a altura relativa à base $\overline{BC}$ do triângulo isósceles abaixo:



Como o triângulo é isósceles,  altura $h$ divide o segmento $\overline{BC}$ em duas partes iguais. Assim, $\overline{BD}=\overline{CD}=4$. Aplicamos, então, o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $DAC$:
\begin{equation*}
5^2=4^2+h^2 \Rightarrow h^2=9 \Rightarrow h=3
\end{equation*}
A medida procurada é $h=3$.

Exemplo $3$:

Num triângulo isósceles $ABC$, de lados iguais a $\overline{AB}=\overline{AC}=5$ e $\overline{BC}=8$, calcular a distância entre o ponto médio $M$ do segmento $\overline{BC}$ e um dos catetos.

Podemos representar o problema como a imagem abaixo:


Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é o segmento que une o ponto à reta sendo perpendicular a ela. Na figura está representada pelo segmento $d=\overline{MN}$.

Primeiramente, vamos encontrar a medida $h$, utilizando-se do fato do triângulo ser isósceles. Assim, o segmento $\overline{CM}=4$. Aplicamos o teorema de Pitágoras:
\begin{equation*}
5^2 = 4^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = 9 \Rightarrow h = 3
\end{equation*}
Agora, podemos aplicar a relação $(1)$ no triângulo $ACM$ para encontrarmos o segmento $d$:
\begin{equation*}
5d=3\cdot 4 \Rightarrow 5d = 12 \Rightarrow d = \frac{12}{5}
\end{equation*}
Assim, a medida procurada é $d=12/5$.

Referências:

[1] Matemática Volume Único - Manoel Paiva - Ed. Moderna

Veja mais:

Pontos notáveis de um triângulo
Teorema da base média de um triângulo
O Teorema de Pitágoras, segundo Euclides


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19 de abr de 2015

Integral indefinida do produto de cossenos de monômios de coeficientes angulares diferentes

Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois cossenos, cujos argumentos são monômios.



Vamos demonstrar que:
\begin{equation}
\int \cos(ax) \cos(bx)dx = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)}
\end{equation}
onde $a$ e $b$ são constantes, tal que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$ e $a \neq |b|$.

Demonstração:

Seja a integral:
\begin{equation}
I=\int \cos(ax) \cos(bx)dx
\end{equation}
Das fórmulas de adição e subtração de arcos, obtemos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em uma soma:
\begin{equation}
\cos(m+n) = \cos(m)\cos(n) - \text{sen}(m)\text{sen}(n)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\cos(m-n) = \cos(m)\cos(n) + \text{sen}(m)\text{sen}(n)
\end{equation}
Somando $(3)$ e $(4)$, obtemos:
\begin{equation}
\cos(m-n)+\cos(m+n)= 2\cos(m)\cos(n)
\end{equation}
O que nos leva a:
\begin{equation}
\cos(m)\cos(n) = \frac{1}{2} \cos(m-n) + \frac{1}{2} \cos(m+n)
\end{equation}
Fazendo $m=ax$ e $n=bx$, temos que:
\begin{equation}
\cos(ax)\cos(bx) = \frac{1}{2} \cos[(a-b)x] + \frac{1}{2} \cos[(a+b)x]
\end{equation}
Substituindo na integral $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \left[ \cos[(a-b)x] + \cos[(a+b)x] \right] dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \cos[(a-b)x] dx + \frac{1}{2} \int \cos[(a+b)x] dx
\end{equation}
Para o integrando $\cos[(a-b)x]$, fazemos a substituição $u=(a-b)x$. Assim, $du=(a-b)dx$ e $\displaystyle dx=\frac{du}{a-b}$. E para o integrando $cos[(a+b)x]$, fazemos a substituição $v=(a+b)x$. Assim $dv=(a+b)dx$ e $\displaystyle dx=\frac{dv}{a+b}$.

A integral fica:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2(a-b)}\int \cos(u)du + \frac{1}{2(a+b)} \int \cos(v)dv
\end{equation}
A integral de $\cos(\theta) = \text{sen}(\theta)$. Assim:
\begin{gather}
I = \frac{1}{2(a-b)} \cdot \text{sen}(u) + \frac{1}{2(a+b)} \text{sen}(v) +C\\

I = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)} + C
\end{gather}

Veja mais:

Integral indefinida do produto de senos de monômios de coeficientes angulares diferentes
Método de integração por substituição
Adição e subtração de arcos

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