19/10/2014

Teorema da Decomposição de Polinômios

O Teorema Fundamental da Álgebra nos garante que toda equação polinomial admite pelo menos uma raiz complexa. A demonstração desse teorema foi a tese de doutoramento do grande Gauss em $1799$.

Uma consequência do Teorema fundamental da Álgebra é o Teorema da Decomposição.

Teorema:

Todo polinômio $P(x)$ de grau $n \geq 1$:
\begin{equation}
P(x) \equiv a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots +a_1x + a_0
\end{equation}
pode ser fatorado como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau:
\begin{equation}
P(x) \equiv a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_n)
\end{equation}
onde $r_1, r_2, \cdots , r_n$ são todas as raízes de $P(x)$.

Demonstração:

Seja $P(x)$ um polinômio de grau $n \geq 1$:
\begin{equation}
P(x) \equiv a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots +a_1x + a_0
\end{equation}
Pelo Teorema fundamental da Álgebra (TFA) , $P(x)$ admite uma raiz complexa $r_1$. Logo, podemos escrever $P(x)$ como:
\begin{equation}
P(x) \equiv (x-r_1) \cdot Q_1(x)
\end{equation}
onde $Q_1(x)$ tem grau $n-1$.

Se $n-1 \geq$, então pelo TFA, $Q_1(x)$ admite uma raiz complexa $r_2$ e podemos escrever:
\begin{equation}
Q_1(x) \equiv (x-r_2)\cdot Q_2(x)
\end{equation}
Substituindo $(5)$ em $(4)$, obtemos:
\begin{equation}
P(x) \equiv (x-r_1)(x-r_2)\cdot Q_2(x)
\end{equation}
Repetindo esse processo até que $Q_n(x)$ seja constante, obtemos:
\begin{equation}
P(x) \equiv (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\cdots (x-r_n)\cdot Q_n(x)
\end{equation}
Por definição de identidade de polinômios, temos que o coeficiente $a_n$ de $P(x)$ deve ser igual a $Q_n(x)$. Logo:
\begin{equation}
P(x) \equiv a_n(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\cdots (x-r_n)
\end{equation}

Exemplos:

$1)$ Fatorar o polinômio $P(x) \equiv 2x^2-7x+3$ como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau.

Primeiramente devemos encontrar as raízes do polinômio. Para isso, igualamos a zero e assim poderemos aplicar a fórmula para a equação de segundo grau:
\begin{equation*}
2x^2-7x+3=0\\
x=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot2\cdot3}}{4}\\
x=\frac{7\pm 5}{4}\\
x_1=\frac{7+5}{4}=3\\
x_2=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}
\end{equation*}
Agora, pelo Teorema da Decomposição, temos:
\begin{equation*}
P(x) \equiv 2(x-3)(x-1/2)
\end{equation*}

$2)$ Decompor $P(x) \equiv 4x^2-x-3$ como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau.

Fazemos:
\begin{equation*}
4x^2-x-3=0\\
x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 4\cdot(-3)}}{8}\\
x_1=\frac{1+7}{8}=1\\
x_2=\frac{1-7}{8}=-\frac{3}{4}
\end{equation*}
Assim pelo Teorema da Decomposição:
\begin{equation*}
P(x)\equiv 4(x-1)(x+3/4)
\end{equation*}

$3)$ Decompor $P(x) \equiv x^3-8x^2 +12x$ como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau.

Fazemos:
\begin{equation*}
x^3-8x^2+12x=0\\
x(x^2-8x+12)=0
\end{equation*}
Então, temos que $x=0$ ou $x^2-8x+12=0$. Aplicando a fórmula para a equação de segundo grau:
\begin{equation*}
x^2-8x+12=0\\
x=\frac{8\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 12}}{2}\\
x=\frac{8\pm 4}{2}\\
x_1=6\\
x_2=2
\end{equation*}
Assim, pelo Teorema da Decomposição:
\begin{equation*}
P(x)\equiv 1(x-0)(x-6)(x-2)\\
P(x) \equiv (x-2)(x-6)
\end{equation*}

$4)$ Uma das raízes do polinômio $P(x) \equiv 3x^3-20x^2+23x+10$ é $5$. Fatorar $P(x)$ como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau.

Como $5$ é uma raiz de $P(x)$, pelo Teorema de D'Alembert, temos que $P(x)$ é divisível por $(x-5)$, ou seja $P(x) \equiv (x-5)\cdot Q(x)$. Obtemos $Q(x)$ dividindo $P(x)$ por $(x-5)$. Assim, podemos aplicar Briot-Ruffini para encontrarmos as outras raízes:


Logo, $Q(x) \equiv 3x^2-5x-2$. Portanto, $P(x) \equiv (x-5)(3x^2-5x-2)$.

As raízes de $P(x)$ são dadas por: $(x-5)(3x^2-5x-2)=0$. Então, ou $x-5=0$ ou $3x^2-5x-2=0$. Para $x-5=0$, temos que $x=5$. Aplicando a fórmula da equação de segundo grau na segunda equação, encontramos como raízes $2$ e $-1/3$. Assim, pelo Teorema da Decomposição:
\begin{equation*}
P(x) \equiv 3(x-5)(x-2)(x+1/3)
\end{equation*}

$5)$ Sabendo que $3$ é uma raiz dupla da equação $x^4-12x^3+53x^2-102x+72=0$, obter as outras raízes em $\mathbb{C}$.

Pelo Teorema da Decomposição, a equação pode ser reescrita como:
\begin{equation*}
(x-3)\underbrace{(x-3)\overbrace{(x-r_3)(x-r_4)}^{Q_2(x)}}_{Q_1(x)}=0
\end{equation*}
onde $r_3$ e $r_4$ são outras duas raízes da equação, além do $3$.

Dividindo $P(x)\equiv x^4-12x^3+53x^2 -102x +72$ por $x-3$, obtemos $Q_1(x)$. E dividindo $Q_1(x)$ por $x-3$, obtemos $Q_2(x)$. Aplicando Briot-Ruffini:


Portanto, $Q_1(x) \equiv x^3-9x^2+26x-24$. Para $Q_2(x)$, fazemos:



Portanto, $Q_2(x) \equiv x^2-6x+8$.

Agora, reescrevemos a equação original como:
\begin{equation*}
(x-3)(x-3)(x^2-6x+8)=0
\end{equation*}
Resolvendo cada uma das equações:
\begin{equation*}
x-3=0\\
x=3
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
x^2-6x+8=0\\
x_1=4\\
x_2=2
\end{equation*}
Portanto, além da raiz dupla $r_1=r_2=3$, a equação admite outras duas raízes iguais a $r_3=2$ e $r_4=4$.

Referências:

[1] Matemática Volume Único - Manoel Paiva - Ed. Moderna

Veja mais:

➊ Divisão de Polinômios
➋ Multiplicidade de uma Raiz
➌ Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
 
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02/10/2014

Teorema do Quadrilátero Inscritível

Um quadrilátero está inscrito numa circunferência se seus vértices são pontos desta circunferência.

Teorema:

Se um quadrilátero é inscritível numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares.

Por hipóteses temos que o quadrilátero $ABCD$ está inscrito na circunferência $\lambda$. Em tese temos que:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\alpha & + & \gamma & = & 180^\circ\\
\beta & + & \delta & = & 180^\circ
\end{matrix}\right.
\end{equation}

Demonstração:

Pelo teorema do ângulo inscrito, temos que o ângulo $\alpha$ é igual à metade do arco $\widehat{BCD}$:
\begin{equation}
\alpha=\frac{\widehat{BCD}}{2}
\end{equation}

Analogamente temos que o ângulo $\gamma$ é igual à metade do arco $\widehat{DAB}$:
\begin{equation}
\gamma = \frac{\widehat{DAB}}{2}
\end{equation}
Assim:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
\alpha & = & \frac{\widehat{BCD}}{2}\\
\gamma& = & \frac{\widehat{DAB}}{2}
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow \alpha + \gamma = \frac{\widehat{BCD}+\widehat{DAB}}{2}=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ
\end{equation}Analogamente provamos que $\beta + \delta = 180^\circ$, ou ainda observando que como a soma dos ângulos internos de uma quadrilátero é igual a $360^\circ$, segue que $\beta + \delta = 180^\circ$.

Exemplos:

$a)$ Calcule o valor de $\alpha$:

Sabemos que $\alpha + 72^\circ = 180^\circ$. Então $\alpha = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

$b)$ Calcule o valor de $\alpha$:


 Como $\alpha + 110^\circ = 180^\circ$, então $\alpha = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

$c)$ Calcule o valor de $\alpha$:


Sabemos que $112^\circ + \gamma = 180^\circ$. Então, $\gamma = 68^\circ$. Por outro lado, $\alpha + \gamma = 180^\circ$. Substituindo o valor de $\gamma$, obtemos: $\alpha = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais:

➊ Organograma dos Quadriláteros Notáveis
➋ Teorema do Ângulo Inscrito
➌ Quadriláteros Notáveis


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27/09/2014

Arcos de Circunferência

O bom entendimento sobre as medidas de ângulos em graus e em radianos é necessário para o estudo da circunferência trigonométrica para que possamos também trabalhar com ângulos que não sejam agudos e fazer um estudo mais geral e completo, preparando-se para o estudo das funções trigonométricas.


Introdução

Os ângulos aparecem nos registros da Grécia antiga associados ao estudo dos elementos de uma círculo, relacionados com arcos e cordas. As propriedades do ângulo central de uma circunferência eram conhecidas desde os tempo de Eudoxo (Astrônomo, matemático e filósofo grego do século $IVa.C.$), que teria usado medidas de ângulos em diversos cálculos, como a determinação das dimensões da Terra e a distância relativa entre o Sol e a Terra.

Acredita-se que os sumérios e os arcadinos $(3500a.C.)$ já sabiam medir ângulos.

Um dos primeiros astrônomos gregos a dividir o círculo em $360$ partes iguais foi Hipsicles (século $IIIa.C.$), talvez por acreditarem que a Terra leva cerca de $360$dias para completar sua translação em torno do Sol. Mas a hipótese mais provável é ter havido influência do sistema de numeração sexagesimal (base $60$), utilizado na Babilônia.

Comprimento de uma circunferência

Seja um círculo qualquer de centro $O$ e raio $r$. A borda desse círculo, ou seja, o contorno desse círculo é chamado de circunferência.

Se pudermos retificar essa circunferência, ou seja, transformá-la em um segmento de reta, este segmento teria o comprimento $C$ que seria o comprimento da própria circunferência. Veja aqui um exemplo de retificação da circunferência.

O comprimento $C$ da circunferência é dado por:
\begin{equation}
C=2\pi r
\end{equation}
onde $r$ é o raio da circunferência e $\pi$ é uma constante irracional, presente em toda circunferência e numericamente vale $3,1415$, aproximadamente. Veja aqui uma breve cronologia de $\pi$.

Medidas de arcos e ângulos

Sempre que quisermos medir alguma grandeza, usamos outra grandeza padrão como uma medida unitária e depois procuramos descobrir quantas vezes a grandeza a ser medida contém a grandeza padrão.

No caso de uma régua, existem versões com escalas em milímetros, outras em centímetros. As trenas possuem marcação de milímetros, centímetros e metros. Já o odômetro de um veículo, mede com precisão de $100$ metros.

Então, medida é a razão entre duas grandezas de mesma espécie.

Sendo assim, a medida de um arco de circunferência $\widehat{AB}$ é um número $\alpha$, não-negativo, determinado pela razão entre o arco $\widehat{AB}$ a ser medido e um arco unitário $u$ da mesma circunferência. Simbolicamente temos:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\widehat{AB}}{u}
\end{equation}

Definição $1$: Arco de circunferência

Arco de circunferência é cada uma das duas partes em que uma circunferência fica dividida por dois pontos. assim, sendo $A$ e $B$ dois de seus pontos, eles a dividem em duas partes:

 

Se os pontos coincidem, teremos arco nulo ou arco de uma volta.

Grau

Foi convencionada a divisão da circunferência em $360$ arcos congruentes. Cada um desses arcos foi chamado de arco de um grau $(1º)$. Cada arco de $1º$ foi dividido em $60$ sub-arcos congruentes e cada um desses sub-arcos recebeu o nome de minuto de grau $(1^\prime)$. E cada arco de minuto de grau foi sub-dividido em outros $60$ arcos congruentes dando origem ao arco de segundo de grau $(1^{\prime \prime}$). Um exemplo dessa notação é $30º 12^\prime 15^{\prime \prime}$.

Em problemas de nosso cotidiano, minutos e segundos de grau não são muito utilizados, mas em medições técnicas e em astronomia, seu uso é essencial. Assim:
\begin{equation}
1º = 60^\prime \Rightarrow 1^\prime = 60^{\prime \prime} \Rightarrow 1º = 3600^{\prime \prime}
\end{equation}

Definição $2$: Grau

Grau é o arco unitário equivalente a $1/360$ da circunferência que o contém:

Radiano

Seja uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ e seja $\ell$ o comprimento de um arco de circunferência com medida de ângulo central igual a $\alpha$.

Dizemos que um arco mede $1$ radiano $(1\:\text{rad})$ se o seu comprimento $\ell$ for igual ao comprimento do raio $r$. Assim, a medida do ângulo central também será de $1$ radiano.



Definição $3$: Ângulo central

Ângulo central de uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro $O$ da circunferência.



Então, para sabermos a medida de um arco ou ângulo central correspondente, em radianos, calculamos quantas vezes esse arco de comprimento $\ell$ contém a medida do raio $r$. Obtemos dividindo $\ell$ por $r$:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\ell}{r}
\end{equation}
Se $\ell$ é o arco de uma volta, então $\ell$ é o comprimento da circunferência $C=2\pi r$:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\ell}{r} = \frac{2 \pi r}{r} = 2\pi \: \text{rad}
\end{equation}
Assim, a circunferência é um arco de $2\pi \: \text{rad}$ e o ângulo central de uma volta mede $2\pi \: \text{rad}$. E como o ângulo de uma volta tem $360º$, então $2\pi \: \text{rad}$ equivale a $360º$.

Definição $4$: Radiano

Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém.


Comprimento de uma arco de circunferência

Seja uma circunferência de centro $O$ e raio $r$, cujo ângulo central de um arco de comprimento $\ell$ corresponde em radianos mede $\alpha$. Da relação $(4)$ concluímos que:
\begin{equation}
\ell = \alpha \cdot r
\end{equation}
onde $\ell$ é o comprimento do arco, $r$ é o raio e $\alpha$ é a medida do ângulo central em radianos.

Exemplos

$1)$ Uma pista circular de atletismo tem diâmetro de $50m$. Calcular a distância percorrida por um atleta após dar $6$ voltas completas nesta pista.

Resolução: Como o diâmetro é de $50m$, o raio mede $25m$ e o comprimento da pista é:
\begin{equation*}
C=2\pi r=2\pi \cdot 25=50\pi \cong 157m
\end{equation*}
Como foram $6$ voltas, basta multiplicarmos o resultado obtido por $6$. A distância percorrida foi de $157\cdot 6=942$.

$2)$ Converter as medidas de ângulos:

$a)$ $270º$ em radianos

Como $360º=2\pi \: \text{rad}$, então $180º=\pi \: \text{rad}$. Usamos este valor como referência na regade três:
\begin{matrix}
\pi \: \text{rad}& = & 180º\\
 x & = & 270º
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $\displaystyle x=\frac{3}{2} \pi \: \text{rad}$

$b)$ $2/3 \pi \: \text{rad}$ em graus
\begin{matrix}
\pi \: \text{rad}& = & 180º\\
 2/3 \pi \: \text{rad} & = &x
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $x=120º$

$c)$ $37º30^\prime$ em radianos

Primeiro convertemos $37º30^\prime$ em segundos de grau:
\begin{equation*}
37º30^\prime = 37 \cdot 60^\prime + 30^\prime = 2250^\prime
\end{equation*}
E agora convertemos $180º$ em minutos de grau, obtendo $10800^\prime$.

Então fazemos:
\begin{matrix}
10800^\prime& = & \pi \: \text{rad}\\
2250^\prime & = &x
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $\displaystyle x=\frac{5}{24} \pi \: \text{rad}$

$d)$ $\pi/16 \: \text{rad}$ em graus
\begin{matrix}
\pi \: \text{rad}& = & 180º\\
 \pi/16 \: \text{rad} & = &x
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $\displaystyle x=\frac{180º}{16}=11,25º$. Podemos escrever:
\begin{equation*}
x=11,25º = 11º + 0,25\cdot 60^\prime=11º15^\prime
\end{equation*}

$e)$ $1$ radiano em graus
\begin{matrix}
\pi \: \text{rad}& = & 180º\\
 1 \: \text{rad} & = &x
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $\displaystyle x=\frac{180º}{\pi}\cong 57,2957795º$, ou $x\cong 57º19^\prime 29^{\prime \prime}$

$3)$ As circunferências da figura abaixo são concêntricas, sendo $r_1=3\:cm$, $r_2=8\: cm$ e $\ell_2=40\: cm$. Calcular: $a)$ o ângulo $\alpha$ em radianos e $b)$ o arco $\ell_1$.



Resolução:

$a)$ $\displaystyle \alpha = \frac{\ell_2}{r_2}=\frac{40}{8}=5\: \text{rad}$

$b)$$\displaystyle \alpha = \frac{\ell_1}{r_1} \Rightarrow s_1=\alpha r_1=5\cdot 3= 15\:cm$

Referências

[1] Matemática V. Único - Facchini
[2] Matemática V. Único - Marcondes, Gentil & Sérgio
[3] Matemática V. 2 Contextos e Aplicações - Dante

Vejam mais:

➊ O Surgimento do Grau na Circunferência
➋ A Astronomia e os Astrônomos da Grécia Antiga
➌ Como Encontrar o Centro de uma Circunferência
 
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20/09/2014

Razão de Secção

Consideremos três pontos: $A(x_a,y_a)$, $B(x_b,y_b)$ e $C(x_c,y_c)$, pertencentes a uma mesma reta $r$, oblíqua aos eixos $x$ e $y$ e ainda sendo $B$ e $C$ distintos.

Definição:

A razão $k$ das medidas algébricas de $\overline{AC}$ e $\overline{CB}$ é chamada de razão de secção de $\overline{AB}$ pelo ponto $C$ e é dada por:
\begin{equation}
k=\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}},\: C \not\equiv A : \text{e} \: C\not\equiv B
\end{equation}
Dados dois pontos $A$ e $B$ em uma reta $r$, um ponto $C$ pertencente a $r$ pode dividir o segmento $\overline{AB}$ de duas formas diferentes.

$1º)$ O ponto $C$ está entre os pontos $A$ e $B$.



[figura 1]

Analisando a figura acima e aplicando o Teorema de Tales, obtemos as relações:
\begin{equation}
k=\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=\frac{x_c-x_a}{x_b-x_c}=\frac{y_c-y_a}{y_b-y_c}, \: x_b \neq x_c \: \text{e} \: y_b \neq y_c
\end{equation}
Notamos que se o ponto $C$ estiver entre$A$ e $B$, obteremos $k$ sempre positivo, pois:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
x_c>x_a \Rightarrow x_c-x_a>0\\
x_b>x_c \Rightarrow x_b-x_c>0
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow k>0
\end{equation}

$2º)$ O ponto $C$ não está entre os pontos $A$ e $B$.

Neste caso, pode ocorrer duas situações:


[Figura 2]

Apesar do ponto $C$ estar antes do ponto $A$ ou depois do ponto $B$, para estas duas possibilidades, temos:
\begin{equation}
k=\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=\frac{x_c-x_a}{x_b-x_c}=\frac{y_c-y_a}{y_b-y_c}
\end{equation}
Na primeira situação temos que:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
x_c>x_a \Rightarrow x_c-x_a>0\\
x_b<x_c \Rightarrow x_b-x_c<0
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow k<0
\end{equation}

Na segunda situação temos que:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
x_c<x_a \Rightarrow x_c-x_a<0\\
x_b>x_c \Rightarrow x_b-x_c>0
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow k<0
\end{equation}
Quando $C$ não estiver entre $A$ e $B$, obteremos $k$ sempre negativo.

Notamos que quando $C \not\equiv A$, $\overline{AC}=0$ e consequentemente $k=0$.

Resumindo:

$\bullet$ Quando $C$ está entre $A$ e $B$, temos $k>0$;
$\bullet$ Quando $C$ não está entre $A$ e $B$, temos $k<0$;
$\bullet$ Quando $C\not\equiv A$, temos $k=0$.

Podemos ainda encontrar a abscissa de $C$ em função de $k$ e das abscissas de $A$ e $B$. Para isso isolamos $x_a$ na relação $(2)$:
\begin{equation}
\begin{matrix}
k=\frac{x_c-x_a}{x_b-x_c}\\
k(x_b-x_c)=x_c-x_a\\
kx_b-kx_c=x_c-x_a\\
x_c+kx_x=x_a+kx_b\\
x_c(1+k)=x_a+kx_b\\
x_c=\frac{x_a+kx_b}{1+k},\: \forall k\neq -1
\end{matrix}
\end{equation}
Analogamente, podemos encontrar a ordenada de $C$ em função de $k$ e das ordenadas de $A$e $B$, obtendo:
\begin{equation}
y_c=\frac{y_a+ky_b}{1+k}, \: \forall k\neq -1
\end{equation}

Exemplo $1$: Dados os pontos $A(-3,1)$ e $B(3,-5)$, determinar o ponto $C$ que divide o segmento $\overline{AB}$nas razões: $a)$ $k=2$ e $b)$ $k=-1/3$.

Resolução:

$a)$ Como conhecemos as coordenadas de $A$ e $B$ e o valor de $k$, basta substituirmos esses valores nas fórmulas $(7)$ e $(8)$:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x_c &=&\frac{x_a+kx_b}{1+k}&=&\frac{-3+2\cdot 3}{1+2}&=&1 \\
\:\\
y_c &=&\frac{y_a+ky_b}{1+k}&=&\frac{1+2(-5)}{1+2}&=&-3
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Portanto, o ponto procurado é $C(1,-3)$.

$b)$ Como conhecemos as coordenadas de $A$ e $B$ e o valor de $k$, basta substituirmos esses valores nas fórmulas $(7)$ e $(8)$:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x_{c'} &=&\frac{x_a+kx_b}{1+k}&=&\frac{-3+(-1/3)\cdot 3}{1+(-1/3)}&=&-6 \\
\:\\
y_{c'} &=&\frac{y_a+ky_b}{1+k}&=&\frac{1+(-1/3)(-5)}{1+(-1/3)}&=&4
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Portanto, o ponto procurado é $C'(-6,4)$.

Exemplo $2$: Dados os pontos $A(1,2)$ e $C(2,6)$ sobre uma reta $r$, determinar as coordenadas do ponto $B$ sobre a reta $r$, tal que $\overline{AB}=2 \overline{BC}$.

Resolução:
\begin{matrix}
x_b-x_a=2(x_c-x_b)\\
x_b-x_a=2x_c-2x_b\\
3x_b=2x_c+x_a\\
3x_b=2\cdot 2+1\\
3x_b=5\\
x_b=\frac{5}{3}
\end{matrix}

Analogamente, encontramos a coordenada $y_b$:
\begin{matrix}
y_b-y_a=2(y_c-y_b)\\
y_b-y_a=2y_c-2y_b\\
3y_b=2x_c+y_a\\
3y_b=2\cdot 6+2\\
3y_b=14\\
y_b=\frac{14}{3}
\end{matrix}
Portanto, o ponto procurado é $\displaystyle B\left(\frac{5}{3}, \frac{14}{3}\right)$.

Referências:

[1] Matemática - Facchini

Veja mais:


➊ Distância de um Ponto a uma Reta 
➋ Distância Entre Dois Pontos no Plano
➌ Teorema da Base Média de um Triângulo
 

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30/08/2014

Como Construir uma Espiral Pitagórica

A Espiral Pitagórica é construída com triângulos retângulos cujas medidas dos lados são expressas por números inteiros.

Veremos neste post sua construção, assim como o desenvolvimento das fórmulas que geram os lados dos triângulos.


A Espiral Pitagórica é construída utilizando triângulos retângulos, onde a hipotenusa do primeiro triângulo retângulo é o menor cateto do segundo; e a hipotenusa do segundo triângulo retângulo é o menor cateto do terceiro; e assim por diante. Faz-se necessário encontrarmos um algoritmo que nos dê as medidas desses triângulos para que possamos sem dificuldades, construir a espiral.

Dentre as formas analisadas para a construção, podemos encontrar $4$ possibilidades que nos levam a quatro teoremas que nos dão as fórmulas para calcularmos os lados dos triângulos retângulos que compõem a Espiral Pitagórica.

Teorema 1: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ tem apenas uma solução se $a$ for um primo ímpar;


Demonstração:

A equação $a^2+b^2=c^2$ pode ser escrita como:
\begin{equation}
c+b=\frac{a^2}{c-b}
\end{equation}
Uma vez que $b$ e $c$ são inteiros, logo $c-b$ tem que dividir $a^2$ sem deixar resto. Logo, $c-b$ são os divisores positivos de $a^2$. Se $a^2$ é o quadrado de um primo ímpar, os divisores de $a^2$ são: $a^2$, $a$ e $1$. Substituindo estes divisores na relação $(1)$, obtemos os seguintes sistemas lineares:
\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&a^2\\
c & +&b & =&1
\end{matrix}\right.
\qquad
S_2:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&a\\
c & +&b & =&a
\end{matrix}\right.
\qquad
S_3:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&1\\
c & +&b & =&a^2
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Dos três sistemas de equação acima, apenas a solução $S_3$ é compatível. Resolvendo o sistema, obtemos:
\begin{equation}
c=\frac{a^2+1}{2} \qquad \text{,}\qquad b=c-1
\end{equation}

Exemplos:

$1)$ Se $a=3$, $\displaystyle c=\frac{3^2+1}{2}=5$ e $b=c-1=5-1=4$

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(3,4,5)$.

$2)$ Se $a=5$, $\displaystyle c=\frac{5^2+1}{2}=13$ e $b=13-1=12$.

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(5,12,13)$.

$3)$ Se $a=13$, $\displaystyle c=\frac{13^2+1}{2}=85$ e $b=85-1=84$.

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(13,84,85)$.

 Como $c=85$ é um ímpar composto, o teorema $1$ falha e este caso será analisado no teorema $4$.


Teorema $2$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ tem apenas uma solução se $a$ for um par da forma $2p$, onde $p$ é um primo ímpar;

Demonstração:

Substituindo $a$ por $2p$ na equação $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
c+b=\frac{4p^2}{c-b}
\end{equation}
Como $c$ e $b$ são inteiros, $c-b$ tem que dividir $4p^2$ sem deixar resto; logo, $c-b$ são os divisores positivos de $4p^2$ menores que $4p$. Os divisores pares de $4p^2$ menores que $4p$ são: $2$ e $4$. Substituindo $2$ e $4$ por $c-b$ em $\displaystyle c+b=\frac{4p^2}{c-b}$, obtemos os seguintes sistemas lineares:

\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&2\\
c & +&b & =&2p^2
\end{matrix}\right.
\qquad
S_2:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&4\\
c & +&b & =&p^2
\end{matrix}\right.
\end{equation}


Já que $c$ é inteiro, dos sistemas de equações acima somente $S_1$ é compatível. Resolvendo $S_1$, obtemos:
\begin{equation}
c=p^2+1
\end{equation}
Como $a=2p$, logo $\displaystyle p=\frac{a}{2}$. Substituindo $p$ por $\displaystyle \frac{a}{2}$ na relação $(6)$, obtemos que:
\begin{equation}
c=\frac{a^2}{4}+1 \qquad \text{,} \qquad b=c-2
\end{equation}

Exemplos:

$4)$ Se $a=2p=2\cdot 3=6$, $\displaystyle c=\frac{6^2}{4}+1=10$ e $b=10-2=8$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(6,8,10)$.

$5)$ Se $a=2p=2\cdot 5=10$, $\displaystyle c=\frac{10^2}{4}+1=26$ e $b=26-2=24$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(10, 24, 26)$.

$6)$ Se $a=2p=2\cdot13=26$, $\displaystyle c=\frac{26^2}{4}+1=170$ e $b=170-2=168$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(26, 168, 170)$.

Como $c=170$ não é um par da forma $2p$, o teorema $2$ falha e este caso será analisado no teorema $3$.

Teorema $3$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$, possui um número de soluções inteiras igual ao número de divisores pares $(k)$ de $a^2$ menores que $a$ tal que $a^2$ divida $2k$ sem deixar resto, se $a$ for um par diferente de $2p$.

Demonstração:

Seja $c-b=k$ os divisores de $a^2$. Substituindo $c-b$ por $k$ na equação $(1)$, obtemos o seguinte sistema de equações:
\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&k\\
c & +&b & =&\frac{a^2}{k}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos a seguinte solução:
\begin{equation}
2c=k+\frac{a^2}{k}\qquad \text{ou}\qquad c=\frac{a^2+k^2}{2k}
\end{equation}
Como $c-b=k$, logo $b=c-k$. Como $2c$ e $k$ são sempre pares, a fim de que $c$ seja inteiro, $\displaystyle \frac{a^2}{k}$ tem que ser par. Como $2k$ e $a^2$ são pares, e além disso, $k$ são os divisores de $a^2$, se incluirmos os divisores ímpares de $a^2$, a soma $a^2+k^2$ vai ser ímpar, e, consequentemente, $a^2+k^2$ dividido por $2k$ vai ser fracionário. Foi por isso que consideramos somente os divisores pares de $a^2$.

Se $k=a$, então $\displaystyle c=\frac{a^2+a^2}{2a}=a$. Como $b=c-k$, então $b=a-a=0$. Logo, os divisores pares de $a^2$ devem ser menores que $a$.

Portanto, se $a$ for par diferente de $2p$, o número de soluções em inteiros é igual ao número de divisores pares de $a^2$ menores que $a$, que divide $\displaystyle \frac{a^2}{2k}$.

Exemplos:

$7)$ Os divisores pares de $170^2$ menores que $170$ são: $k=2$, $4$, $10$, $20$, $34$, $50$ e $68$.

Para $a=170$ e $k=2$, temos:$\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 1}=7225$;

Para $a=170$ e $k=4$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 4}=3612,5$;

Para $a=170$ e $k=10$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 10}=1445$;

Para $a=170$ e $k=20$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2 \cdot 20}=722,5$;

Para $a=170$ e $k=34$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 34}=425$;

Para $=170$ e $k=50$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 50}=289$;

Para $a=170$ e $k=64$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 64}=212,5$.

Como para $k=4$, $k=20$ e $k=68$, $\displaystyle \frac{a^2}{2k}$ não é inteiro, logo, só existem quatro ternos pitagóricos com $a=170$, os quais são:

$(170, 7224, 7226)$, $(170, 1440, 1450)$, $(170, 408, 442)$ e $(170, 264, 314)$.

Vamos escolher a hipotenusa com menor valor como cateto menor do próximo triângulo pitagórico. Escolhemos a hipotenusa com menor valor para evitar que não trabalhemos com números muito grandes para hipotenusas.

Os divisores pares de $314^2 < 314$ são $k=2$ e $k=4$.

Para $a=314$ e $k=2$, temos: $\displaystyle \frac{314^2}{2\cdot 2}=24649$;

Para $a=314$ e $k=4$, temos: $\displaystyle \frac{314^2}{2\cdot 4}=12324,5$.

Só existe um terno pitagórico com $a=314$. Para $a=314$ e $k=2$, o terno pitagórico é:
\begin{equation*}
c=\frac{314^2+2^2}{2\cdot 2}=24650 \qquad \text{e} \qquad b=24650-2-25648
\end{equation*}
O triângulo pitagórico é $(a,b,c)=(314, 24648, 24650)$.

Como o valor da hipotenusa $(24650)$ é muito grande, paremos por aqui.

Teorema $4$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ possui um número de soluções igual ao número de divisores de $k$ de $a^2$ menores que $a$.

Demonstração:

Pelo Teorema $3$, já que um número ímpar composto tem apenas divisores ímpares, então se $a$ for ímpar, o número de soluções inteiras é igual ao número de divisores de $a^2$ menores que $a$.

Exemplos:

$8)$ Os divisores de $85^2<85$ são: $k=1$, $k=5$, $k=17$ e $k=25$.

Para $k=1$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+1^1}{2\cdot 1}=3613 \qquad \text{e} \qquad b=3613-1=3612
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 3612,3613)$.

Para $k=5$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+5^2}{2\cdot 5}=725 \qquad \text{e} \qquad b=725-5=720
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 720,725)$.

Para $k=17$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+17^2}{2\cdot 17}=221 \qquad \text{2} \qquad b=221-17=204
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 204, 221)$.

Para $k=25$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+25^2}{2\cdot 25}=157 \qquad \text{e} \qquad b=157-25=132
\end{equation*}
O triângulo pitagórico $(a,b,c)=(85, 132, 157)$.

Já que na espiral pitagórica, a partir do segundo triângulo pitagórico, o cateto menor é sempre a hipotenusa do triângulo anterior, das quatro hipotenusas $(3613, 725, 221, 157)$, vamos escolher a hipotenusa com menor valor como cateto menor do próximo triângulo pitagórico. Escolhemos a hipotenusa com menor valor para evitar que trabalhemos com números muito grandes para a hipotenusa.

O divisor de $157^2 < 157$ é: $k=1$

Para $k=1$:
\begin{equation*}
c=\frac{157^2+1^2}{2\cdot 1}=12325 \qquad \text{e} \qquad b=12325-1=12324
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(157, 12324, 12325)$.

Os divisores de $12325^2 < 12325$ são:
$k=1, 5, 17, 25, 29, 85, 125, 289, 425, 493, 625, 725, 841, 1445, 2125, 2465, 3625, 7225 \: \text{e}\: 10625$.

Quanto maior o valor de $k$, menor será a medida da hipotenusa. Para evitar cálculos desnecessário, tomemos o maior valor de $k$:

Para $k=10625$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+10625^2}{2\cdot 10625}=12461 \qquad \text{e} \qquad b=12461-10625=1836
\end{equation*}
O terno pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 1836, 12461)$. Como $b<a$, logo $(12325,1836,12461)$ é um terno pitagórico, mas não são medidas de um triângulo pitagórico.

Como para $k=10625$ não é compatível com as medidas de um triângulo pitagórico, então vamos escolher $k=7225$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+7225^2}{2\cdot 7225}=14125 \qquad \text{e} \qquad b=14125-7225=6900
\end{equation*}
O terno pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 6900, 14125)$. Como $b<a$, logo $(12325, 6900, 14125)$ é um terno pitagórico, mas não são medidas de um triângulo pitagórico.

Como para $k=7225$ não é compatível com as medidas de um triângulo pitagórico, então vamos escolher $k=3625$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+3625^2}{2\cdot 3625}=22765 \qquad \text{e} \qquad b=22765-3625=19140
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 19140, 22765)$. 

Como o valor da hipotenusa $(22765)$ é muito grande, paramos por aqui.

Com posse dos valores encontrados nos exemplos dos teoremas $1$ a $4$ acima, podemos construir duas espirais distintas:

A primeira espiral será construída com triângulos pitagóricos, cujas hipotenusas são número ímpares, encontradas nos Teoremas $1$ e $4$:
\begin{equation*}
(3,4,5),(5,12,13),(13,84,85),(85,132,157),(157,12324,12325),(12325,19140,22765)
\end{equation*}

[Espiral Pitagórica Ímpar]

A segunda espiral será construída com triângulos pitagóricos, cujas hipotenusas são pares, encontradas nos Teoremas $2$ e $3$:
\begin{equation*}
(6,8,10), (10,24,26), (26,168,170), (170, 264, 314), (314, 24648, 24650)
\end{equation*}

[Espiral Pitagórica Par]

Como as medidas dos lados dos triângulos retângulos crescem rapidamente, fica difícil fazer uma espiral como vários triângulos. Portanto, os desenhos acima servem apenas para ilustrar a formação da espiral. Numericamente, podemos observar que a espiral pitagórica par cresce mais rápido que a espiral ímpar.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.

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09/08/2014

A Notação Sigma Para Somas

A definição formal de integral definida envolve a soma de uma quantidade muito grande de termos, tornando-se necessária uma notação especial.

No simbolismo matemático usamos a letra grega maiúscula Sigma, representada pelo glifo $\displaystyle \Sigma$, correspondente à letra latina $S$, e é chamada de Notação Sigma. Não por acaso é a primeira letra da palavra soma, que ajuda a lembrar o propósito da notação sigma, designando a ideia de somatório ou adição.

Quando usamos o símbolo $\displaystyle \sum$, queremos representar a soma de todos os termos que obedecem a uma forma geral. Assim:
\begin{equation*}
\sum _{k=m}^n a_k=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_n
\end{equation*}
Lê-se: A soma de $a_k$, com $k$ assumindo valores que variam de $m$ a $n$.

A variável $k$ é o índice do somatório e designa uma valor inicial chamado limite inferior igual a $m$, assumindo valores inteiros até alcançar o limite superior igual a $n$.

Não necessariamente o índice é representado pela letra $k$. Podemos usar as letras $i$, $j$, $k$, ou outra qualquer dependendo da necessidade, servindo ao mesmo propósito. Então:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N a_k = \sum_{i=1}^N a_i = \sum_{j=1}^N a_j
\end{equation*}
Se quisermos somar os números naturais de $2$ a $6$, por exemplo, escrevemos na notação de somatório:
\begin{equation*}
\sum_{k=2}^6 k = 2+3+4+5+6
\end{equation*}
Vejamos outros exemplos específicos na notação sigma:

Exemplo $1$:

\begin{aligned}
\sum_{k=1}^5 k^2& = 1^2 + 2^2 +3^2+4^2+5^2\\
&=1+4+9+16+25\\
&=55
\end{aligned}
Esta é a soma dos quadrados dos cinco primeiros números naturais.

Exemplo $2$:

\begin{aligned}
\sum_{k=1}^4 2^k &=2^1+2^2+2^3+2^4\\
&=2+4+8+16\\
&=30
\end{aligned}
Esta é a soma das quatro primeiras potências de $2$.

Exemplo $3$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N 2k =2+4+6+\cdots+2N
\end{aligned}
Esta é a soma dos $N$ primeiros números pares.

Exemplo $4$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N (2k-1)=1+3+5+\cdots+(2N-1)
\end{aligned}
Esta é a soma dos $N$ primeiros números ímpares.

Exemplo $5$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N (3^k-3^{k-1})&=(3^1-3^0)+(3^2-3^1)+\cdots+(3^N-3^{N-1})
\end{aligned}
Aqui fazemos uma pequena manipulação:

\begin{aligned}
&=-3^0+(3^1-3^1)+(3^2-3^2)+\cdots +(3^{N-1}-3^{N-1})+3^N\\
&=3^N-3^0=3^N-1
\end{aligned}


Exemplo $6$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N k &=1+2+3+\cdots+N\\
&= \frac{N(N+1)}{2}
\end{aligned}
Esta é a fórmula para a soma dos $N$ termos de uma $P.A.$ finita.

Podemos ainda fazer o processo inverso: dada uma sequência, vamos encontrar a notação sigma:

Exemplo $7$:
\begin{aligned}
3+9+27+81 = 3^1+3^2+3^3+3^4= \sum_{k=1}^4 3^k
\end{aligned}


Exemplo $8$:
\begin{aligned}
&5+9+13+17+21+15\\
&= 5+(5+4)+(5+8)+(5+12)+(5+16)+(5+20)\\
&= 5+(5+4)+(5+4\cdot 2)+(5+4\cdot 3)+(5+4\cdot 4)+(5+4\cdot 5)\\
&= \sum_{k=0}^5 (5+4k)
\end{aligned}
A Notação Sigma é essencialmente útil para indicar a soma dos termos de uma sequência numérica. Normalmente, quando trabalhamos com sequências, é conveniente começar com um termo de ordem zero: $a_0$. Assim, o segundo termos é $a_1$, o terceiro é $a_2$, e assim por diante. Podemos escrevê-la como $a_0, a_1, a_2, \cdots $. Assim, o k-ésimo termo da sequência é $a_k$ e a soma dos $N$ termos pode ser escrita como:
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N a_k=a_0+a_1+a_2+\cdots + a_N
\end{equation*}
Se quisermos somar apenas o terceiro, o quarto e o quinto termos, escrevemos:
\begin{equation*}
\sum_{k=2}^4 a_k=a_2+a_3+a_4
\end{equation*}

Propriedades Básicas dos Somatórios

Algumas propriedades básicas dos somat´rios podem ser estabelecidas. Consideremos que $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_N$ e $b_0, b_1, b_2, \cdots , b_N$, representam sequências de números e seja $A, B,C$ números constantes.

$P1)$ Propriedade da Constante
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N C= NC
\end{equation*}

$P2)$ Propriedade da Homogenidade
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N Ca_k = C\sum_{k=1}^N a_k
\end{equation*}

$P3)$ Propriedade Aditiva
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(a_k+b_k\right)=\sum_{k=1}^N a_k + \sum_{k=1}^N b_k
\end{equation*}

$P4)$ Propriedade Linear
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(Aa_k + Bb_k\right) = A\sum_{k=1}^N a_k + B\sum_{k=1}^N b_k
\end{equation*}

$P5)$ Desigualdade Triangular Generalizada
\begin{equation*}
\left| \sum_{k=1}^N a_k \right|  \leq \sum_{k=1}^N \left| a_k \right|
\end{equation*}

$P6)$ Propriedade Telescópica
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(b_k - b_{k-1}\right) = b_N - b_0
\end{equation*}

$P7)$ Soma de uma Sequência Aritmética
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N \left(A+Ck\right) = \left(N+1\right)\left(A+\frac{NC}{2}\right)
\end{equation*}

$P8)$ Soma de uma Sequência Geométrica
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N AC^k = A\left(\frac{1-C^{N+1}}{1-C}\right), \qquad C\neq 1
\end{equation*}

$P9)$ Soma dos Inteiros Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k = \frac{N(N+1)}{2}
\end{equation*}

$P10)$ Soma dos Quadrados Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}
\end{equation*}

$P11)$ Soma dos Cubos Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^3 = \frac{N^2(N+1)^2}{4}
\end{equation*}

Exemplos usando as propriedades básicas dos somatórios:

Exemplo $9$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{20} \left(2k^2-3k+1\right)
\end{aligned}
Usamos a propriedade $P4)$:
\begin{equation*}
= \sum_{k=1}^{20} 2k^2+\sum_{k=1}^{20}(-3k)+\sum_{k=1}^{20} 1
\end{equation*}
Agora, usamos as propriedades $P1)$ e $P1)$:
\begin{equation*}
2\sum_{k=1}^{20} -3\sum_{k=1}^{20}k + 20
\end{equation*}
Agora usamos a propriedade $P10)$ no primeiro somatório e a $P9)$ no segundo:
\begin{matrix}
=\frac{2(20)(21)(41)}{6}-\frac{3(20)(21)}{2}+20\\
=5740-630+20\\
=5130
\end{matrix}

Exemplo $10$:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^2(5k+1)
\end{equation*}
\begin{matrix}

=\sum_{k=1}^N5k^3+\sum_{k=1}^N k^2\\
=5\left(\frac{N^2(N+1)^2}{4}\right) + \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
= \frac{5N^2(N+1)^2}{4} + \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
=N(N+1)\left(\frac{5N(N+1)}{4}+\frac{(2N+1}{6}\right)\\
=N(N+1)\left(\frac{15N(N+1)+2(2N+1)}{12}\right)\\
=\frac{N(N+1)(15N^2+15N)+2N+2}{12}\\
=\frac{(N^2+N)(15N^2+15N)+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^4+15N^3+15N^3+15N^2+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^4+30N^3+15N^2+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^2(N^2+2N+1)+2(N+1)}{12}
\end{matrix}
Exemplo $11$:
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N \frac{1}{2^k}
\end{equation*}
Usando a propriedade $P8)$:
\begin{equation*}
=\sum_{k=0}^N \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{N+1}}{1-\frac{1}{2}} = 2-\frac{1}{2^N}
\end{equation*}

Exemplo $12$: Encontre a soma dos $100$ primeiros inteiros ímpares.

Pela propriedade $P7)$, fazemos $A=1$, $C=2$, $N=99$:
\begin{matrix}
\sum_{k=0}^{99} (1+2k)=1+3+5+\cdots +199\\
=100\left(1+\frac{99(2)}{2}\right)\\
=10.000
\end{matrix}

A Área sob uma Parábola

Este é um bom exemplo para aplicarmos a notação sigma. Calculemos a área $A$ sob a parábola $y=x^2$ entre $x=0$ e $x=1$.

Usando o conceito de integral definida, obtemos:
\begin{equation*}
A=\int_0^1 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3} u.a.
\end{equation*}
Agora, usemos a notação sigma. Considere a figura abaixo:
O intervalo $[0,1]$ foi subdividido em sub intervalos iguais:\begin{equation*}
\left[0,\frac{1}{N}\right] ,\left[\frac{1}{N},\frac{2}{N}\right] , \left[\frac{2}{N},\frac{3}{N}\right],\cdots ,\left[\frac{N-1}{N},\frac{N}{N}\right]
\end{equation*}
Vejam que o k-ésimo intervalo é:
\begin{equation*}
\left[\frac{k-1}{N},\frac{k}{N}\right]
\end{equation*}
Em cada subintervalo, podemos formar um retângulo circunscrito à curva, cuja altura do k-ésimo retângulo é $\displaystyle \left(\frac{k}{N}\right)^2$ e sua área é $\displaystyle \frac{1}{N}\cdot \left(\frac{k}{N}\right)^2$.

Podemos obter uma estimativa para a área $A$ somando as áreas dos $N$ retângulos circunscritos:
\begin{equation*}
A\approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2
\end{equation*}
E pela fórmula para a soma dos quadrados sucessivos:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2 = \sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{N^3}\right)k^2 = \left(\frac{1}{N}\right)^3 \sum_{k=1}^N k^2 = \frac{1}{N^3} \left( \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\right) = \frac{(N+1)(2N+1)}{6N^2}
\end{equation*}
Aplicando a distributiva no numerador, segue que:
\begin{equation*}
A\approx \frac{1}{3}+\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Como os retângulos são circunscritos à curva e somente aproximam a área, então:
\begin{equation*}
A \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{2N} + \frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Utilizemos agora, retângulos inscritos à mesma curva no mesmo intervalo, com os mesmos $N$ subintervalos:

Notamos que a altura do k-ésimo retângulo inscrito é $\displaystyle \left(\frac{k-1}{N}\right)^2$ e sua área é $\displaystyle \frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2$.

Novamente podemos obter uma estimativa para a área $A$, somando asáreas dos $N$ retângulos inscritos:
\begin{matrix}
A\approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2\\
=\frac{1}{N^3}\sum_{k=1}^N (k^2-2k+2)\\
=\frac{1}{N^3}\left(\sum_{k=1}^N k^2-2\sum_{k=1}^Nk+\sum_{k=1}^N\right)\\
=\frac{1}{N^3}\left(\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}-\frac{2N(N+1)}{2}+N\right)\\
=\frac{2N^2-3N+1}{6N^2}
\end{matrix}
Então, a área vale aproximadamente:
\begin{equation*}
A\approx \frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Como os retângulos são inscritos à curva e somente aproxima a área, então:
\begin{equation*}
A\geq \frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Deste modo, a área $A$ sob a curva, tem que estar entre as duas estimativas encontradas, de modo que:
\begin{matrix}
\frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}\leq A \leq \frac{1}{3}+\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}\\
\sum_{k=1}^N\frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2 \leq A \leq \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2
\end{matrix}
À medida que $N$ aumenta, ambas as estimativas se aproximam de um valor, tendo $1/3$ como limite. Como a área $A$ está entre as duas estimativas, podemos nos aproximar o quanto desejarmos do valor limite $1/3$, tomando cada vez mais subintervalos. Quando o número de subintervalos tende ao infinito, a área $A$ sob a curva $f(x)=x^2$, no intervalo $[0,1]$ tende a ser igual a $1/3$.

Exercícios: Desenvolva os somatórios

\begin{aligned}
&a) \: \sum_{k=1}^6 (2k+1)\\
&b) \: \sum_{k=3}^7 \frac{k}{k-2}\\
&c) \: \sum_{k=-1}^3 3^k\\
&d) \: \sum_{k=1}^{50}(2k+3)\\
&e) \: \sum_{k=1}^N k(k+1)\\
&f) \: \sum_{k=6}^{100}k^2\\
&g) \: \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}
\end{aligned}

Referências:

$[1]$ Cálculo V1 - Munem-Foulis
$[2]$ Cálculo com Geometria Anaçítica V1 - Simmons


Veja mais: 

A Soma de Gauss
O Cálculo Integral: O Cálculo das Áreas
A Notação Sigma para Somatórios no blog Fatos Matemáticos

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30/07/2014

A Equação do Número Prateado

Neste post veremos como encontrar a equação do número de prata, utilizando para isso proporções no retângulo prateado.

Definição $1$: O número prateado ou número de prata, ou ainda razão prateada, é uma constante irracional simbolizada por $\delta_S$ e numericamente vale:
\begin{equation}
\delta_S=1+\sqrt{2}
\end{equation}
Definição $2$: Um retângulo prateado é aquele cuja razão entre dois de seus lados adjacentes seja igual ao número prateado. Assim, tomando um retângulo de lados iguais a $AB$ e $AD$, a razão:
\begin{equation}
\frac{AB}{AD}=\delta_S=1+\sqrt{2}
\end{equation}
Partindo da construção geométrica do retângulo prateado, podemos deduzir a equação do número prateado. Considere o retângulo da figura acima. Pela definição de retângulo prateado, temos que a razão de prata é dada por:
\begin{equation}
\delta_S=\frac{AB}{AD}
\end{equation}
Usando semelhança de trângulos entre os retângulos $ABCD$ e $EBCF$, podemos deduzir que:
\begin{equation}
\frac{AD}{AB}=\frac{BE}{BC}
\end{equation}
No entanto, $BE=AB-2AD$, já que $AE=2AD$, e também $BC=AD$. Assim, podemos fazer estas substituições em $(4)$, obtendo:
\begin{equation}
\frac{AD}{AB}=\frac{AB-2AD}{AD}
\end{equation}
Mas, pela relação $(3)$, temos que $\delta_S=AB/AD$, e seu inverso será $\displaystyle \frac{1}{\delta_S}=\frac{AD}{AB}$. Assim:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\frac{1}{\delta_S}=\frac{AB-2AD}{AD}\\
\frac{1}{\delta_S}=\frac{AB}{AD}-\frac{2AD}{AD}\\
\frac{1}{\delta_S}=\delta_S-2
\end{matrix}
\end{equation}
Multiplicando ambos os lados da equação por $\delta_S$ para eliminar o denominador:
\begin{equation}
1=\delta_S^2-2\delta_S
\end{equation}
E assim obtemos:
\begin{equation}
\delta_S^2-2\delta_S-1=0
\end{equation}
A equação obtida em $(8)$ é a equação do Número prateado. Podemos resolver esta equação utilizando a fórmula para a equação de segundo grau:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\delta_S=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}\\
\delta_{S_1}=1+\sqrt{2}\\
\delta_{S_2}=1-\sqrt{2}
\end{matrix}
\end{equation}
Tomamos então a raiz positiva: $\delta_S=1+\sqrt{2}$ como solução da equação, encontrando o número prateado.

Veja mais: 

O Número Prateado
O Retângulo Prateado
O Número Prateado na Trigonometria
O Número Prateado e a Área do Octógono Regular
Algumas Propriedades do Número Prateado no blog Fatos Matemáticos

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26/07/2014

Resolução da Integral $\int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx$

Integrais por frações parciais às vezes podem ser complicadas de serem resolvidas. Às vezes é mais complicado encontrar as frações parciais equivalente ao integrando do que resolver as integrais obtidas após este processo. Este é um exemplo interessante porque além de trabalharmos com métodos de integração, utilizamos o método de eliminação de Gauss na resolução do sistema linear que geram as frações parciais. Veremos passo a passo cada etapa desta resolução.

Seja a integral:
\begin{equation}
\int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx=I
\end{equation}
Sugiro a leitura do artigo sobre o método de integração por frações parciais. Primeiramente, fatoramos o denominador do integrando:
\begin{equation}
I = \int \frac{1}{(x^2-1)(x^2-1)}dx = \int \frac{1}{(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)}dx
\end{equation}
Como há fatores lineares no denominador e eles se repetem, este é o segundo caso do método para denominadores lineares. Vejam o o artigo aqui. O integrando deve ser:
\begin{equation}
\frac{1}{(x+1)^2(x-1)^2}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x-1)}+\frac{D}{(x-1)^2}
\end{equation}
 Eliminando o denominador, obtemos:
\begin{equation*}
1=A(x+1)(x-1)^2+B(x-1)^2+C(x-1)(x+1)^2+D(x+1)^2
\end{equation*}
Aplicando a distributiva:
\begin{equation*}
1=Ax^3-Ax^2-Ax+A+Bx^2-2Bx+B+Cx^3+Cx^2-Cx-C+Dx^2+2Dx+D
\end{equation*}
Fatorando as potências:
\begin{equation*}
1=x^3(A+C)+x^2(-A+B+C+D)+x(-A-2B-C+2D+A+B-C+D
\end{equation*}
Agora, igualamos os coeficientes dos dois membros da relação, obtendo o sistema linear:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
-A & -2B & -C &+2D &=0 \\
A & +B & -C & +D &=1\\
A &  & +C & &=0
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para resolver este sistema, utilizaremos o Método de Eliminação de Gauss (escalonamento), deixando o sistema triangular superior. Para eliminar o termo que contém $A$ da segunda equação, somamo-a à primeira equação multiplicada por $-1$; Para eliminar o termo que contém $A$ da terceira equação, basta somarmos com a primeira equação; E o mesmo ocorre com a quarta equação. Então obtemos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
 & -3B & -2C & +D &=0 \\
 & +2B &  & +2D &=1\\
 & B & +2C & D&=0
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para facilitar o escalonamento, utilizaremos as propriedades, trocando a quarta pela segunda equação, e a segunda pela terceira equação:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
 & B & +2C & D&=0\\
 & -3B & -2C & +D &=0 \\
 & +2B &  & +2D &=1\\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para eliminarmos o termo que contém $B$ da terceira e quarta equações, somamos a terceira equação com a segunda multiplicada por $3$; e somamos a quarta equação com a segunda multiplicada por $-2$. Obtemos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
 & B & +2C & D&=0\\
 &  & 4C & +4D &=0 \\
 &  & -4C &  &=1\\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Temos imediatamente que $C=-1/4$. Substituindo $C$ na terceira equação, obtemos $D=1/4$. Substituindo $C$ e $D$ na segunda equação, obtemos $B=1/4$. Finalmente, substituindo $B$, $C$ e $D$ na primeira equação, obtemos $A=1/4$. Agora já temos condições de substituir estes valores nas frações parciais :
\begin{equation}
I=\int \left( \frac{1}{4(x+1)}+\frac{1}{4(x+1)^2}-\frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{4(x-1)^2}\right) dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I=\frac{1}{4}\int\frac{dx}{(x+1)}+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x+1)^2}-\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x-1)}+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x-1)^2}
\end{equation}
Para resolvermos cada uma das quatro integrais acima, utilizaremos o Método da Substituição. Fazemos:

$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x+1)}$, fazemos $u=x+1$ e $du=dx$;
$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x+1)^2}$, fazemos $v=x+1$ e $dv=dx$;
$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x-1)}$, fazemos $p=x-1$ e $dp=dx$;
$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x-1)^2}$, fazemos $w=x-1$ e $dw=dx$.

Substituindo em cada integral de  $(9)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{4}\int \frac{du}{u}+\frac{1}{4}\int \frac{dv}{v^2}-\frac{1}{4}\int \frac{dp}{p}+\frac{1}{4}\int \frac{dw}{x^2}\\
I=\frac{1}{4}\ln (u)-\frac{1}{4v}-\frac{1}{4}\ln(p) - \frac{1}{4w}+C\\
I=\frac{1}{4}\left[\ln(u)-\ln(p)-\frac{1}{v}-\frac{1}{w}\right]+C
\end{matrix}
\end{equation}
Substituindo $u$, $v$, $p$ e $w$:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{4}\left[\ln(x+1)-\ln(x-1)-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}\right]+C\\
I=\frac{1}{4}\left[\ln(x+1)-\ln(x-1)-\frac{(x-1)-(x+1)}{(x^2-1)}\right]+C\\
I=\frac{1}{4}\left[\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)-\frac{2x}{(x^2-1)}\right]+C
\end{matrix}
\end{equation}

Veja mais

Integral por Substituição
Integral por Frações Parciais - Fatores Lineares
Integral por Frações Parciais - Fatores Quadráticos

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09/07/2014

Integral de $\displaystyle \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx$

Às vezes surgem dúvidas de leitores que valem um post. A resolução desta integral é interessante e usa o método de substituição trigonométrica.

Seja a integral:
\begin{equation*}
\int \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx = I
\end{equation*}
Vejam o artigo sobre o método da substituição trigonométrica para resolução de certas integrais. Com o auxílio visual, analisemos o triângulo retângulo da figura acima.

Temos que $\displaystyle \text{sen}(\theta) = \frac{x}{4} \Rightarrow x=4 \text{sen}(\theta)$ e então $dx=4\cos (\theta) d \theta$. E ainda temos que $\displaystyle \sqrt{16-x^2} = 4 \cos (\theta)$.

Assim, a integral fica:
\begin{matrix}
I = \frac{1}{4} \int \frac{4\cos (\theta)}{16 \text{sen}^2 (\theta)}\cdot 4\cos (\theta) d \theta\\
I= \frac{1}{4} \int \frac{16 \cos^2 (\theta)}{16 \text{sen}^2 (\theta)}d \theta\\
I= \frac{1}{4} \int \text{cotg}^2 (\theta) d \theta
\end{matrix}
Da identidade trigonométrica $1+\text{cotg}^2(x)=\text{cossec}^2(x)$, temos que:
\begin{equation*}
I=\frac{1}{4} \int \left( \text{cossec}^2 (\theta)-1 \right) d \theta
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I=\frac{1}{4} \int \text{cossec}^2 (\theta) d\theta - \frac{1}{4} \int 1 d\theta
\end{equation*}
A integral de $\text{cossec}^2 (\theta)$ é $-\text{cotg}(\theta)+C$. Assim:
\begin{equation*}
I=-\frac{1}{4} \cdot \text{cotg} (\theta) - \frac{1}{4} \cdot \theta + C = -\frac{1}{4}\left(\theta + \text{cotg}(\theta)\right) + C
\end{equation*}
Mas $\displaystyle \theta = \text{arcsen}\left(\frac{x}{4} \right)$ e $\displaystyle \text{cotg}(\theta) = \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}$. Assim:
\begin{matrix}
I=-\frac{1}{4}\left( \text{arcsen}\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}\right)+C\\
I=\int \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx=-\frac{x\ \text{arcsen}\left(\frac{x}{4}\right) + \sqrt{16-x^2}}{4x}+C
\end{matrix}

Veja mais:

Integração por Substituição Trigonométrica
Integração por Frações Parciais - Fatores Lineares
Integração por Frações Parciais - Fatores Quadráticos Irredutíveis

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