27/09/2014

Arcos de Circunferência

O bom entendimento sobre as medidas de ângulos em graus e em radianos é necessário para o estudo da circunferência trigonométrica para que possamos também trabalhar com ângulos que não sejam agudos e fazer um estudo mais geral e completo, preparando-se para o estudo das funções trigonométricas.


Introdução

Os ângulos aparecem nos registros da Grécia antiga associados ao estudo dos elementos de uma círculo, relacionados com arcos e cordas. As propriedades do ângulo central de uma circunferência eram conhecidas desde os tempo de Eudoxo (Astrônomo, matemático e filósofo grego do século $IVa.C.$), que teria usado medidas de ângulos em diversos cálculos, como a determinação das dimensões da Terra e a distância relativa entre o Sol e a Terra.

Acredita-se que os sumérios e os arcadinos $(3500a.C.)$ já sabiam medir ângulos.

Um dos primeiros astrônomos gregos a dividir o círculo em $360$ partes iguais foi Hipsicles (século $IIIa.C.$), talvez por acreditarem que a Terra leva cerca de $360$dias para completar sua translação em torno do Sol. Mas a hipótese mais provável é ter havido influência do sistema de numeração sexagesimal (base $60$), utilizado na Babilônia.

Comprimento de uma circunferência

Seja um círculo qualquer de centro $O$ e raio $r$. A borda desse círculo, ou seja, o contorno desse círculo é chamado de circunferência.

Se pudermos retificar essa circunferência, ou seja, transformá-la em um segmento de reta, este segmento teria o comprimento $C$ que seria o comprimento da própria circunferência. Veja aqui um exemplo de retificação da circunferência.

O comprimento $C$ da circunferência é dado por:
\begin{equation}
C=2\pi r
\end{equation}
onde $r$ é o raio da circunferência e $\pi$ é uma constante irracional, presente em toda circunferência e numericamente vale $3,1415$, aproximadamente. Veja aqui uma breve cronologia de $\pi$.

Medidas de arcos e ângulos

Sempre que quisermos medir alguma grandeza, usamos outra grandeza padrão como uma medida unitária e depois procuramos descobrir quantas vezes a grandeza a ser medida contém a grandeza padrão.

No caso de uma régua, existem versões com escalas em milímetros, outras em centímetros. As trenas possuem marcação de milímetros, centímetros e metros. Já o odômetro de um veículo, mede com precisão de $100$ metros.

Então, medida é a razão entre duas grandezas de mesma espécie.

Sendo assim, a medida de um arco de circunferência $\widehat{AB}$ é um número $\alpha$, não-negativo, determinado pela razão entre o arco $\widehat{AB}$ a ser medido e um arco unitário $u$ da mesma circunferência. Simbolicamente temos:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\widehat{AB}}{u}
\end{equation}

Definição $1$: Arco de circunferência

Arco de circunferência é cada uma das duas partes em que uma circunferência fica dividida por dois pontos. assim, sendo $A$ e $B$ dois de seus pontos, eles a dividem em duas partes:

 

Se os pontos coincidem, teremos arco nulo ou arco de uma volta.

Grau

Foi convencionada a divisão da circunferência em $360$ arcos congruentes. Cada um desses arcos foi chamado de arco de um grau $(1º)$. Cada arco de $1º$ foi dividido em $60$ sub-arcos congruentes e cada um desses sub-arcos recebeu o nome de minuto de grau $(1^\prime)$. E cada arco de minuto de grau foi sub-dividido em outros $60$ arcos congruentes dando origem ao arco de segundo de grau $(1^{\prime \prime}$). Um exemplo dessa notação é $30º 12^\prime 15^{\prime \prime}$.

Em problemas de nosso cotidiano, minutos e segundos de grau não são muito utilizados, mas em medições técnicas e em astronomia, seu uso é essencial. Assim:
\begin{equation}
1º = 60^\prime \Rightarrow 1^\prime = 60^{\prime \prime} \Rightarrow 1º = 3600^{\prime \prime}
\end{equation}

Definição $2$: Grau

Grau é o arco unitário equivalente a $1/360$ da circunferência que o contém:

Radiano

Seja uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ e seja $\ell$ o comprimento de um arco de circunferência com medida de ângulo central igual a $\alpha$.

Dizemos que um arco mede $1$ radiano $(1\:\text{rad})$ se o seu comprimento $\ell$ for igual ao comprimento do raio $r$. Assim, a medida do ângulo central também será de $1$ radiano.



Definição $3$: Ângulo central

Ângulo central de uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro $O$ da circunferência.



Então, para sabermos a medida de um arco ou ângulo central correspondente, em radianos, calculamos quantas vezes esse arco de comprimento $\ell$ contém a medida do raio $r$. Obtemos dividindo $\ell$ por $r$:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\ell}{r}
\end{equation}
Se $\ell$ é o arco de uma volta, então $\ell$ é o comprimento da circunferência $C=2\pi r$:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\ell}{r} = \frac{2 \pi r}{r} = 2\pi \: \text{rad}
\end{equation}
Assim, a circunferência é um arco de $2\pi \: \text{rad}$ e o ângulo central de uma volta mede $2\pi \: \text{rad}$. E como o ângulo de uma volta tem $360º$, então $2\pi \: \text{rad}$ equivale a $360º$.

Definição $4$: Radiano

Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém.


Comprimento de uma arco de circunferência

Seja uma circunferência de centro $O$ e raio $r$, cujo ângulo central de um arco de comprimento $\ell$ corresponde em radianos mede $\alpha$. Da relação $(4)$ concluímos que:
\begin{equation}
\ell = \alpha \cdot r
\end{equation}
onde $\ell$ é o comprimento do arco, $r$ é o raio e $\alpha$ é a medida do ângulo central em radianos.

Exemplos

$1)$ Uma pista circular de atletismo tem diâmetro de $50m$. Calcular a distância percorrida por um atleta após dar $6$ voltas completas nesta pista.

Resolução: Como o diâmetro é de $50m$, o raio mede $25m$ e o comprimento da pista é:
\begin{equation*}
C=2\pi r=2\pi \cdot 25=50\pi \cong 157m
\end{equation*}
Como foram $6$ voltas, basta multiplicarmos o resultado obtido por $6$. A distância percorrida foi de $157\cdot 6=942$.

$2)$ Converter as medidas de ângulos:

$a)$ $270º$ em radianos

Como $360º=2\pi \: \text{rad}$, então $180º=\pi \: \text{rad}$. Usamos este valor como referência na regade três:
\begin{matrix}
\pi \: \text{rad}& = & 180º\\
 x & = & 270º
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $\displaystyle x=\frac{3}{2} \pi \: \text{rad}$

$b)$ $2/3 \pi \: \text{rad}$ em graus
\begin{matrix}
\pi \: \text{rad}& = & 180º\\
 2/3 \pi \: \text{rad} & = &x
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $x=120º$

$c)$ $37º30^\prime$ em radianos

Primeiro convertemos $37º30^\prime$ em segundos de grau:
\begin{equation*}
37º30^\prime = 37 \cdot 60^\prime + 30^\prime = 2250^\prime
\end{equation*}
E agora convertemos $180º$ em minutos de grau, obtendo $10800^\prime$.

Então fazemos:
\begin{matrix}
10800^\prime& = & \pi \: \text{rad}\\
2250^\prime & = &x
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $\displaystyle x=\frac{5}{24} \pi \: \text{rad}$

$d)$ $\pi/16 \: \text{rad}$ em graus
\begin{matrix}
\pi \: \text{rad}& = & 180º\\
 \pi/16 \: \text{rad} & = &x
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $\displaystyle x=\frac{180º}{16}=11,25º$. Podemos escrever:
\begin{equation*}
x=11,25º = 11º + 0,25\cdot 60^\prime=11º15^\prime
\end{equation*}

$e)$ $1$ radiano em graus
\begin{matrix}
\pi \: \text{rad}& = & 180º\\
 1 \: \text{rad} & = &x
\end{matrix}
Resolvendo, encontramos $\displaystyle x=\frac{180º}{\pi}\cong 57,2957795º$, ou $x\cong 57º19^\prime 29^{\prime \prime}$

$3)$ As circunferências da figura abaixo são concêntricas, sendo $r_1=3\:cm$, $r_2=8\: cm$ e $\ell_2=40\: cm$. Calcular: $a)$ o ângulo $\alpha$ em radianos e $b)$ o arco $\ell_1$.



Resolução:

$a)$ $\displaystyle \alpha = \frac{\ell_2}{r_2}=\frac{40}{8}=5\: \text{rad}$

$b)$$\displaystyle \alpha = \frac{\ell_1}{r_1} \Rightarrow s_1=\alpha r_1=5\cdot 3= 15\:cm$

Referências

[1] Matemática V. Único - Facchini
[2] Matemática V. Único - Marcondes, Gentil & Sérgio
[3] Matemática V. 2 Contextos e Aplicações - Dante

Vejam mais:

➊ O Surgimento do Grau na Circunferência
➋ A Astronomia e os Astrônomos da Grécia Antiga
➌ Como Encontrar o Centro de uma Circunferência
 
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20/09/2014

Razão de Secção

Consideremos três pontos: $A(x_a,y_a)$, $B(x_b,y_b)$ e $C(x_c,y_c)$, pertencentes a uma mesma reta $r$, oblíqua aos eixos $x$ e $y$ e ainda sendo $B$ e $C$ distintos.

Definição:

A razão $k$ das medidas algébricas de $\overline{AC}$ e $\overline{CB}$ é chamada de razão de secção de $\overline{AB}$ pelo ponto $C$ e é dada por:
\begin{equation}
k=\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}},\: C \not\equiv A : \text{e} \: C\not\equiv B
\end{equation}
Dados dois pontos $A$ e $B$ em uma reta $r$, um ponto $C$ pertencente a $r$ pode dividir o segmento $\overline{AB}$ de duas formas diferentes.

$1º)$ O ponto $C$ está entre os pontos $A$ e $B$.



[figura 1]

Analisando a figura acima e aplicando o Teorema de Tales, obtemos as relações:
\begin{equation}
k=\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=\frac{x_c-x_a}{x_b-x_c}=\frac{y_c-y_a}{y_b-y_c}, \: x_b \neq x_c \: \text{e} \: y_b \neq y_c
\end{equation}
Notamos que se o ponto $C$ estiver entre$A$ e $B$, obteremos $k$ sempre positivo, pois:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
x_c>x_a \Rightarrow x_c-x_a>0\\
x_b>x_c \Rightarrow x_b-x_c>0
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow k>0
\end{equation}

$2º)$ O ponto $C$ não está entre os pontos $A$ e $B$.

Neste caso, pode ocorrer duas situações:


[Figura 2]

Apesar do ponto $C$ estar antes do ponto $A$ ou depois do ponto $B$, para estas duas possibilidades, temos:
\begin{equation}
k=\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=\frac{x_c-x_a}{x_b-x_c}=\frac{y_c-y_a}{y_b-y_c}
\end{equation}
Na primeira situação temos que:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
x_c>x_a \Rightarrow x_c-x_a>0\\
x_b<x_c \Rightarrow x_b-x_c<0
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow k<0
\end{equation}

Na segunda situação temos que:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
x_c<x_a \Rightarrow x_c-x_a<0\\
x_b>x_c \Rightarrow x_b-x_c>0
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow k<0
\end{equation}
Quando $C$ não estiver entre $A$ e $B$, obteremos $k$ sempre negativo.

Notamos que quando $C \not\equiv A$, $\overline{AC}=0$ e consequentemente $k=0$.

Resumindo:

$\bullet$ Quando $C$ está entre $A$ e $B$, temos $k>0$;
$\bullet$ Quando $C$ não está entre $A$ e $B$, temos $k<0$;
$\bullet$ Quando $C\not\equiv A$, temos $k=0$.

Podemos ainda encontrar a abscissa de $C$ em função de $k$ e das abscissas de $A$ e $B$. Para isso isolamos $x_a$ na relação $(2)$:
\begin{equation}
\begin{matrix}
k=\frac{x_c-x_a}{x_b-x_c}\\
k(x_b-x_c)=x_c-x_a\\
kx_b-kx_c=x_c-x_a\\
x_c+kx_x=x_a+kx_b\\
x_c(1+k)=x_a+kx_b\\
x_c=\frac{x_a+kx_b}{1+k},\: \forall k\neq -1
\end{matrix}
\end{equation}
Analogamente, podemos encontrar a ordenada de $C$ em função de $k$ e das ordenadas de $A$e $B$, obtendo:
\begin{equation}
y_c=\frac{y_a+ky_b}{1+k}, \: \forall k\neq -1
\end{equation}

Exemplo $1$: Dados os pontos $A(-3,1)$ e $B(3,-5)$, determinar o ponto $C$ que divide o segmento $\overline{AB}$nas razões: $a)$ $k=2$ e $b)$ $k=-1/3$.

Resolução:

$a)$ Como conhecemos as coordenadas de $A$ e $B$ e o valor de $k$, basta substituirmos esses valores nas fórmulas $(7)$ e $(8)$:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x_c &=&\frac{x_a+kx_b}{1+k}&=&\frac{-3+2\cdot 3}{1+2}&=&1 \\
\:\\
y_c &=&\frac{y_a+ky_b}{1+k}&=&\frac{1+2(-5)}{1+2}&=&-3
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Portanto, o ponto procurado é $C(1,-3)$.

$b)$ Como conhecemos as coordenadas de $A$ e $B$ e o valor de $k$, basta substituirmos esses valores nas fórmulas $(7)$ e $(8)$:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x_{c'} &=&\frac{x_a+kx_b}{1+k}&=&\frac{-3+(-1/3)\cdot 3}{1+(-1/3)}&=&-6 \\
\:\\
y_{c'} &=&\frac{y_a+ky_b}{1+k}&=&\frac{1+(-1/3)(-5)}{1+(-1/3)}&=&4
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Portanto, o ponto procurado é $C'(-6,4)$.

Exemplo $2$: Dados os pontos $A(1,2)$ e $C(2,6)$ sobre uma reta $r$, determinar as coordenadas do ponto $B$ sobre a reta $r$, tal que $\overline{AB}=2 \overline{BC}$.

Resolução:
\begin{matrix}
x_b-x_a=2(x_c-x_b)\\
x_b-x_a=2x_c-2x_b\\
3x_b=2x_c+x_a\\
3x_b=2\cdot 2+1\\
3x_b=5\\
x_b=\frac{5}{3}
\end{matrix}

Analogamente, encontramos a coordenada $y_b$:
\begin{matrix}
y_b-y_a=2(y_c-y_b)\\
y_b-y_a=2y_c-2y_b\\
3y_b=2x_c+y_a\\
3y_b=2\cdot 6+2\\
3y_b=14\\
y_b=\frac{14}{3}
\end{matrix}
Portanto, o ponto procurado é $\displaystyle B\left(\frac{5}{3}, \frac{14}{3}\right)$.

Referências:

[1] Matemática - Facchini

Veja mais:


➊ Distância de um Ponto a uma Reta 
➋ Distância Entre Dois Pontos no Plano
➌ Teorema da Base Média de um Triângulo
 

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30/08/2014

Como Construir uma Espiral Pitagórica

A Espiral Pitagórica é construída com triângulos retângulos cujas medidas dos lados são expressas por números inteiros.

Veremos neste post sua construção, assim como o desenvolvimento das fórmulas que geram os lados dos triângulos.


A Espiral Pitagórica é construída utilizando triângulos retângulos, onde a hipotenusa do primeiro triângulo retângulo é o menor cateto do segundo; e a hipotenusa do segundo triângulo retângulo é o menor cateto do terceiro; e assim por diante. Faz-se necessário encontrarmos um algoritmo que nos dê as medidas desses triângulos para que possamos sem dificuldades, construir a espiral.

Dentre as formas analisadas para a construção, podemos encontrar $4$ possibilidades que nos levam a quatro teoremas que nos dão as fórmulas para calcularmos os lados dos triângulos retângulos que compõem a Espiral Pitagórica.

Teorema 1: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ tem apenas uma solução se $a$ for um primo ímpar;


Demonstração:

A equação $a^2+b^2=c^2$ pode ser escrita como:
\begin{equation}
c+b=\frac{a^2}{c-b}
\end{equation}
Uma vez que $b$ e $c$ são inteiros, logo $c-b$ tem que dividir $a^2$ sem deixar resto. Logo, $c-b$ são os divisores positivos de $a^2$. Se $a^2$ é o quadrado de um primo ímpar, os divisores de $a^2$ são: $a^2$, $a$ e $1$. Substituindo estes divisores na relação $(1)$, obtemos os seguintes sistemas lineares:
\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&a^2\\
c & +&b & =&1
\end{matrix}\right.
\qquad
S_2:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&a\\
c & +&b & =&a
\end{matrix}\right.
\qquad
S_3:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&1\\
c & +&b & =&a^2
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Dos três sistemas de equação acima, apenas a solução $S_3$ é compatível. Resolvendo o sistema, obtemos:
\begin{equation}
c=\frac{a^2+1}{2} \qquad \text{,}\qquad b=c-1
\end{equation}

Exemplos:

$1)$ Se $a=3$, $\displaystyle c=\frac{3^2+1}{2}=5$ e $b=c-1=5-1=4$

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(3,4,5)$.

$2)$ Se $a=5$, $\displaystyle c=\frac{5^2+1}{2}=13$ e $b=13-1=12$.

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(5,12,13)$.

$3)$ Se $a=13$, $\displaystyle c=\frac{13^2+1}{2}=85$ e $b=85-1=84$.

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(13,84,85)$.

 Como $c=85$ é um ímpar composto, o teorema $1$ falha e este caso será analisado no teorema $4$.


Teorema $2$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ tem apenas uma solução se $a$ for um par da forma $2p$, onde $p$ é um primo ímpar;

Demonstração:

Substituindo $a$ por $2p$ na equação $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
c+b=\frac{4p^2}{c-b}
\end{equation}
Como $c$ e $b$ são inteiros, $c-b$ tem que dividir $4p^2$ sem deixar resto; logo, $c-b$ são os divisores positivos de $4p^2$ menores que $4p$. Os divisores pares de $4p^2$ menores que $4p$ são: $2$ e $4$. Substituindo $2$ e $4$ por $c-b$ em $\displaystyle c+b=\frac{4p^2}{c-b}$, obtemos os seguintes sistemas lineares:

\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&2\\
c & +&b & =&2p^2
\end{matrix}\right.
\qquad
S_2:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&4\\
c & +&b & =&p^2
\end{matrix}\right.
\end{equation}


Já que $c$ é inteiro, dos sistemas de equações acima somente $S_1$ é compatível. Resolvendo $S_1$, obtemos:
\begin{equation}
c=p^2+1
\end{equation}
Como $a=2p$, logo $\displaystyle p=\frac{a}{2}$. Substituindo $p$ por $\displaystyle \frac{a}{2}$ na relação $(6)$, obtemos que:
\begin{equation}
c=\frac{a^2}{4}+1 \qquad \text{,} \qquad b=c-2
\end{equation}

Exemplos:

$4)$ Se $a=2p=2\cdot 3=6$, $\displaystyle c=\frac{6^2}{4}+1=10$ e $b=10-2=8$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(6,8,10)$.

$5)$ Se $a=2p=2\cdot 5=10$, $\displaystyle c=\frac{10^2}{4}+1=26$ e $b=26-2=24$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(10, 24, 26)$.

$6)$ Se $a=2p=2\cdot13=26$, $\displaystyle c=\frac{26^2}{4}+1=170$ e $b=170-2=168$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(26, 168, 170)$.

Como $c=170$ não é um par da forma $2p$, o teorema $2$ falha e este caso será analisado no teorema $3$.

Teorema $3$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$, possui um número de soluções inteiras igual ao número de divisores pares $(k)$ de $a^2$ menores que $a$ tal que $a^2$ divida $2k$ sem deixar resto, se $a$ for um par diferente de $2p$.

Demonstração:

Seja $c-b=k$ os divisores de $a^2$. Substituindo $c-b$ por $k$ na equação $(1)$, obtemos o seguinte sistema de equações:
\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&k\\
c & +&b & =&\frac{a^2}{k}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos a seguinte solução:
\begin{equation}
2c=k+\frac{a^2}{k}\qquad \text{ou}\qquad c=\frac{a^2+k^2}{2k}
\end{equation}
Como $c-b=k$, logo $b=c-k$. Como $2c$ e $k$ são sempre pares, a fim de que $c$ seja inteiro, $\displaystyle \frac{a^2}{k}$ tem que ser par. Como $2k$ e $a^2$ são pares, e além disso, $k$ são os divisores de $a^2$, se incluirmos os divisores ímpares de $a^2$, a soma $a^2+k^2$ vai ser ímpar, e, consequentemente, $a^2+k^2$ dividido por $2k$ vai ser fracionário. Foi por isso que consideramos somente os divisores pares de $a^2$.

Se $k=a$, então $\displaystyle c=\frac{a^2+a^2}{2a}=a$. Como $b=c-k$, então $b=a-a=0$. Logo, os divisores pares de $a^2$ devem ser menores que $a$.

Portanto, se $a$ for par diferente de $2p$, o número de soluções em inteiros é igual ao número de divisores pares de $a^2$ menores que $a$, que divide $\displaystyle \frac{a^2}{2k}$.

Exemplos:

$7)$ Os divisores pares de $170^2$ menores que $170$ são: $k=2$, $4$, $10$, $20$, $34$, $50$ e $68$.

Para $a=170$ e $k=2$, temos:$\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 1}=7225$;

Para $a=170$ e $k=4$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 4}=3612,5$;

Para $a=170$ e $k=10$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 10}=1445$;

Para $a=170$ e $k=20$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2 \cdot 20}=722,5$;

Para $a=170$ e $k=34$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 34}=425$;

Para $=170$ e $k=50$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 50}=289$;

Para $a=170$ e $k=64$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 64}=212,5$.

Como para $k=4$, $k=20$ e $k=68$, $\displaystyle \frac{a^2}{2k}$ não é inteiro, logo, só existem quatro ternos pitagóricos com $a=170$, os quais são:

$(170, 7224, 7226)$, $(170, 1440, 1450)$, $(170, 408, 442)$ e $(170, 264, 314)$.

Vamos escolher a hipotenusa com menor valor como cateto menor do próximo triângulo pitagórico. Escolhemos a hipotenusa com menor valor para evitar que não trabalhemos com números muito grandes para hipotenusas.

Os divisores pares de $314^2 < 314$ são $k=2$ e $k=4$.

Para $a=314$ e $k=2$, temos: $\displaystyle \frac{314^2}{2\cdot 2}=24649$;

Para $a=314$ e $k=4$, temos: $\displaystyle \frac{314^2}{2\cdot 4}=12324,5$.

Só existe um terno pitagórico com $a=314$. Para $a=314$ e $k=2$, o terno pitagórico é:
\begin{equation*}
c=\frac{314^2+2^2}{2\cdot 2}=24650 \qquad \text{e} \qquad b=24650-2-25648
\end{equation*}
O triângulo pitagórico é $(a,b,c)=(314, 24648, 24650)$.

Como o valor da hipotenusa $(24650)$ é muito grande, paremos por aqui.

Teorema $4$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ possui um número de soluções igual ao número de divisores de $k$ de $a^2$ menores que $a$.

Demonstração:

Pelo Teorema $3$, já que um número ímpar composto tem apenas divisores ímpares, então se $a$ for ímpar, o número de soluções inteiras é igual ao número de divisores de $a^2$ menores que $a$.

Exemplos:

$8)$ Os divisores de $85^2<85$ são: $k=1$, $k=5$, $k=17$ e $k=25$.

Para $k=1$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+1^1}{2\cdot 1}=3613 \qquad \text{e} \qquad b=3613-1=3612
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 3612,3613)$.

Para $k=5$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+5^2}{2\cdot 5}=725 \qquad \text{e} \qquad b=725-5=720
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 720,725)$.

Para $k=17$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+17^2}{2\cdot 17}=221 \qquad \text{2} \qquad b=221-17=204
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 204, 221)$.

Para $k=25$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+25^2}{2\cdot 25}=157 \qquad \text{e} \qquad b=157-25=132
\end{equation*}
O triângulo pitagórico $(a,b,c)=(85, 132, 157)$.

Já que na espiral pitagórica, a partir do segundo triângulo pitagórico, o cateto menor é sempre a hipotenusa do triângulo anterior, das quatro hipotenusas $(3613, 725, 221, 157)$, vamos escolher a hipotenusa com menor valor como cateto menor do próximo triângulo pitagórico. Escolhemos a hipotenusa com menor valor para evitar que trabalhemos com números muito grandes para a hipotenusa.

O divisor de $157^2 < 157$ é: $k=1$

Para $k=1$:
\begin{equation*}
c=\frac{157^2+1^2}{2\cdot 1}=12325 \qquad \text{e} \qquad b=12325-1=12324
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(157, 12324, 12325)$.

Os divisores de $12325^2 < 12325$ são:
$k=1, 5, 17, 25, 29, 85, 125, 289, 425, 493, 625, 725, 841, 1445, 2125, 2465, 3625, 7225 \: \text{e}\: 10625$.

Quanto maior o valor de $k$, menor será a medida da hipotenusa. Para evitar cálculos desnecessário, tomemos o maior valor de $k$:

Para $k=10625$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+10625^2}{2\cdot 10625}=12461 \qquad \text{e} \qquad b=12461-10625=1836
\end{equation*}
O terno pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 1836, 12461)$. Como $b<a$, logo $(12325,1836,12461)$ é um terno pitagórico, mas não são medidas de um triângulo pitagórico.

Como para $k=10625$ não é compatível com as medidas de um triângulo pitagórico, então vamos escolher $k=7225$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+7225^2}{2\cdot 7225}=14125 \qquad \text{e} \qquad b=14125-7225=6900
\end{equation*}
O terno pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 6900, 14125)$. Como $b<a$, logo $(12325, 6900, 14125)$ é um terno pitagórico, mas não são medidas de um triângulo pitagórico.

Como para $k=7225$ não é compatível com as medidas de um triângulo pitagórico, então vamos escolher $k=3625$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+3625^2}{2\cdot 3625}=22765 \qquad \text{e} \qquad b=22765-3625=19140
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 19140, 22765)$. 

Como o valor da hipotenusa $(22765)$ é muito grande, paramos por aqui.

Com posse dos valores encontrados nos exemplos dos teoremas $1$ a $4$ acima, podemos construir duas espirais distintas:

A primeira espiral será construída com triângulos pitagóricos, cujas hipotenusas são número ímpares, encontradas nos Teoremas $1$ e $4$:
\begin{equation*}
(3,4,5),(5,12,13),(13,84,85),(85,132,157),(157,12324,12325),(12325,19140,22765)
\end{equation*}

[Espiral Pitagórica Ímpar]

A segunda espiral será construída com triângulos pitagóricos, cujas hipotenusas são pares, encontradas nos Teoremas $2$ e $3$:
\begin{equation*}
(6,8,10), (10,24,26), (26,168,170), (170, 264, 314), (314, 24648, 24650)
\end{equation*}

[Espiral Pitagórica Par]

Como as medidas dos lados dos triângulos retângulos crescem rapidamente, fica difícil fazer uma espiral como vários triângulos. Portanto, os desenhos acima servem apenas para ilustrar a formação da espiral. Numericamente, podemos observar que a espiral pitagórica par cresce mais rápido que a espiral ímpar.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.

Veja mais


Construindo Raízes de Números Naturais
Construção da Espiral de Arquimedes com Régua e Compasso
Ternos Pitagóricos: A Tábua de Plimpton 322

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09/08/2014

A Notação Sigma Para Somas

A definição formal de integral definida envolve a soma de uma quantidade muito grande de termos, tornando-se necessária uma notação especial.

No simbolismo matemático usamos a letra grega maiúscula Sigma, representada pelo glifo $\displaystyle \Sigma$, correspondente à letra latina $S$, e é chamada de Notação Sigma. Não por acaso é a primeira letra da palavra soma, que ajuda a lembrar o propósito da notação sigma, designando a ideia de somatório ou adição.

Quando usamos o símbolo $\displaystyle \sum$, queremos representar a soma de todos os termos que obedecem a uma forma geral. Assim:
\begin{equation*}
\sum _{k=m}^n a_k=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_n
\end{equation*}
Lê-se: A soma de $a_k$, com $k$ assumindo valores que variam de $m$ a $n$.

A variável $k$ é o índice do somatório e designa uma valor inicial chamado limite inferior igual a $m$, assumindo valores inteiros até alcançar o limite superior igual a $n$.

Não necessariamente o índice é representado pela letra $k$. Podemos usar as letras $i$, $j$, $k$, ou outra qualquer dependendo da necessidade, servindo ao mesmo propósito. Então:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N a_k = \sum_{i=1}^N a_i = \sum_{j=1}^N a_j
\end{equation*}
Se quisermos somar os números naturais de $2$ a $6$, por exemplo, escrevemos na notação de somatório:
\begin{equation*}
\sum_{k=2}^6 k = 2+3+4+5+6
\end{equation*}
Vejamos outros exemplos específicos na notação sigma:

Exemplo $1$:

\begin{aligned}
\sum_{k=1}^5 k^2& = 1^2 + 2^2 +3^2+4^2+5^2\\
&=1+4+9+16+25\\
&=55
\end{aligned}
Esta é a soma dos quadrados dos cinco primeiros números naturais.

Exemplo $2$:

\begin{aligned}
\sum_{k=1}^4 2^k &=2^1+2^2+2^3+2^4\\
&=2+4+8+16\\
&=30
\end{aligned}
Esta é a soma das quatro primeiras potências de $2$.

Exemplo $3$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N 2k =2+4+6+\cdots+2N
\end{aligned}
Esta é a soma dos $N$ primeiros números pares.

Exemplo $4$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N (2k-1)=1+3+5+\cdots+(2N-1)
\end{aligned}
Esta é a soma dos $N$ primeiros números ímpares.

Exemplo $5$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N (3^k-3^{k-1})&=(3^1-3^0)+(3^2-3^1)+\cdots+(3^N-3^{N-1})
\end{aligned}
Aqui fazemos uma pequena manipulação:

\begin{aligned}
&=-3^0+(3^1-3^1)+(3^2-3^2)+\cdots +(3^{N-1}-3^{N-1})+3^N\\
&=3^N-3^0=3^N-1
\end{aligned}


Exemplo $6$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N k &=1+2+3+\cdots+N\\
&= \frac{N(N+1)}{2}
\end{aligned}
Esta é a fórmula para a soma dos $N$ termos de uma $P.A.$ finita.

Podemos ainda fazer o processo inverso: dada uma sequência, vamos encontrar a notação sigma:

Exemplo $7$:
\begin{aligned}
3+9+27+81 = 3^1+3^2+3^3+3^4= \sum_{k=1}^4 3^k
\end{aligned}


Exemplo $8$:
\begin{aligned}
&5+9+13+17+21+15\\
&= 5+(5+4)+(5+8)+(5+12)+(5+16)+(5+20)\\
&= 5+(5+4)+(5+4\cdot 2)+(5+4\cdot 3)+(5+4\cdot 4)+(5+4\cdot 5)\\
&= \sum_{k=0}^5 (5+4k)
\end{aligned}
A Notação Sigma é essencialmente útil para indicar a soma dos termos de uma sequência numérica. Normalmente, quando trabalhamos com sequências, é conveniente começar com um termo de ordem zero: $a_0$. Assim, o segundo termos é $a_1$, o terceiro é $a_2$, e assim por diante. Podemos escrevê-la como $a_0, a_1, a_2, \cdots $. Assim, o k-ésimo termo da sequência é $a_k$ e a soma dos $N$ termos pode ser escrita como:
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N a_k=a_0+a_1+a_2+\cdots + a_N
\end{equation*}
Se quisermos somar apenas o terceiro, o quarto e o quinto termos, escrevemos:
\begin{equation*}
\sum_{k=2}^4 a_k=a_2+a_3+a_4
\end{equation*}

Propriedades Básicas dos Somatórios

Algumas propriedades básicas dos somat´rios podem ser estabelecidas. Consideremos que $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_N$ e $b_0, b_1, b_2, \cdots , b_N$, representam sequências de números e seja $A, B,C$ números constantes.

$P1)$ Propriedade da Constante
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N C= NC
\end{equation*}

$P2)$ Propriedade da Homogenidade
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N Ca_k = C\sum_{k=1}^N a_k
\end{equation*}

$P3)$ Propriedade Aditiva
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(a_k+b_k\right)=\sum_{k=1}^N a_k + \sum_{k=1}^N b_k
\end{equation*}

$P4)$ Propriedade Linear
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(Aa_k + Bb_k\right) = A\sum_{k=1}^N a_k + B\sum_{k=1}^N b_k
\end{equation*}

$P5)$ Desigualdade Triangular Generalizada
\begin{equation*}
\left| \sum_{k=1}^N a_k \right|  \leq \sum_{k=1}^N \left| a_k \right|
\end{equation*}

$P6)$ Propriedade Telescópica
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(b_k - b_{k-1}\right) = b_N - b_0
\end{equation*}

$P7)$ Soma de uma Sequência Aritmética
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N \left(A+Ck\right) = \left(N+1\right)\left(A+\frac{NC}{2}\right)
\end{equation*}

$P8)$ Soma de uma Sequência Geométrica
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N AC^k = A\left(\frac{1-C^{N+1}}{1-C}\right), \qquad C\neq 1
\end{equation*}

$P9)$ Soma dos Inteiros Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k = \frac{N(N+1)}{2}
\end{equation*}

$P10)$ Soma dos Quadrados Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}
\end{equation*}

$P11)$ Soma dos Cubos Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^3 = \frac{N^2(N+1)^2}{4}
\end{equation*}

Exemplos usando as propriedades básicas dos somatórios:

Exemplo $9$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{20} \left(2k^2-3k+1\right)
\end{aligned}
Usamos a propriedade $P4)$:
\begin{equation*}
= \sum_{k=1}^{20} 2k^2+\sum_{k=1}^{20}(-3k)+\sum_{k=1}^{20} 1
\end{equation*}
Agora, usamos as propriedades $P1)$ e $P1)$:
\begin{equation*}
2\sum_{k=1}^{20} -3\sum_{k=1}^{20}k + 20
\end{equation*}
Agora usamos a propriedade $P10)$ no primeiro somatório e a $P9)$ no segundo:
\begin{matrix}
=\frac{2(20)(21)(41)}{6}-\frac{3(20)(21)}{2}+20\\
=5740-630+20\\
=5130
\end{matrix}

Exemplo $10$:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^2(5k+1)
\end{equation*}
\begin{matrix}

=\sum_{k=1}^N5k^3+\sum_{k=1}^N k^2\\
=5\left(\frac{N^2(N+1)^2}{4}\right) + \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
= \frac{5N^2(N+1)^2}{4} + \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
=N(N+1)\left(\frac{5N(N+1)}{4}+\frac{(2N+1}{6}\right)\\
=N(N+1)\left(\frac{15N(N+1)+2(2N+1)}{12}\right)\\
=\frac{N(N+1)(15N^2+15N)+2N+2}{12}\\
=\frac{(N^2+N)(15N^2+15N)+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^4+15N^3+15N^3+15N^2+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^4+30N^3+15N^2+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^2(N^2+2N+1)+2(N+1)}{12}
\end{matrix}
Exemplo $11$:
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N \frac{1}{2^k}
\end{equation*}
Usando a propriedade $P8)$:
\begin{equation*}
=\sum_{k=0}^N \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{N+1}}{1-\frac{1}{2}} = 2-\frac{1}{2^N}
\end{equation*}

Exemplo $12$: Encontre a soma dos $100$ primeiros inteiros ímpares.

Pela propriedade $P7)$, fazemos $A=1$, $C=2$, $N=99$:
\begin{matrix}
\sum_{k=0}^{99} (1+2k)=1+3+5+\cdots +199\\
=100\left(1+\frac{99(2)}{2}\right)\\
=10.000
\end{matrix}

A Área sob uma Parábola

Este é um bom exemplo para aplicarmos a notação sigma. Calculemos a área $A$ sob a parábola $y=x^2$ entre $x=0$ e $x=1$.

Usando o conceito de integral definida, obtemos:
\begin{equation*}
A=\int_0^1 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3} u.a.
\end{equation*}
Agora, usemos a notação sigma. Considere a figura abaixo:
O intervalo $[0,1]$ foi subdividido em sub intervalos iguais:\begin{equation*}
\left[0,\frac{1}{N}\right] ,\left[\frac{1}{N},\frac{2}{N}\right] , \left[\frac{2}{N},\frac{3}{N}\right],\cdots ,\left[\frac{N-1}{N},\frac{N}{N}\right]
\end{equation*}
Vejam que o k-ésimo intervalo é:
\begin{equation*}
\left[\frac{k-1}{N},\frac{k}{N}\right]
\end{equation*}
Em cada subintervalo, podemos formar um retângulo circunscrito à curva, cuja altura do k-ésimo retângulo é $\displaystyle \left(\frac{k}{N}\right)^2$ e sua área é $\displaystyle \frac{1}{N}\cdot \left(\frac{k}{N}\right)^2$.

Podemos obter uma estimativa para a área $A$ somando as áreas dos $N$ retângulos circunscritos:
\begin{equation*}
A\approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2
\end{equation*}
E pela fórmula para a soma dos quadrados sucessivos:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2 = \sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{N^3}\right)k^2 = \left(\frac{1}{N}\right)^3 \sum_{k=1}^N k^2 = \frac{1}{N^3} \left( \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\right) = \frac{(N+1)(2N+1)}{6N^2}
\end{equation*}
Aplicando a distributiva no numerador, segue que:
\begin{equation*}
A\approx \frac{1}{3}+\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Como os retângulos são circunscritos à curva e somente aproximam a área, então:
\begin{equation*}
A \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{2N} + \frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Utilizemos agora, retângulos inscritos à mesma curva no mesmo intervalo, com os mesmos $N$ subintervalos:

Notamos que a altura do k-ésimo retângulo inscrito é $\displaystyle \left(\frac{k-1}{N}\right)^2$ e sua área é $\displaystyle \frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2$.

Novamente podemos obter uma estimativa para a área $A$, somando asáreas dos $N$ retângulos inscritos:
\begin{matrix}
A\approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2\\
=\frac{1}{N^3}\sum_{k=1}^N (k^2-2k+2)\\
=\frac{1}{N^3}\left(\sum_{k=1}^N k^2-2\sum_{k=1}^Nk+\sum_{k=1}^N\right)\\
=\frac{1}{N^3}\left(\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}-\frac{2N(N+1)}{2}+N\right)\\
=\frac{2N^2-3N+1}{6N^2}
\end{matrix}
Então, a área vale aproximadamente:
\begin{equation*}
A\approx \frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Como os retângulos são inscritos à curva e somente aproxima a área, então:
\begin{equation*}
A\geq \frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Deste modo, a área $A$ sob a curva, tem que estar entre as duas estimativas encontradas, de modo que:
\begin{matrix}
\frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}\leq A \leq \frac{1}{3}+\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}\\
\sum_{k=1}^N\frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2 \leq A \leq \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2
\end{matrix}
À medida que $N$ aumenta, ambas as estimativas se aproximam de um valor, tendo $1/3$ como limite. Como a área $A$ está entre as duas estimativas, podemos nos aproximar o quanto desejarmos do valor limite $1/3$, tomando cada vez mais subintervalos. Quando o número de subintervalos tende ao infinito, a área $A$ sob a curva $f(x)=x^2$, no intervalo $[0,1]$ tende a ser igual a $1/3$.

Exercícios: Desenvolva os somatórios

\begin{aligned}
&a) \: \sum_{k=1}^6 (2k+1)\\
&b) \: \sum_{k=3}^7 \frac{k}{k-2}\\
&c) \: \sum_{k=-1}^3 3^k\\
&d) \: \sum_{k=1}^{50}(2k+3)\\
&e) \: \sum_{k=1}^N k(k+1)\\
&f) \: \sum_{k=6}^{100}k^2\\
&g) \: \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}
\end{aligned}

Referências:

$[1]$ Cálculo V1 - Munem-Foulis
$[2]$ Cálculo com Geometria Anaçítica V1 - Simmons


Veja mais: 

A Soma de Gauss
O Cálculo Integral: O Cálculo das Áreas
A Notação Sigma para Somatórios no blog Fatos Matemáticos

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30/07/2014

A Equação do Número Prateado

Neste post veremos como encontrar a equação do número de prata, utilizando para isso proporções no retângulo prateado.

Definição $1$: O número prateado ou número de prata, ou ainda razão prateada, é uma constante irracional simbolizada por $\delta_S$ e numericamente vale:
\begin{equation}
\delta_S=1+\sqrt{2}
\end{equation}
Definição $2$: Um retângulo prateado é aquele cuja razão entre dois de seus lados adjacentes seja igual ao número prateado. Assim, tomando um retângulo de lados iguais a $AB$ e $AD$, a razão:
\begin{equation}
\frac{AB}{AD}=\delta_S=1+\sqrt{2}
\end{equation}
Partindo da construção geométrica do retângulo prateado, podemos deduzir a equação do número prateado. Considere o retângulo da figura acima. Pela definição de retângulo prateado, temos que a razão de prata é dada por:
\begin{equation}
\delta_S=\frac{AB}{AD}
\end{equation}
Usando semelhança de trângulos entre os retângulos $ABCD$ e $EBCF$, podemos deduzir que:
\begin{equation}
\frac{AD}{AB}=\frac{BE}{BC}
\end{equation}
No entanto, $BE=AB-2AD$, já que $AE=2AD$, e também $BC=AD$. Assim, podemos fazer estas substituições em $(4)$, obtendo:
\begin{equation}
\frac{AD}{AB}=\frac{AB-2AD}{AD}
\end{equation}
Mas, pela relação $(3)$, temos que $\delta_S=AB/AD$, e seu inverso será $\displaystyle \frac{1}{\delta_S}=\frac{AD}{AB}$. Assim:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\frac{1}{\delta_S}=\frac{AB-2AD}{AD}\\
\frac{1}{\delta_S}=\frac{AB}{AD}-\frac{2AD}{AD}\\
\frac{1}{\delta_S}=\delta_S-2
\end{matrix}
\end{equation}
Multiplicando ambos os lados da equação por $\delta_S$ para eliminar o denominador:
\begin{equation}
1=\delta_S^2-2\delta_S
\end{equation}
E assim obtemos:
\begin{equation}
\delta_S^2-2\delta_S-1=0
\end{equation}
A equação obtida em $(8)$ é a equação do Número prateado. Podemos resolver esta equação utilizando a fórmula para a equação de segundo grau:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\delta_S=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}\\
\delta_{S_1}=1+\sqrt{2}\\
\delta_{S_2}=1-\sqrt{2}
\end{matrix}
\end{equation}
Tomamos então a raiz positiva: $\delta_S=1+\sqrt{2}$ como solução da equação, encontrando o número prateado.

Veja mais: 

O Número Prateado
O Retângulo Prateado
O Número Prateado na Trigonometria
O Número Prateado e a Área do Octógono Regular
Algumas Propriedades do Número Prateado no blog Fatos Matemáticos

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26/07/2014

Resolução da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx$

Integrais por frações parciais às vezes podem ser complicadas de serem resolvidas. Às vezes é mais complicado encontrar as frações parciais equivalente ao integrando do que resolver as integrais obtidas após este processo. Este é um exemplo interessante porque além de trabalharmos com métodos de integração, utilizamos o método de eliminação de Gauss na resolução do sistema linear que geram as frações parciais. Veremos passo a passo cada etapa desta resolução.

Seja a integral:
\begin{equation}
\int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx=I
\end{equation}
Sugiro a leitura do artigo sobre o método de integração por frações parciais. Primeiramente, fatoramos o denominador do integrando:
\begin{equation}
I = \int \frac{1}{(x^2-1)(x^2-1)}dx = \int \frac{1}{(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)}dx
\end{equation}
Como há fatores lineares no denominador e eles se repetem, este é o segundo caso do método para denominadores lineares. Vejam o o artigo aqui. O integrando deve ser:
\begin{equation}
\frac{1}{(x+1)^2(x-1)^2}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x-1)}+\frac{D}{(x-1)^2}
\end{equation}
 Eliminando o denominador, obtemos:
\begin{equation*}
1=A(x+1)(x-1)^2+B(x-1)^2+C(x-1)(x+1)^2+D(x+1)^2
\end{equation*}
Aplicando a distributiva:
\begin{equation*}
1=Ax^3-Ax^2-Ax+A+Bx^2-2Bx+B+Cx^3+Cx^2-Cx-C+Dx^2+2Dx+D
\end{equation*}
Fatorando as potências:
\begin{equation*}
1=x^3(A+C)+x^2(-A+B+C+D)+x(-A-2B-C+2D+A+B-C+D
\end{equation*}
Agora, igualamos os coeficientes dos dois membros da relação, obtendo o sistema linear:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
-A & -2B & -C &+2D &=0 \\
A & +B & -C & +D &=1\\
A &  & +C & &=0
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para resolver este sistema, utilizaremos o Método de Eliminação de Gauss (escalonamento), deixando o sistema triangular superior. Para eliminar o termo que contém $A$ da segunda equação, somamo-a à primeira equação multiplicada por $-1$; Para eliminar o termo que contém $A$ da terceira equação, basta somarmos com a primeira equação; E o mesmo ocorre com a quarta equação. Então obtemos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
 & -3B & -2C & +D &=0 \\
 & +2B &  & +2D &=1\\
 & B & +2C & D&=0
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para facilitar o escalonamento, utilizaremos as propriedades, trocando a quarta pela segunda equação, e a segunda pela terceira equação:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
 & B & +2C & D&=0\\
 & -3B & -2C & +D &=0 \\
 & +2B &  & +2D &=1\\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para eliminarmos o termo que contém $B$ da terceira e quarta equações, somamos a terceira equação com a segunda multiplicada por $3$; e somamos a quarta equação com a segunda multiplicada por $-2$. Obtemos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
-A & +B & +C & +D &=0\\
 & B & +2C & D&=0\\
 &  & 4C & +4D &=0 \\
 &  & -4C &  &=1\\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Temos imediatamente que $C=-1/4$. Substituindo $C$ na terceira equação, obtemos $D=1/4$. Substituindo $C$ e $D$ na segunda equação, obtemos $B=1/4$. Finalmente, substituindo $B$, $C$ e $D$ na primeira equação, obtemos $A=1/4$. Agora já temos condições de substituir estes valores nas frações parciais :
\begin{equation}
I=\int \left( \frac{1}{4(x+1)}+\frac{1}{4(x+1)^2}-\frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{4(x-1)^2}\right) dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I=\frac{1}{4}\int\frac{dx}{(x+1)}+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x+1)^2}-\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x-1)}+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x-1)^2}
\end{equation}
Para resolvermos cada uma das quatro integrais acima, utilizaremos o Método da Substituição. Fazemos:

$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x+1)}$, fazemos $u=x+1$ e $du=dx$;
$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x+1)^2}$, fazemos $v=x+1$ e $dv=dx$;
$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x-1)}$, fazemos $p=x-1$ e $dp=dx$;
$\bullet$ Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{(x-1)^2}$, fazemos $w=x-1$ e $dw=dx$.

Substituindo em cada integral de  $(9)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{4}\int \frac{du}{u}+\frac{1}{4}\int \frac{dv}{v^2}-\frac{1}{4}\int \frac{dp}{p}+\frac{1}{4}\int \frac{dw}{x^2}\\
I=\frac{1}{4}\ln (u)-\frac{1}{4v}-\frac{1}{4}\ln(p) - \frac{1}{4w}+C\\
I=\frac{1}{4}\left[\ln(u)-\ln(p)-\frac{1}{v}-\frac{1}{w}\right]+C
\end{matrix}
\end{equation}
Substituindo $u$, $v$, $p$ e $w$:
\begin{equation}
\begin{matrix}
I=\frac{1}{4}\left[\ln(x+1)-\ln(x-1)-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}\right]+C\\
I=\frac{1}{4}\left[\ln(x+1)-\ln(x-1)-\frac{(x-1)-(x+1)}{(x^2-1)}\right]+C\\
I=\frac{1}{4}\left[\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)-\frac{2x}{(x^2-1)}\right]+C
\end{matrix}
\end{equation}

Veja mais 

Integral por Substituição
Integral por Frações Parciais - Fatores Lineares
Integral por Frações Parciais - Fatores Quadráticos

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09/07/2014

Integral de $\displaystyle \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx$

Às vezes surgem dúvidas de leitores que valem um post. A resolução desta integral é interessante e usa o método de substituição trigonométrica.

Seja a integral:
\begin{equation*}
\int \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx = I
\end{equation*}
Vejam o artigo sobre o método da substituição trigonométrica para resolução de certas integrais. Com o auxílio visual, analisemos o triângulo retângulo da figura acima.

Temos que $\displaystyle \text{sen}(\theta) = \frac{x}{4} \Rightarrow x=4 \text{sen}(\theta)$ e então $dx=4\cos (\theta) d \theta$. E ainda temos que $\displaystyle \sqrt{16-x^2} = 4 \cos (\theta)$.

Assim, a integral fica:
\begin{matrix}
I = \frac{1}{4} \int \frac{4\cos (\theta)}{16 \text{sen}^2 (\theta)}\cdot 4\cos (\theta) d \theta\\
I= \frac{1}{4} \int \frac{16 \cos^2 (\theta)}{16 \text{sen}^2 (\theta)}d \theta\\
I= \frac{1}{4} \int \text{cotg}^2 (\theta) d \theta
\end{matrix}
Da identidade trigonométrica $1+\text{cotg}^2(x)=\text{cossec}^2(x)$, temos que:
\begin{equation*}
I=\frac{1}{4} \int \left( \text{cossec}^2 (\theta)-1 \right) d \theta
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I=\frac{1}{4} \int \text{cossec}^2 (\theta) d\theta - \frac{1}{4} \int 1 d\theta
\end{equation*}
A integral de $\text{cossec}^2 (\theta)$ é $-\text{cotg}(\theta)+C$. Assim:
\begin{equation*}
I=-\frac{1}{4} \cdot \text{cotg} (\theta) - \frac{1}{4} \cdot \theta + C = -\frac{1}{4}\left(\theta + \text{cotg}(\theta)\right) + C
\end{equation*}
Mas $\displaystyle \theta = \text{arcsen}\left(\frac{x}{4} \right)$ e $\displaystyle \text{cotg}(\theta) = \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}$. Assim:
\begin{matrix}
I=-\frac{1}{4}\left( \text{arcsen}\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}\right)+C\\
I=\int \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx=-\frac{x\ \text{arcsen}\left(\frac{x}{4}\right) + \sqrt{16-x^2}}{4x}+C
\end{matrix}

Veja mais:

Integração por Substituição Trigonométrica
Integração por Frações Parciais - Fatores Lineares
Integração por Frações Parciais - Fatores Quadráticos Irredutíveis

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07/06/2014

Florence Nightingale e os Gráficos Estatísticos

É inegável a importância que os gráficos estatísticos adquiriram nos dias de hoje, nas mais variadas áreas do conhecimento, principalmente me virtude da existência de diversos aplicativos computacionais relativamente simples de serem operados. Isso se deve ai seu grande poder de concisão e forte apelo visual.

Nos livros, revistas, jornais e relatórios, os gráficos são de fácil entendimento para a maior parte das pessoas. Geralmente são considerados até mais compreensíveis do que as tabelas.

Além de serem utilizados como meio rápido e fácil de comunicação, os gráficos estatísticos também são úteis na busca de padrões de comportamento e relações entre variáveis, na descoberta de novos fenômenos, na aceitação ou rejeição de hipóteses, etc.

Florence Nightingale foi uma das pioneiras na utilização dos gráficos estatísticos. Nasceu em Villa Colombia, próximo de Florença, Itália, em maio de $1820$. Seus pais eram de origem britânica e estavam viajando pela Europa quando ela nasceu.

Apresentou, desde cedo, uma forte inclinação para o estudo da Matemática. Gostava de indicar por números tudo que pudesse ser registrado, tal como distâncias, tempos de viagem, orçamentos, etc. No entanto, Nighingale sofreu forte oposição dos pais, que, por fim, cederam aos anseios da filha. Assim, ela conseguiu realizar seus sonhos de estudo e ainda preparou-se para exercer a Enfermagem.

É frequentemente lembrada como uma das fundadoras da profissão de enfermeira e reformadora dos sistemas de saúde. Atuou como enfermeira-chefe do Exército britânico de $1854$ a $1860$, durante a Guerra da Crimeia (Inglaterra, França e Turquia se uniram contra a Rússia por problemas territoriais), na qual constatou que a falta de higiene e as doenças hospitalares matavam grande número de soldados internados.

Conseguiu, com suas reformas, reduzir significativamente a taxa de mortalidade no hospital onde atuou. Famosa pelo seu talento profissional, passou a trabalhar ativamente pela reforma dos sistemas de saúde e pelo desenvolvimento da Enfermagem. Em $1860$, publicou seu livro mais importante, Notas sobre Enfermagem, no qual enfatixou os modernos princípios da Enfermagem.
[Veja em tamanho maior aqui]

Florence Nightingale utilizou-se dos dados estatísticos, quer em forma de tabelas, quer em forma de gráficos, como ferramenta para suas atividades de reforma na área de saúde. A base para a utilização do ferramental estatístico ela já possuía, em virtude do conhecimento prévio de Matemática e da habilidade para trabalhar com números, além do conhecimento dos aspectos médicos ligados à sua atividade.

Ela utilizou os gráficos estatísticos (gráfico de frequência, frequências acumuladas, histogramas e outros) com a finalidade de expressar sua ideias para membros do Exército e do governo. Seus gráficos foram tão criativos que se constituíram num marco do desenvolvimento da Estatística. Seu trabalho foi tão importante que, em $1858$, ela foi a primeira mulher eleita membro da Associação Inglesa de Estatística.

Durante a Guerra Civil Americana  Nightingale foi conselheira de saúde nos Estados Unidos, na área militar. Também trabalhou como conselheira de saúde do governo britânico no Canadá.

Em $1883$, recebeu uma condecoração (Cruz Vermelha Real) da rainha Vitória por seus relevantes serviços prestados à saúde.

Em $1907$ foi a primeira mulher a receber das mãos do rei Eduardo $VII$ a Ordem do Mérito. Faleceu em Londres em agosto de $1910$ aos $90$ anos.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V11 - Iezzi, Hazzan & Degenszajn


Veja mais: 

O Teorema de Hardy-Weinberg
No Cerne do ENEM, o Teorema de Bayes
Como Obter uma Medida Confiável

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25/05/2014

A Soma de Gauss


Uma história interessante do jovem Carl Friederich Gauss $(1777-1855)$ quando este tinha apenas $10$ anos é que em uma das aulas de aritmética, o professor pediu aos alunos que calculassem o valor da soma:
\begin{equation*}
S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 99 + 100
\end{equation*}
Não levou muito tempo e Gauss escreveu a resposta em sua pequena lousa: $5050$. Seu professor não acreditou no que vira, enquanto seus colegas somavam termo a termo. Mais incrédulo ficou ao fim da aula quando verificou que a única resposta certa fora a de Gauss, que justificou assim seu procedimento:

“A soma de $1$ com $100$, de $2$ com $99$, de $3$ com $98$, e assim por diante, é sempre igual a $101$. Como na soma desejada o número $101$ aparece $50$ vezes, basta multiplicar $101$ por $50$ para obter $5050$”.

E isso Gauss fez em pouco tempo e sem dificuldades, um prenúncio das grandes contribuições do gênio que foi.

Consideremos a $P.A.$ finita de razão $r$:
\begin{equation*}
a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{N-2}+a_{N-1}+a_N
\end{equation*}
A soma $S_N$ de seus $N$ termos pode ser escrita como:

onde:

$\bullet$ $a_1$ é o primeiro termo;
$\bullet$ $a_N$ é p enésimo termo;
$\bullet$ $N$ é o número de termos;
$\bullet$ $S_N$ é a soma dos $N$ termos.

Logo:
\begin{equation*}
S_N=(a_1+a_N)+(a_1+a_N)+\cdots + (a_1+a_N)
\end{equation*}
Como sempre somamos dois termos da $P.A.$ de $N$ termos, teremos $N/2$ parcela iguais a $(a_1+a_N)$, o que nos leva à fórmula da soma dos termos de uma $P.A.$ finita:
\begin{equation}
S_N=\frac{(a_1+a_N)N}{2}
\end{equation}

Exemplo $1$: Tomemos o problema que o professor passou a Gauss e seus colegas: Encontrar a soma dos números naturais de $1$ a $100$ utilizando a fórmula moderna.

Neste caso, precisamos somar os termos da sequência:
\begin{equation*}
S_N=1+2+3+\cdots +98+99+100
\end{equation*}
Observando a sequência acima, temos que $a_1=1$, $a_N=100$ e $N=100$. Aplicando na fórmula do termo geral obtida em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
S_N=\frac{(a_1+a_N)N}{2}=\frac{(1+100)100}{2}=\frac{10100}{2}=5050
\end{equation*}
Que é a mesma soma obtida por Gauss.

Exemplo $2$: Calcular a soma dos primeiros $N$ números ímpares $(1, 3, 5, \cdots , 2N-1, \cdots )$, $N \in \mathbb{N^*}$.
\begin{equation*}
S_N=\frac{(a_1+a_N)N}{2}=\frac{(1+2N-1)N}{2}=\frac{2N^2}{2}=N^2
\end{equation*}
Portanto, a soma dos $N$ primeiros números ímpares é igual a $N^2$.

Vamos calcular a soma dos 50 primeiros números ímpares dessa sequência. O primeiro termo é $a_1=1$. Para descobrirmos o quinquagésimo termo da sequência, fazemos: $a_N=2N-1 \Rightarrow a_{50}=2\cdot 50 -1 = 99$. Assim:
\begin{equation*}
S_N=\frac{(a_1+a_N)N}{2}=\frac{(1+99)50}{2}=2500
\end{equation*}
Ou simplesmente fazemos:
\begin{equation*}
S_N=N^2=50^2=2500
\end{equation*}

Veja mais: 

Dirichlet e os Números Primos de uma Progressão Aritmética
Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Soma dos Termos de uma P.G. Infinita

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