26 de abr de 2015

Relações métricas no triângulo retângulo

O triângulo retângulo possui diversas relações interessantes. Neste artigo veremos algumas relações métricas utilizando semelhança de triângulos.



Primeiramente, vamos relembrar algumas definições que serão importantes nas deduções que seguem:

Definição $1$: Triângulo retângulo

Um triângulo é chamado de triângulo retângulo se possuir um ângulo interno reto. O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa e os outros dois lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos.


Definição $2$: Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, existe uma correspondência biunívuca, que associa os três vértices de um triângulo aos três vértices do outro triângulo, tais que:

$a)$ ângulos com vértices correspondentes são congruentes;
$b)$ Lados opostos a vértices correspondentes são iguais.



\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DEF \Longleftrightarrow \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF} ~~\text{e} ~\left\{\begin{matrix}
\hat{A} & \cong  & \hat{D}\\
\hat{B} & \cong & \hat{E}\\
\hat{C} & \cong & \hat{F}
\end{matrix}\right.
\end{equation*}

Seja o triângulo $ABC$, reto em $\hat{A}$:


Temos que:

$\bullet$ $a$ é a hipotenusa;
$\bullet$ $b$ e $c$ são os catetos;
$\bullet$ $h$ é a altura do triângulo relativa à hipotenusa;
$\bullet$ $m$ é a projeção ortogonal do cateto $c$ sobre a hipotenusa;
$\bullet$ $n$ é a projeção ortogonal do cateto $b$ sobre a hipotenusa.

Demonstrações:

Para as demonstrações que seguem, vamos separar o triângulo $ABC$ em dois triângulos. Assim, teremos três triângulos semelhantes:



de modo que:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DAB \sim \triangle DAC
\end{equation*}

$\bullet$ O triângulo $ABC$ é semelhante ao triângulo $DBA$:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DBA \Longleftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
ah = bc \\
c^2 = am \\
bm = ch
\end{gather}

$\bullet$ O triângulo $ABC$ é semelhante ao triângulo $DAC$:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DAC \Longleftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
ah = bc \\
b^2 = an \\
bh = cn
\end{gather}

$\bullet$ O triângulo $DAB$ é semelhante ao triângulo $DAC$:
\begin{equation*}
\triangle DAB \sim \triangle DAC \Longleftrightarrow \frac{c}{b} = \frac{h}{n} = \frac{m}{h}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
cn = bh \\
bm = ch\\
h^2 = mn
\end{gather}

Somando membro a membro as relações $(2)$ e $(5)$ obtemos:
\begin{equation*}
b^2 +c^2 = an+am \\
b^2+c^2 = a(m+n)
\end{equation*}
No entanto,as projeções ortogonais $m$ e $n$ dos catetos $b$ e $c$ sobre a hipotenusa $a$, tem comprimento igual a $m+n=a$. Assim, chegamos ao Teorema de Pitágoras:
\begin{equation}
b^2+c^2 = a^2
\end{equation}

Exemplo $1$:

Determinar as medidas $a$, $h$, $m$ e $n$ no triângulo $ABC$ abaixo:



Da relação $(10)$, temos que:
\begin{equation*}
a^2=b^2+c^2 \Rightarrow a^2=3^2+4^2 \Rightarrow a^2=25 \Rightarrow a=5
\end{equation*}
Da relação $(4)$, temos que:
\begin{equation*}
ah=bc \Rightarrow 5h=3\cdot 4 \Rightarrow h = \frac{12}{5}
\end{equation*}
Da relação $(2)$, temos que:
\begin{equation*}
c^2=am \Rightarrow 3^2 = 5m \Rightarrow m=\frac{9}{5}
\end{equation*}
Da relação $(5)$, temos que:
\begin{equation*}
b^2=an \Rightarrow 4^2=5n \Rightarrow n=\frac{16}{5}
\end{equation*}
Assim, os valores procurados são: $a=5$, $\displaystyle \frac{12}{5}$, $\displaystyle m=\frac{9}{5}$ e $\displaystyle n=\frac{16}{5}$.

Exemplo $2$:

Calcular a altura relativa à base $\overline{BC}$ do triângulo isósceles abaixo:



Como o triângulo é isósceles,  altura $h$ divide o segmento $\overline{BC}$ em duas partes iguais. Assim, $\overline{BD}=\overline{CD}=4$. Aplicamos, então, o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $DAC$:
\begin{equation*}
5^2=4^2+h^2 \Rightarrow h^2=9 \Rightarrow h=3
\end{equation*}
A medida procurada é $h=3$.

Exemplo $3$:

Num triângulo isósceles $ABC$, de lados iguais a $\overline{AB}=\overline{AC}=5$ e $\overline{BC}=8$, calcular a distância entre o ponto médio $M$ do segmento $\overline{BC}$ e um dos catetos.

Podemos representar o problema como a imagem abaixo:


Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é o segmento que une o ponto à reta sendo perpendicular a ela. Na figura está representada pelo segmento $d=\overline{MN}$.

Primeiramente, vamos encontrar a medida $h$, utilizando-se do fato do triângulo ser isósceles. Assim, o segmento $\overline{CM}=4$. Aplicamos o teorema de Pitágoras:
\begin{equation*}
5^2 = 4^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = 9 \Rightarrow h = 3
\end{equation*}
Agora, podemos aplicar a relação $(1)$ no triângulo $ACM$ para encontrarmos o segmento $d$:
\begin{equation*}
5d=3\cdot 4 \Rightarrow 5d = 12 \Rightarrow d = \frac{12}{5}
\end{equation*}
Assim, a medida procurada é $d=12/5$.

Referências:

[1] Matemática Volume Único - Manoel Paiva - Ed. Moderna

Veja mais:

Pontos notáveis de um triângulo
Teorema da base média de um triângulo
O Teorema de Pitágoras, segundo Euclides


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19 de abr de 2015

Integral indefinida do produto de cossenos de monômios de coeficientes angulares diferentes

Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois cossenos, cujos argumentos são monômios.



Vamos demonstrar que:
\begin{equation}
\int \cos(ax) \cos(bx)dx = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)}
\end{equation}
onde $a$ e $b$ são constantes, tal que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$ e $a \neq |b|$.

Demonstração:

Seja a integral:
\begin{equation}
I=\int \cos(ax) \cos(bx)dx
\end{equation}
Das fórmulas de adição e subtração de arcos, obtemos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em uma soma:
\begin{equation}
\cos(m+n) = \cos(m)\cos(n) - \text{sen}(m)\text{sen}(n)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\cos(m-n) = \cos(m)\cos(n) + \text{sen}(m)\text{sen}(n)
\end{equation}
Somando $(3)$ e $(4)$, obtemos:
\begin{equation}
\cos(m-n)+\cos(m+n)= 2\cos(m)\cos(n)
\end{equation}
O que nos leva a:
\begin{equation}
\cos(m)\cos(n) = \frac{1}{2} \cos(m-n) + \frac{1}{2} \cos(m+n)
\end{equation}
Fazendo $m=ax$ e $n=bx$, temos que:
\begin{equation}
\cos(ax)\cos(bx) = \frac{1}{2} \cos[(a-b)x] + \frac{1}{2} \cos[(a+b)x]
\end{equation}
Substituindo na integral $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \left[ \cos[(a-b)x] + \cos[(a+b)x] \right] dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \cos[(a-b)x] dx + \frac{1}{2} \int \cos[(a+b)x] dx
\end{equation}
Para o integrando $\cos[(a-b)x]$, fazemos a substituição $u=(a-b)x$. Assim, $du=(a-b)dx$ e $\displaystyle dx=\frac{du}{a-b}$. E para o integrando $cos[(a+b)x]$, fazemos a substituição $v=(a+b)x$. Assim $dv=(a+b)dx$ e $\displaystyle dx=\frac{dv}{a+b}$.

A integral fica:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2(a-b)}\int \cos(u)du + \frac{1}{2(a+b)} \int \cos(v)dv
\end{equation}
A integral de $\cos(\theta) = \text{sen}(\theta)$. Assim:
\begin{gather}
I = \frac{1}{2(a-b)} \cdot \text{sen}(u) + \frac{1}{2(a+b)} \text{sen}(v) +C\\

I = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)} + C
\end{gather}

Veja mais:

Integral indefinida do produto de senos de monômios de coeficientes angulares diferentes
Método de integração por substituição
Adição e subtração de arcos

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18 de abr de 2015

Integral indefinida do produto de senos de monômios de coeficientes angulares diferentes

Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois senos, cujos argumentos são monômios.


Vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \text{sen}(ax) \cdot \text{sen}(bx)\ dx=\frac{\text{sen} [(a-b) x]}{2 (a-b)} - \frac{\text{sen}[(a+b) x]}{2 (a+b)}
\end{equation*}
onde $a$ e $b$ são constantes, tal que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq |b|$.

Demonstração:

 Pelas fórmulas de somas de ângulos, temos:
\begin{equation}
\cos(m+n) = \cos(m) \cos(n) - \text{sen}(m) \text{sen}(n)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\cos(m-n) = \cos(m) \cos(n) + \text{sen}(m) \text{sen}(n)
\end{equation}
Subtraindo $1$ de $2$, vem que:
\begin{equation*}
\cos(m-n) - \cos(m+n) = \cos(m)\cos(n) + \text{sen}(m)\text{sen}(n) \\- \cos(m) \cos(n) + \text{sen}(m)\text{sen}(n)\\
\cos(m-n)-\cos(m+n) = 2~\text{sen}(m)\text{sen}(n)
\end{equation*}
Fazendo $m=ax$ e $n=bx$, obtemos:
\begin{equation*}
\cos(ax-bx) - \cos(ax+bx) = 2~\text{sen}(ax)\text{sen}(bx)\\
\frac{1}{2}\cos[(a-b)x] -\frac{1}{2}\cos[(a+b)x] = \text{sen}(ax)\text{sen}(bx)
\end{equation*}
Integrando ambos os lados, na variável $x$:
\begin{equation*}
L=\frac{1}{2} \int \cos [(a-b)x]dx - \frac{1}{2} \int \cos[(a+b)x]dx = \int \text{sen}(ax) \text{sen}(bx)dx
\end{equation*}
\begin{equation}
L=\frac{1}{2}(I-J) = \int \text{sen}(ax) \text{sen}(bx)dx\\
\end{equation}
onde:
\begin{equation}
I = \int \cos[(a-b)x]dx
\end{equation}
e
\begin{equation}
J = \int \cos [(a+b)x]dx
\end{equation}
Seja $u(x) = (a-b)x$. Derivamos o monômio de grau um para utilizarmo-nos do teorema da derivada da função inversa na integral $I$:
\begin{equation*}
u'(x) = a-b \Longrightarrow x'(u) = \frac{dx}{du} = \frac{1}{(a-b)}
\end{equation*}
Multiplicando o diferencial por $\displaystyle 1 = \frac{du}{du}$, o que não altera o resultado da expressão, obtemos:
\begin{equation*}
I = \int \cos [(a-b)x]dx = \int \cos(u)\frac{du}{du} dx = \int \cos (u) \frac{dx}{du} du \\
 I = \int \cos(u) \frac{1}{(a-b)} du
\end{equation*}
Lembrando-nos do fato de que $(a-b)$ é uma constante, pois $a$ e $b$ também os são, o inverso da constante também deve ser, contanto que exista, ou seja $a-b \neq 0 \Longrightarrow a\neq b$.

A primeira integral se resume a:
\begin{equation}
I = \frac{1}{(a-b)} \int \cos (u) du
\end{equation}
Chegamos à simples expressão da integral da função cosseno, que em uma breve consulta às tabelas de integrais notáveis, verificamos que deve ser igual à função seno, mantendo o argumento. Daí:
\begin{equation}
I = \frac{1}{(a-b)} \int \cos(u)du = \frac{1}{(a-b)} \text{sen}(u) = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{(a-b)} + C_1
\end{equation}
Faremos o mesmo processo para encontrar a integral $J$.

Seja $v(x) = (a+b)x$. Assim:
\begin{equation*}
v'(x) = a+b \Longrightarrow x'(v) = \frac{dx}{dv} = \frac{1}{(a+b)}
\end{equation*}
Multiplicando o diferencial por $\displaystyle 1 = \frac{dv}{dv}$, obtemos:
\begin{equation*}
J = \int \cos[(a+b)x]dx = \int \cos(v)\frac{dv}{dv} dx = \int \cos (v) \frac{dx}{dv} dv\\
J = \int \cos(v) \frac{1}{(a+b)}dv = \frac{1}{(a+b)} \int \cos(v)dv
\end{equation*}
Integrando obtemos:
\begin{equation}
J = \frac{1}{(a+b)} \int \cos(v)dv = \frac{1}{(a+b)} \text{sen}(v) = \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{(a+b)} + C_2
\end{equation}
Novamente devemos verificar as condições de existência da constante. Uma rápida verificação nos mostra que $a+b \neq 0 \Longrightarrow a \neq -b$.

Unindo as relações $(7)$ e $(8)$ na integral $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
\int \text{sen}(ax) \text{sen}(bx) = \frac{1}{2}(I-J) = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} - \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)} + C
\end{equation*}

Autor: Mikael Marcondes
Graduação em Física pela USP e
Técnico em Eletrônica

Veja mais:

Resolução da integral $\int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x)dx$
Fórmula de redução para alguns casos de integrais
Teste da integral para convergência de séries


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11 de abr de 2015

Resolução da integral $ \int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x)dx$

Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma produto de senos em uma subtração de cossenos.



Seja a integral:
\begin{equation}
I = \int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x) dx
\end{equation}
Temos um produto de senos que pode ser transformado em uma subtração de cossenos fazendo uso da seguinte identidade trigonométrica:
\begin{equation}
\text{sen}(a)\text{sen}(b) = \frac{1}{2}\left[\cos(a-b) - \cos(a+b)\right]
\end{equation}
Tomando esta identidade, fazemos $a=5x$ e $b=3x$. Assim, a integral se transforma:
\begin{gather}
I = \frac{1}{2} \int \left[\cos(5x-3x) - \cos(5x+3x)\right]dx\\
I = \frac{1}{2} \int \left[\cos(2x) - \cos(8x)\right] dx
\end{gather}
Integrando membro a membro:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2}\int \cos(2x)dx - \frac{1}{2}\int \cos(8x)dx
\end{equation}
Para o integrando $\cos(2x)$, usamos a substituição $u=2x$. Assim, $du=2dx$ e $\displaystyle dx =\frac{1}{2}du$. E para o integrando $\cos(8x)$, usamos a substituição $v=8x$. Assim, $dv=8dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{8}dv$:
\begin{gather}
I = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \int \cos(u)du - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8} \int \cos(v)dv\\
I = \frac{1}{4} \int \cos(u)du - \frac{1}{16} \int \cos(v)dv
\end{gather}
A integral de $\cos(x)$ é $\text{sen}(x)$, assim:
\begin{gather}
I = \frac{1}{4} \text{sen}(u) - \frac{1}{16}\text{sen}(v) + C\\
I = \frac{1}{4} \text{sen}(2x) - \frac{1}{16} \text{sen}(8x) +C\\
I = \frac{1}{16} \left(4~\text{sen}(2x) - \text{sen}(8x)\right) + C
\end{gather}

Exemplo $1$:

Vamos determinar a área sob a curva $\text{sen}(3x)\text{sen}(5x)$ no intervalo $[0,\pi/4]$



A integral definida fica:
\begin{equation*}
I = \int_0^{\pi/4} \text{sen}(3x)\text{sen}(5x)dx
\end{equation*}
\begin{equation*}
I = \left[\frac{1}{4}\text{sen}(2x)-\frac{1}{16}\text{sen}(8x)\right]_0^{\pi/4}\\
I = \left[\frac{1}{4}\text{sen}\left(\frac{2\pi}{4}\right) - \frac{1}{16}\text{sen}\left(\frac{8\pi}{4}\right)\right] - \left[\frac{1}{4}\text{sen}(0) - \frac{1}{16}\text{sen}(0)\right]\\
I = \frac{1}{4}\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{16}\text{sen}\left(2\pi\right)\\
I = \frac{1}{4}\cdot 1 - \frac{1}{16}\cdot 0\\
I = \frac{1}{4} = 0,25
\end{equation*}

Fórmula geral:

Percebi uma forma geral que esta integral em particular se apresenta. Carece de demonstração, mas funcionou para todos os valores que testei.

Se tivermos uma integral do tipo:
\begin{equation}
I= \int \text{sen}(ax)\text{sen}(bx)dx
\end{equation}
A solução será dada por:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2(b-a)}\text{sen}\left((b-a)x\right) - \frac{1}{2(b+a)}\text{sen}\left((b+a)\right)
\end{equation}
Vejamos alguns exemplos:
\begin{align*}
1)~I &= \int \text{sen}(4x) \text{sen}(5x)\\
&= \frac{1}{2(5-4)} \text{sen}((5-4)x) - \frac{1}{2(5+4)} \text{sen}((5+4)x)\\
&= \frac{1}{2}\text{sen}(x)-\frac{1}{18}\text{sen}(9x)
\end{align*}

\begin{align*}
2)~I &= \int \text{sen}(12x) \text{sen}(13x)\\
 &= \frac{1}{2(13-12)} \text{sen}((13-12)x) - \frac{1}{2(13+12)} \text{sen}((13+12)x)\\
&= \frac{1}{2}\text{sen}(x)-\frac{1}{50}\text{sen}(25x)
\end{align*}

\begin{align*}
3)~I &= \int \text{sen}(15x) \text{sen}(27x)\\
 &= \frac{1}{2(27-15)} \text{sen}((27-15)x) - \frac{1}{2(27+15)} \text{sen}((27+15)x)\\
&= \frac{1}{24}\text{sen}(12x)-\frac{1}{84}\text{sen}(42x)
\end{align*}

Veja mais:

Resolução da integral $\int \cos(x)\cos(2x)dx$
Método de integração por substituição
Teste da integral para convergências de séries

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4 de abr de 2015

Resolução da integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$

Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma.



Seja a integral:
\begin{equation}
\int \cos(2x) \cos(x) dx
\end{equation}
Temos um produto de cossenos e os cálculos são facilitados utilizando a seguinte identidade trigonométrica, que transforma um produto de cossenos em uma soma:
\begin{equation}
\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} \left[ \cos(a-b) + \cos(a+b) \right]
\end{equation}
Tomando esta identidade, fazemos $a=2x$ e $b=x$. Assim, a integral se transforma:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2}\int \left[ \cos(2x-x) + \cos(2x+x)\right ] dx\\
I = \frac{1}{2}\int \left[ \cos(x) + \cos(3x)\right]dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \cos(x) dx + \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx
\end{equation}
A integral de $\cos(x) = \text{sen}(x)$. Assim:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx
\end{equation}
Para o integrando $\cos(3x)$, usamos a substituição $u=3x$. Assim, $du=3dx$ e $\displaystyle dx=\frac{1}{3} du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{2} \frac{1}{3} \int \cos(u) du\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \int \cos(u) du\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \text{sen}(u) + C\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \text{sen}(3x) + C
\end{equation*}
ou
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \left[\text{sen}(x) + \frac{1}{3} \text{sen}(3x)\right] + C
\end{equation*}
ou ainda:
\begin{equation}
I = \frac{1}{6} \left[ 3~\text{sen}(x) + \text{sen}(3x) \right] + C
\end{equation}

Exemplo $1$:

Vamos determinar a área sob a curva $\cos(x)\cos(2x)$ no intervalo $[0,\pi/2]$.



A integral definida fica:
\begin{equation*}
I = \int_0^{\pi /2} \cos(x)\cos(2x)dx
\end{equation*}
\begin{equation*}
I = \left[\frac{1}{2} \text{sen}(x) +\frac{1}{6} \text{sen}(3x)\right]_0^{\pi/2}\\
I = \left[\frac{1}{2} \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{1}{6}\text{sen}\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right] - \left[\frac{1}{2}\text{sen}(0)+\frac{1}{6}\text{sen}(0)\right]\\
I = \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot(-1)\\
I = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,33333
\end{equation*}

Veja mais:

Integral de $\cos^2(x)dx$
Método de integração por substituição
Teste da integral para convergências de séries

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29 de mar de 2015

Prova do Teorema de Pitágoras, baseado nas relações métricas da circunferência

Esta demonstração do teorema de Pitágoras, baseia-se nas relações métricas da circunferência.


Considere o triângulo $ABC$. Tomando como centro o ponto $B$ e raio igual a hipotenusa $AB$, traçamos uma circunferência.

A seguir prolongamos os catetos $AC$ e $BC$, interceptando a circunferência nos pontos $L$, $D$ e $E$ respectivamente.

Pelo teorema das cordas, temos:
\begin{equation}
AC \cdot CL = DC \cdot CE
\end{equation}
Note que
\begin{equation}
DC = DB + BC = AB + BC
\end{equation}
e
\begin{equation}
CL = AC
\end{equation}
e
\begin{equation}
CE = BE - BC = AB - BC
\end{equation}
Substituindo $(2)$, $(3)$ e $(4)$ em $(1)$, segue que:
\begin{equation}
AC^2 = (AB + BC) \cdot (AB - BC) = AB^2 - BC^2
\end{equation}
Logo:
\begin{equation}
AB^2 = AC^2 + BC^2
\end{equation}

Referências:

[1] Prova do Teorema de Pitágoras (5) no blog Fatos Matemáticos

Veja mais:

O Teorema de Pitágoras segundo Euclides
Construção geométrica de $\varphi$ em circunferências
Ternos Pitagóricos: A tábua de Plimpton $322$


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18 de fev de 2015

A Multiplicação Egípcia

Todos os $110$ problemas contidos nos papiros de Moscou e Rhind são numéricos, sendo alguns de origem prática e outros teóricos.


Basicamente a multiplicação era efetuada por uma sucessão de duplicações de um fator e o outro fator dado por uma soma de potências de base $2$. O fato é que podemos expressar qualquer número como uma soma de potências de $2$. Como por exemplo o número $5=2^2+2^0$ e o número$19=2^4+2^1+2^0$.

O que os egípcios faziam era encontrar uma combinação das potências de $2$ de modo a obter um dos fatores da multiplicação desejada.

Em uma das colunas, dispunham os números de base $2$ até o número imediatamente inferior a um dos fatores. Na outra coluna escreviam duplicações do segundo fator. Na coluna das potências de $2$, identificavam as potências cuja soma seria igual a um dos fatores e somavam as duplicações correspondentes da outra coluna, encontrando o produto desejado.

Vejamos a seguir alguns exemplos.

Exemplo $1$: Encontrar o produto de $26$ por $41$

Primeiramente, escolhemos qual dos dois fatores será representado na coluna das potências de $2$. Tomemos o número $26$, mas também poderia ser o número $41$.


Paramos no número $16$ porque o próximo número da sequência é o $32$, que é maior do que o fator $26$. Na outra coluna escrevemos duplicações do segundo fator:


Como $26=16+8+2$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $41$ na outra coluna:


Assim:
\begin{equation*}
26 \times 41 = 82 + 328 + 656 = 1066
\end{equation*}

Exemplo $2$: Encontrar o produto de $112$ por $173$

Tomemos o número $112$ para ser representado na coluna das potências de $2$


Paramos no $64$ porque o próximo número da sequência é o $128$, que é maior do que o fator $112$. Na outra coluna escrevemos duplicações do segundo fator:


Como $112 = 64 + 32 + 16$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $173$ na outra coluna:


Assim:
\begin{equation*}
112 \times 173 = 2768 + 5536 + 11072 = 19376
\end{equation*}

Os egípcios usavam hieróglifos para representar números em base $10$:


Vejamos como ficaria uma multiplicação egípcia com seus hieróglifos.

Exemplo $3$: Encontrar o produto de $17$ por $23$


Os números $17$ e $23$ são representados assim pelos hieróglifos egípcios:


Tomemos o número $17$ na primeira coluna. Colocamos os hieróglifos nas potências de base $2$:


As duplicações de $23$ são: $46$, $92$, $184$, $368$. Escrevemos na segunda coluna os hieróglifos correspondentes:


Como $17=16+1$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $23$ na outra coluna:


Assim, $17 \times 23 = 368 + 23 = 391$. Escritos em hieróglifos:


Uma observação interessante é que esta soma final assemelha-se ao que fazemos no ábaco. Pois quando somamos $3$ hastes com $8$ hastes, obtemos $11$ hastes. Então, trocamos $10$ hastes por $1$ arco de cesto e mantemos uma haste.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática - Howard Eves - Ed. Unicamp
[2] Hieróglifos retirados do site http://discoveringegypt.com

Veja mais:


Método da multiplicação dos camponeses russos
Método da gelosia para multiplicações 
Método da falsa posição
Frações unitárias


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16 de fev de 2015

No começo, era o número

Admite-se que certas espécies animais são capazes de perceber diferenças quantitativas concretas: a falta de um filhote na ninhada, a maior ou menor abundância de alimento, ... As crianças, da mesma forma, bem antes de saberem falar, manifestam uma espécie de percepção quantitativa, evidentemente associada a objetos familiares. Com o desenvolvimento da linguagem e com o uso da palavra, tal percepção quantitativa aumentou tanto e chegou a tal nível de sofisticação que permitiu a determinadas culturas dar o nome a imensidades de coisas, como as estrelas no céu, as árvores, mares, ... Permitiu-lhes até mesmo tentar conter o infinito nas redes do número.

O que significa contar

Dentre os poderes conferidos pela palavra, um dos mais antigos é talvez o de dar nomes aos números. Acaso a "numeração" não consiste em um ordenamento, uma organização real e das representações que dele fizemos?

Em certos idiomas europeus, por exemplo, observa-se uma grande semelhança ou mesmo a quase identificação de pares de verbos dos quais um designa enumeração e outro, relato: compter/raconter (francês); contare/raccontare (italiano); contar/contar (espanhol e português); comptar/contar (catalão); zählen/erzählen (alemão). E do idioma inglês a palavra tale é hoje empregada com o significado de "conto" ou "relato", mas a palavra teller designa tanto um contador de histórias como um caixa de banco. Não surpreende, assim, que a mesma semelhança seja encontrada nos idiomas indo-europeus mais antigos.

O termo sânscrito que designa número, sankhya, expressa etimologicamente um modo de dizer as coisas. O termo grego logos, que designa tanto "conta" como "palavra" e "relato", recebeu essas diversas acepções do antigo significado do verbo lego: reunir, escolher, dizer. Também a palavra grega arithmos designa o número, no sentido aritmético, e igualmente a ordem, o arranjo ou disposição. Tal ambivalência veio a persistir no termo latino numerus e seus derivados: o adjetivo numerosus quer dizer "numeroso" e também "harmonioso".

Qualquer que seja a capacidade de determinado idioma para designar os números é evidente que os termos que designam os números vêm de uma época antiquíssima da história desse idioma. E são termos, aliás, que mostram surpreendente estabilidade ao longo do tempo. São ecos do esforço imemorável do homem para expressar a diversidade do real, e permitem-nos às vezes vislumbrar o processo pelo qual diversas ordens de quantidade receberam seus nomes.


Ordenar, reunir, numerar

Qualquer sistema de números, por mais elementar que seja, supõe a adoção de alguns símbolos (palavras, pictogramas, sinais gráficos) estruturados em dois princípios: um é o princípio de ordenamento ou disposição, que permite distinguir o primeiro símbolo (um) do segundo (dois) e eventualmente do terceiro (três), e assim por diante; e o outro é o princípio de agrupamento, que interrompe a produção de símbolos individuais diferentes, estabelecendo um símbolo de ordem superior, cuja combinação com os precedentes permite reiniciar o sistema. Assim, "um, dois, três, $\cdots$, dez, dez-um, dez-dois, $\cdots$, dez-dez ou cem, cento e um, cento e dois, $\cdots$" é um sistema baseado em $10$, ou seja, um sistema decimal.

Outras bases, porém, já foram ou ainda são utilizada, como a base $2$ (sistema binário), utilizada em sistemas lógicos, amplamente aplicado à computação, base $5$ (sistema quinário), associada aos dedos das mãos e pés, base $60$ (sistema sexagesimal), antigamente utilizada pelos babilônios e hoje ainda empregado na marcação das horas, minutos e segundos de um dia, base $20$ (sistema vigesimal), antigamente utilizada pelos maias, na América, base $16$ (sistema hexadecimal), também vinculada à computação, entre outras. Parece provável que a escolha das bases $5$, $10$ ou $20$ estivessem inicialmente ligada a particularidades do corpo humano, e ainda se percebem vestígios dessa ligação em determinadas numerações orais: na língua api, falada nas Novas Hébridas, grupo de ilhas no sul do Oceano Pacífico, a palavra luna designa a mão e o número $5$; o nome do número $2$ é lua, e o número $10$ é lualuna, o que significa literalmente duas mãos.

[Plimpton 322 é uma tábua de argila em escrita cuneiforme com registros da matemática babilônica.]


É espantosa a diversidade das regras segundo as quais se formam os nomes dos números e que manifestam a diversidade cultural e linguística.

É preciso admitir nosso pouco conhecimento da maneira prática pela qual se faziam cálculos nos tempos antigos. Certamente, os números tinham de ser representados, e já possuíam, no idioma, uma designação precisa. Paralelamente à numeração gestual que se valia dos dedos (numeração digital), quer uma representação que precisasse de alguma base material: um ábaco, uma tabela de contar, um tabuleiro de areia ou uma corda com nós. Tal representação numérica, em certos casos, é o antecedente de algumas formas de numeração escrita.

 [Baixo-relevo pintado de Nefertiabet, que mostra uma mesa de oferendas (Egito, $2700a.C.$). Podem-se identificar vários algarismos da numeração hieroglífica egípcia (embaixo, à direita, o hieróglifo $1.000$ aparece quatro vezes). Clique aqui e veja a imagem em $2300\times 1659$.]

Referências:

[1] Matemática Volume Único - Benigno Barreto & Claudio Xavier - Editora FTD

Veja mais:


Euclides e a Geometria dedutiva
A história do símbolo do infinito
Ternos Pitagóricos: A Tábua de Plimpton 322


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7 de fev de 2015

A Regra de Chió para o cálculo de determinantes

Toda matriz quadrada, de qualquer ordem, tem associada a ela um número chamado determinante da matriz.

Existem alguns métodos para calcular o determinante de uma matriz, como por exemplo a Regra de Sarrus e o Teorema de Laplace utilizando a Matriz de Cofatores.



A Regra de Chió é muito prática se o elemento $a_{11}$ da matriz for igual a $1$, o que nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem $n$ usando uma matriz de ordem $n-1$.

Dada uma matriz quadrada de ordem $n$ sendo $a_{11}=1$:
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
\end{equation*}
obtemos uma matriz de ordem $n-1$ fazendo:
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
a_{22}-(a_{12}\cdot a_{21}) & a_{23}-(a_{13}\cdot a_{21}) & \cdots & a_{2n}-(a_{1n}\cdot a_{21})\\
a_{32}-(a_{12}\cdot a_{31}) & a_{33}-(a_{13}\cdot a_{31}) & \cdots  &a_{3n}-(a_{1n}\cdot a_{31}) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n2}-(a_{12}\cdot a_{n1}) & a_{n3}-(a_{13}\cdot a_{n1}) & \cdots & a_{nn}-(a_{1n}\cdot a_{n1})
\end{bmatrix}
\end{equation*}

Exemplo $1$:

Seja $M$ a matriz quadrada de ordem $4$. Calcular o determinante usando a Regra de Chió.
\begin{equation*}
M=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & -1\\
1 & 3 & 6 & 9\\
4 & 1 & 2 & 0\\
-2 & 2 & 3 & -4
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Como o elemento $a_{11}=1$, então fazemos:
\begin{equation*}
\det{M}=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol {\color{red}{1}} & \boldsymbol{\color{blue}{2}} & \boldsymbol{\color{blue}{0}} & \boldsymbol{\color{blue}{-1}}\\
\boldsymbol{\color{green}{1}} & 3 & 6 & 9\\
\boldsymbol{\color{green}{4}} & 1 & 2 & 0\\
\boldsymbol{\color{green}{-2}} & 2 & 3 & -4
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det{M}=
\begin{vmatrix}
3-(\boldsymbol {\color{blue}{2}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{1}}) & 6-(\boldsymbol {\color{blue}{0}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{1}}) & 9-(\boldsymbol {\color{blue}{(-1)}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{1}})\\
1-(\boldsymbol {\color{blue}{2}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{4}})& 2-(\boldsymbol {\color{blue}{0}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{4}}) & 0-(\boldsymbol {\color{blue}{(-1)}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{4}})\\
2-(\boldsymbol {\color{blue}{2}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-2)}}) & 3-(\boldsymbol {\color{blue}{0}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-2)}}) & -4-(\boldsymbol {\color{blue}{(-1)}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-2)}})
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det{M}=
\begin{vmatrix}
1 & 6 & 10\\
-7 & 2 & 4\\
6 & 3 & -6
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Aqui poderíamos aplicar a Regra de Sarrus, mas vamos aplicar novamente a Regra de Chió, já que o elemento $a_{11}=1$ e assim obteremos um determinante a partir de uma matriz de ordem $2$, resolvido rapidamente.
\begin{equation*}
\det{M}=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol {\color{red}{1}} & \boldsymbol{\color{blue}{6}} & \boldsymbol{\color{blue}{10}} \\
\boldsymbol{\color{green}{-7}} & 2 & 4 \\
\boldsymbol{\color{green}{6}} & 3 & -6
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det{M}=
\begin{vmatrix}
2-(\boldsymbol {\color{blue}{6}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-7)}}) & 4-(\boldsymbol {\color{blue}{10}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(-7)}}) \\
3-(\boldsymbol {\color{blue}{6}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(6)}}) & -6-(\boldsymbol {\color{blue}{10}} \cdot \boldsymbol {\color{green}{(6)}})
\end{vmatrix}
\\
\:
\
\det{M}=
\begin{vmatrix}
44 & 74\\
-33 & -66
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det{M}=(44 \cdot (-66))  - (74 \cdot (-33))=-462
\end{equation*}
Assim, o determinante da matriz $M$ é igual a $-462$.

Observações:

$1)$ Se o elemento $a_{11} \neq 1$ e existir algum elemento da matriz que seja igual a $1$, então podemos obter uma matriz equivalente trocando a posição de duas filas (colunas ou linhas).

Ao trocarmos de posição duas filas de uma matriz, o determinante da nova matriz é o oposto do determinante da matriz anterior, ou seja, tem o sinal trocado.

Por exemplo: seja a matriz:
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 0 &-1\\
2 & 3 & 6 &9\\
4 & 1 & 2 &0\\
-2 & 2 & 3 &-1
\end{bmatrix}
\end{equation*}
O determinante da matriz $A$ será dado por:
\begin{equation*}\det{A}=
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 0 &-1\\
2 & 3 & 6 &9\\
4 & 1 & 2 &0\\
-2 & 2 & 3 &-1
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Trocando a primeira linha pela terceira, obtemos:
\begin{equation*}\det{A}=-
\begin{vmatrix}
4 & 1 & 2 &0\\
2 & 3 & 6 &9\\
3 & 2 & 0 & -1\\
-2 & 2 & 3 &-1
\end{vmatrix}
\end{equation*}
E agora trocamos a primeira coluna pela segunda:
\begin{equation*}\det{A}=
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 2 &0\\
3 & 2 & 6 &9\\
2 & 3 & 0 & -1\\
2 & -2 & 3 &-1
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Vejam que o sinal do determinante passou de $+$ para $-$ e depois para $+$.

$2)$ Se o elemento $a_{11} \neq 1$ e n]ao houver qualquer elemento da matriz igual a $1$, podemos criar elementos igual a $1$ na matriz usando o Teorema de Jacobi que essencialmente diz que o determinante de uma matriz quadrada não se altera se adicionarmos aos elementos de uma fila qualquer, os elementos correspondentes de outra fila paralela previamente multiplicada por uma constante.

Por exemplo: Seja a matriz:
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 0 & -1\\
2 & 3 & 6 & 9\\
4 & 5 & 2 & 0\\
-2 & 2 & 3 & -4
\end{bmatrix}
\end{equation*}
O determinante da matriz $A$ será dado por:
\begin{equation*}
\det A=\begin{vmatrix}
3 & 2 & 0 & -1\\
2 & 3 & 6 & 9\\
4 & 5 & 2 & 0\\
-2 & 2 & 3 & -4
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Como não há um elemento da matriz igual a $1$, vamos criá-lo multiplicando a segunda linha por $-1$ e somá-la à primeira:
\begin{equation*}
\det A=\begin{vmatrix}
3 & 2 & 0 & -1\\
\boldsymbol{\color{red}{2}} & \boldsymbol{\color{red}{3}} & \boldsymbol{\color{red}{6}} & \boldsymbol{\color{red}{9}}\\
4 & 5 & 2 & 0\\
-2 & 2 & 3 & -4
\end{vmatrix}
\begin{matrix}
\longleftarrow &  + &  \looparrowleft \\
\longrightarrow &  \times  &(-1)   \\
~\\
~\\
\end{matrix}
=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{blue}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-6}}&\boldsymbol{\color{blue}{-10}}\\
2&3&6&9\\
4&5&2&0\\
-2&2&3&-4
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Ao calcularmos o determinante da matriz equivalente, veremos que é igual ao determinante da matriz original.

$3)$ Se o elemento $a_{11} \neq 1$ e não houver outro elemento igual a $1$ na matriz, podemos criar elementos igual a $1$ na matriz colocando um fator $k$ comum a uma fila em evidência, pois se todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número $k$, então seu determinante fica multiplicado por $k$.

Por exemplo: Seja a matriz:
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
2&4&-2\\
10&6&0\\
4&-4&10
\end{bmatrix}
\end{equation*}
O determinante da matriz $A$ será dado por:
\begin{equation*}
\det A=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{red}{2}}&\boldsymbol{\color{red}{4}}&\boldsymbol{\color{red}{-2}}\\
10&6&0\\
4&-4&10
\end{vmatrix}
=
2
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{blue}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{2}}&\boldsymbol{\color{blue}{-1}}\\
10&6&0\\
4&-4&10
\end{vmatrix}
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Encontrar o determinante da matriz quadrada de ordem $5$ abaixo:
\begin{equation*}
M=
\begin{bmatrix}
2&-1&0&3&2\\
-2&3&2&0&-2\\
-3&2&-1&-5&4\\
-1&3&2&-2&0\\
0&4&-2&-1&3
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Nesta matriz, o elemento $a_{11}\neq 1$ e não há nenhum outro elemento da matriz que seja igual a $1$. Para que o elemento $a_{11}$ seja igual a $1$, multiplicamos a segunda coluna por $1$ e somamos o resultado com a primeira coluna:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
2&\boldsymbol{\color{red}{-1}}&0&3&2\\
-2&\boldsymbol{\color{red}{3}}&2&0&-2\\
-3&\boldsymbol{\color{red}{2}}&-1&-5&4\\
-1&\boldsymbol{\color{red}{3}}&2&-2&0\\
0&\boldsymbol{\color{red}{4}}&-2&-1&3
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{blue}{1}}&-1&0&3&2\\
\boldsymbol{\color{blue}{1}}&3&2&0&-2\\
\boldsymbol{\color{blue}{-1}}&2&-1&-5&4\\
\boldsymbol{\color{blue}{2}}&3&2&-2&0\\
\boldsymbol{\color{blue}{4}}&4&-2&-1&3
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Agora, podemos aplicar a Regra de Chió:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{red}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-1}}&\boldsymbol{\color{blue}{0}}&\boldsymbol{\color{blue}{3}}&\boldsymbol{\color{blue}{2}}\\
\boldsymbol{\color{green}{1}}&3&2&0&-2\\
\boldsymbol{\color{green}{-1}}&2&-1&-5&4\\
\boldsymbol{\color{green}{2}}&3&2&-2&0\\
\boldsymbol{\color{green}{4}}&4&-2&-1&3
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
=
\begin{vmatrix}
3-(\color{blue}{-1}\cdot \color{green}{1}) & 2-(\color{blue}{0}\cdot \color{green}{1}) & 0-(\color{blue}{3}\cdot \color{green}{1}) & -2-(\color{blue}{2}\cdot \color{green}{1})\\
2-(\color{blue}{-1}\cdot \color{green}{(-1)}) & -1-(\color{blue}{0}\cdot \color{green}{(-1)}) & -5-(\color{blue}{3}\cdot \color{green}{(-1)}) & 4-(\color{blue}{2}\cdot \color{green}{(-1)})\\
3-(\color{blue}{-1}\cdot \color{green}{2}) & 2-(\color{blue}{0}\cdot \color{green}{2}) & -2-(\color{blue}{3}\cdot \color{green}{2}) &0-(\color{blue}{2}\cdot \color{green}{2})\\
4-(\color{blue}{-1}\cdot \color{green}{4}) & -2-(\color{blue}{0}\cdot \color{green}{4}) & -1-(\color{blue}{3}\cdot \color{green}{4}) & 3-(\color{blue}{2}\cdot \color{green}{4})
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
=
\begin{vmatrix}
4&2&-3&-4\\
1&-1&-2&6\\
5&2&-8&-4\\
8&-2&-13&-5
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Agora, trocamos a segunda linha pela primeira e aplicamos a Regra de Chió novamente. Como estaremos trocando apenas um linha, não podemos nos esquecer de trocar o sinal do determinante:
\begin{equation*}
\det M=-
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{red}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-2}}&\boldsymbol{\color{blue}{6}}\\
\boldsymbol{\color{green}{4}}&2&-3&-4\\
\boldsymbol{\color{green}{5}}&2&-8&-4\\
\boldsymbol{\color{green}{8}}&-2&-13&-5
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
=-
\begin{vmatrix}
2-(-1\cdot 4) & -3-(-2\cdot 4) & -4-(6\cdot 4)\\
2-(-1 \cdot 5) & -8-(-2 \cdot 5) & -4-(6 \cdot 5)\\
-2-(-1\cdot 8) & -13-(-2\cdot8) & -5-(6\cdot8)
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
=-
\begin{vmatrix}
6&5&-28\\
7&2&-34\\
6&3&-53
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Aqui, podemos aplicar a Regra de Sarrus ou ainda aplica a Regra de Chió novamente. Primeiramente trocamos a segunda linha pela primeira, já trocando o sinal do determinante:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
7&2&-34\\
6&5&-28\\
6&3&-53
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Agora, multiplicamos a segunda linha por $-1$ e somamos o resultado à primeira linha:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
1&-3&-6\\
6&5&-28\\
6&3&-53
\end{vmatrix}
\end{equation*}
Agora que o elemento $a_{11}=1$, aplicamos a Regra de Chió:
\begin{equation*}
\det M=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\color{red}{1}}&\boldsymbol{\color{blue}{-3}}&\boldsymbol{\color{blue}{-6}}\\
\boldsymbol{\color{green}{6}}&5&-28\\
\boldsymbol{\color{green}{6}}&3&-53
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det M=\begin{vmatrix}
5-(-3\cdot 6) & -28-(-6\cdot 6)\\
3-(-3\cdot 6) & -53-(-6\cdot 6)
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det M=
\begin{vmatrix}
23 & 8\\
21 & -17
\end{vmatrix}
\\
\:
\\
\det M=(23 \cdot (-17))-(21 \cdot 8)=-559
\end{equation*}

Referências:

[1] Matemática, Contexto & Aplicações V2 - Dante - Editora Ática

Veja mais:

Matrizes e o controle de tráfego
O Método de Castilho para resolução de sistemas lineares
Sistemas lineares e determinantes: Origens e desenvolvimento


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