26 de mai de 2016

A primeira Garrafa de Klein

O amor é como a Garrafa de Klein.
Não tem limites e nos coloca em outra dimensão.


Felix Christian Klein nasceu a $25$ de abril de $1849$ em Düsseldorf, Prússia, atual Alemanha e morreu em 22 de junho em Göttingen, Alemanha.

Em $1908$ criou a Comissão Internacional de Instrução Matemática, que padronizou o ensino de matemática no mundo. Trabalhou de $1908$ até $1920$ em uma pesquisa cujo objeto era a evolução da Educação Matemática em diversos países. A garrafa de Klein foi estudada em $1882$.

Conhecida por suas “propriedades estranhas”, a garrafa de Klein é um objeto matemático que vive em um espaço de quatro dimensões embora possa ser visualizado em um espaço de três dimensões. A garrafa de Klein, um conceito da matemática bastante interessante, trata-se de uma superfície fechada sem margens e não orientável, isto é, uma superfície onde não é possível definir um “interior” e um “exterior”.

A Garrafa de Klein é uma superfície não-orientável ou informalmente, uma superfície na qual as noções de esquerda e direita ou acima e abaixo não podem ser definidas.

A Garrafa de Klein pode ser construída no sentido matemático, porque esta não pode ser concebida fisicamente sem permitirmos que a superfície apresente uma intersecção com ela mesma pela junção de ambos os lados de duas fitas de Möbius.

A fita de Möbius é um espaço topológico obtido pela colagem das duas extremidades de uma fita, após efetuar meia volta numa delas. Deve o seu nome a August Ferdinand Möbius, que a estudou em $1858$.


Quem construiu efetivamente a primeira Garrafa de Klein foi Mitsugi Ohno, nascido a $28$ de junho de $1926$ em Bato-Machi, Tochigi-Ken, Japão.

Mitsugi graduou-se no curso elementar em $1939$. Foi enviado a Tokio por seus pais onde seria aprendiz de seu tio que havia adquirido a Companhia Takagi de instrumentos científicos em vidro. Durante a guerra, Mitsugi trabalhou como soprados de vidro no departamento de pesquisa da Divisão de Suprimentos de Medicina Naval.

Em $1961$ migrou para os Estados Unidos, onde desenvolveu as vidrarias usadas na Universidade Estadual de Kansas.

Nas horas vagas ele produzia esculturas de vidro em escala reduzida. Suas esculturas de vidro eram extremamente detalhadas e Mitsugi tornou-se conhecido na Universidade de Kansas por dizer: “Tudo aquilo que pode ser produzido com o vidro, sou capaz de fazer”.

O Professor Cardwell lhe fez um desafio: construir uma garrafa de Klein legítima em vidro.

Após vários dias tentando, construir a garrafa de Klein com uma única abertura, Mitsugi afirmou que o objeto seria impossível de fabricar em vidro. Mas, algum tempo depois, a solução do problema foi revelada a ele em um sonho e Mitsugi foi ao laboratório para soprar o vidro e fabricá-la. Essa foi a mais complexa obra de Mitsugi ao longo de sua carreira como soprador de vidro.


Referências:

[1] http://www.blog.mcientifica.com.br
[2] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history

Veja mais:

O Cálculo no Japão
As figuras de Kolam e o bracelete de Krishna
Lobachevsky e as geometrias não-euclidianas


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1 de mai de 2016

Resolução da Integral $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx$

Nesta postagem, veremos que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx = x+ \ln|x-1|- \ln|x+1| + C
\end{equation*}
onde $x \in \mathbb{R}$, sendo $x \neq \pm 1$.



Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx
\end{equation*}
Decompomos o integrando como uma soma de frações unitárias:
\begin{equation*}
I = \int \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1\right) dx
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I = \int\frac{dx}{x-1} - \int \frac{dx}{x+1} +\int dx
\end{equation*}
Para o integrando$\displaystyle \frac{1}{x-1}$, fazemos a substituição $u = x-1$ e $du=dx$:
\begin{equation*}
I = \int \frac{du}{u} - \int \frac{dx}{x+1} + \int dx
\end{equation*}
Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{x+1}$, fazemos a substituição $v=x+1$ e $dv=dx$:
\begin{equation*}
I = \int \frac{du}{u} - \int \frac{dv}{v} + \int dx
\end{equation*}
A integral de $1/u$ é $\ln |u|$. A integral de $1/v$ é $\ln |v|$ e a integral de $1$ é $x$. Assim:
\begin{equation*}
I = \ln |u| - \ln |v| + x + C
\end{equation*}
Mas $u=x-1$ e $v=x+1$. Logo:
\begin{equation*}
I = x + \ln |x-1| - \ln |x+1| + C
\end{equation*}

Exemplo $1$

Calcular a área entre a curva $\displaystyle f(x) \frac{x^2+1}{x^2-1}$ e o eixo dos $x$, compreendida no intervalo $\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$.



Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$, utilizamos o conceito de integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{x^2+1}{x^2-1} dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2+1}{x^2-1} dx = x +\ln|x-1| - \ln |x+1|
\end{equation*}
Obtemos:
\begin{equation*}
A = \left[x + \ln|x-1| - \ln|x+1| \right]_{-1/2}^{1/2}\\
\ \\
A = \left(\frac{1}{2} + \ln \left| \frac{1}{2}-1\right| - \ln\left|\frac{1}{2}+1\right|\right) - \left(-\frac{1}{2} + \ln\left|-\frac{1}{2}-1\right| - \ln \left|-\frac{1}{2}+1\right|\right)\\
\ \\
A = \frac{1}{2} + \ln\left|-\frac{1}{2}\right| - \ln \left|\frac{3}{2}\right| + \frac{1}{2} - \ln \left|-\frac{3}{2}\right| + \ln\left|\frac{1}{2}\right|\\
\ \\
A \approx -1,1972246

\end{equation*}
O valor negativo só quer dizer que a curva no intervalo especificado, encontra-se sob o eixo dos $x$. Assim, a área compreendida entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$, no intervalo $[-1/2,1/2]$, vale aproximadamente $1,1972346$.

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Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes


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8 de fev de 2016

Resolução da integral $\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\ dx$

Nesta postagem vermos que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C
\end{equation*}
onde $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$.


[Família de funções integráveis do tipo $\displaystyle \frac{1}{ax+b}$]

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{ax+b}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos a substituição $u=ax+b$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx=\frac{1}{a}du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u}\ du
\end{equation*}
A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln (u)$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \cdot \ln|u| + C
\end{equation*}
Mas $u=ax+b$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \cdot \ln|ax+b| + C
\end{equation*}

Exemplo:

Encontrar a área entre a curva $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2x+1}$ e o eixo dos $x$, compreendida no intervalo de $[0,1]$.



Para calcularmos a área entre a curva $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2x+1}$ e o eixo dos $x$ nos limites $x=0$ e $x=1$, usamos a integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_0^1 \frac{1}{2x+1}\ dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b|
\end{equation*}
fazemos $a=2$ e $b=1$, obtendo:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{1}{2}\ \ln|2x+1| \right]_0^1 = \left[ \frac{1}{2} \ln(3) - \frac{1}{2}\ln (1)\right] \approx 0,54931
\end{equation*}
Assim, a área compreendida entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$ no limite $[0,1]$ vale aproximadamente $0,54931$ unidades de área.

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Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes

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31 de jan de 2016

Métodos da Ciência Física

Atualmente, quase toda a pesquisa científica exige a manipulação e a análise de uma quantidade inimaginável de dados.

Com o advento do computador, pouco depois da Segunda Guerra Mundial, o tratamento desses dados passou a ser feito num tempo muito menor.

O primeiro computador a válvula, conhecido como ENIAC (Eletronic Numerical Integrator and Computer), criado na Universidade de Pensilvânia nos EUA, em $1946$, era capaz de calcular a trajetória de bombas lançadas por canhões antes que elas atingissem o alvo. Um grande feito para a época. Hoje, os computadores pessoais podem realizar tarefa semelhante em segundos, com uma precisão muito maior, e estão presentes em diversas áreas.

Veremos neste artigo como os cientistas obtêm dados e como utilizam deles para resolver problemas práticos.


[ENIAC - Eletronic Numerical Integrator and Computer]

Registro histórico

Nos anos $1930$, as chamadas radiotelefônicas da América para a Europa apresentavam muito ruído. Karl Jansky $(1905-1950)$, um engenheiro de Nova Jersey, EUA, foi incumbido de descobrir a fonte desses problemas.

Ele construiu um sistema de antenas e montou-o sobre o chassi de um automóvel antigo, de modo que a antena pudesse se deslocar em uma trajetória circular. Descobriu, então, que a maior parte desse ruído era causada por tempestades próximas e por outros distúrbios elétricos atmosféricos mais afastados. Entretanto, mesmo depois de essas fontes terem sido encontradas e saneadas, um ruído de fundo persistia durante as transmissões.

Após gravar o ruído por um longo período de tempo, Jansky percebeu que ele apresentava certa regularidade: era mais acentuado à mesma hora todos os dias. Além disso, observou que a fonte desses ruídos de fundo movimentava-se atravessando o céu de leste para oeste, o que levou a acreditar que ela situava fora da Terra. Em outras palavras, a Terra estava recebendo ondas de rádio transmitidas do espaço. Qual seria sua origem?

Método científico

Cientista é a pessoa interessada em fazer determinadas perguntas e obter respostas para elas de maneira organizada.

O trabalho científico pode ser dividido em duas áreas: ciência pura e ciência aplicada.

A ciência pura envolve o questionamento e a busca de respostas para a obtenção de novos conhecimentos. Um cientista que se dedique às ciências puras busca respostas científicas para perguntas como: "Quais partículas constituem a matéria?" ou "Do que é feito o Universo?".

As ciências aplicadas usam conhecimentos provenientes das ciências puras para resolver problemas práticos. Um cientista que se dedique às ciências aplicadas pode trabalhar na busca de um novo medicamento ou de um novo material resistente ao calor, por exemplo.

Muitas vezes é difícil separar a ciência pura da ciência aplicada. Jansky estava trabalhando em um problema prático, mas acabou descobrindo novas características das ondas de rádio

Um cientista resolve problemas cientificamente utilizando o chamado método científico. Esse método permite resolver problemas de maneira ordenada. com base em certos processos. Mas nem todos os cientistas seguem os mesmos procedimentos e na mesma ordem.

Podemos tomar como exemplo de método científico aquele utilizado por Jansky. Seu primeiro passo foi identificar o problema e estabelecer claramente uma pergunta: "Qual é a fonte do ruído que ocorre nas chamadas telefônicas para a Europa?".

Em seguida, fez observações. Uma observação é qualquer informação que chega até nós por meio de nossos sentidos. Tudo o que podemos ver, ouvir, sentir, tocar ou cheirar é uma observação. Os cientistas fazem observações cuidadosas, pois querem conhecer o máximo possível sobre o problema em que estão trabalhando. Como os sinais de rádio não são perceptíveis diretamente por nossos sentidos, Jansky construiu um sistema de antenas para captar os ruídos e descobrir a fonte deles.

[Sistema de antenas desenvolvida por Jansky]

Os instrumentos científico permitem fazer observações mais precisas do que as obtidas por nossos sentidos. Podem incluir desde computadores, telescópios, microscópios, lasers, termômetros, balanças, ou até mesmo uma simples régua.

O terceiro passo de Jansky foi formular uma hipótese, ou seja, uma explicação possível e razoável para aquilo que foi observado. Inicialmente ele acreditava que o ruído era decorrente de distúrbios elétricos originados por tempestades.

Para determinar se suas hipóteses estão corretas, os cientistas realizam experimentos para testá-los. Os registros de Jansky mostravam que a quantidade de ruído aumentava significativamente durante as tempestades. Com base nesta constatação, ele percebeu que sua hipótese aparentemente estava correta.

Entretanto, depois de outro experimento com tempo bom, ele continuou a ouvir o ruído, o que não podia ser explicado por sua primeira hipótese. Isso acontece muitas vezes em experimentos científicos: as informações obtidas podem contradizer a hipótese inicialmente testada. Torna-se, então, necessário descartá-la ou modificá-la para poder explicar as novas informações obtidas.

Jansky precisou olhar mais longe para descobrir a fonte desse ruído. Seus registros mostravam um padrão no ruído residual, que, no começo, sugeria que ele tinha origem solar: o ruído movimentava-se de leste para oeste todos os dias. Após fazer mais observações, ele finalmente concluiu que a fonte daquele ruído eram estrelas no centro da nossa galáxia: a Via Láctea.

[Karl Jansky analisando e apontando a região da galáxia que seria a fonte de emissão do forte ruído cósmico] 

Jansky foi o primeiro cientista a observar ondas de rádio originadas de corpos celestes. Seus experimentos foram divulgados em publicações científicas e outros pesquisadores puderam aprender mais sobre essa descoberta. A partir dela desenvolveu-se um campo de pesquisa inteiramente novo: a Radioastronomia.

A figura abaixo resume os passos do método científico:


[Fluxograma resumido do método científico ]

Entretanto, o método científico não é a única forma pela qual a Ciência se desenvolve. O conhecimento científico pode avançar por tentativas, com erros e acertos, podendo até mesmo se desenvolver a partir de uma descoberta acidental.

Os raios X, por exemplo, foram descobertos acidentalmente quando, na tarde de $8$ de novembro de $1895$, o físico alemão Wilhelm Conrad Röntgen $(1845-1923)$ estudava o fenômeno da luminescência produzida por raios catódicos num tubo de Crookes. Todo o aparato foi envolvido por uma caixa com um filme negro em seu interior e guardado numa câmara escura. Próximo à caixa, havia um pedaço de papel recoberto de platinocianeto de bário.

Röntgen percebeu que quando fornecia energia cinética aos elétrons do tubo, estes emitiam uma radiação que marcava a chapa fotográfica. Intrigado, resolveu colocar entre o tubo de raios catódicos e o papel fotográfico alguns corpos opacos à luz visível. Desta forma, observou que vários materiais opacos à luz diminuíam, mas não eliminavam, a chegada desta estranha radiação até a placa de platinocianeto de bário. Isto indicava que a radiação possui alto poder de penetração. Após exaustivas experiências com objetos inanimados, Röntgen pediu à sua esposa que posicionasse sua mão entre o dispositivo e o papel fotográfico.

O resultado foi uma foto que revelou a estrutura óssea interna da mão humana. Essa foi a primeira radiografia, nome dado pelo cientista à sua descoberta em $8$ de novembro de $1895$. Posteriormente à descoberta do novo tipo de radiação, cientistas perceberam que esta causava vermelhidão da pele, ulcerações e empolamento para quem se expusesse sem nenhum tipo de proteção. Em casos mais graves, poderia causar sérias lesões cancerígenas, necrose e leucemia, e então à morte.


[Hand mit Ringen: a primeira radiografia de Wilhelm Röntgen referente a mão de sua esposa]

Em $1962$, o físico estadunidense Thomas Samuel Kuhn $(1922-1996)$, cujo trabalho incidiu sobre a história e filosofia da ciência, lançou um livro denominado A estrutura das revoluções científicas.

Nesse livro, Kuhn afirma que a "ciência normal" é sustentada por um paradigma, ou seja, um padrão que serve como modelo a ser imitado ou seguido. Esse modelo é abalado quando uma "anomalia" é detectada e o paradigma em vigência não sonsegue dar-lhe uma explicação.

Surge, então, uma crise paradigmática que leva a um novo paradigma que, ao explicar a anomalia anterior detectada, acabará por substituir o paradigma antigo. De acordo com Kuhn, esse período no qual um paradigma é substituído por outro constitui uma "revolução científica".

O modelo geocêntrico, por exemplo, que considerava a Terra como o centro do Universo, passou por uma mudança de paradigma. Esse modelos foi aceito durante séculos, até que estudos sobre os movimentos dos planetas o levaram a ser substituídos pelo modelo heliocêntrico, no qual o Sol ocupa o centro e os planetas giram ao seu redor.


[Sistema geocêntrico de Ptolomeu e o sistema heliocêntrico de Copérnico]

Outra revolução científica aconteceu entre o final do século $XIX$ e o começo do século $XX$, com o surgimento das teorias de Einstein, Planck e muitos outros, que deram origem à chamada Física Moderna.

Modelos, teorias, leis e princípios

Quando um cientista procura entender uma série particular de fenômenos, geralmente faz uso de um modelo.

Um modelo é um tipo de analogia ou de imagem do fenômeno que o cientista faz, relacionando esse fenômeno a alguma coisa que lhe seja familiar. O propósito é obter um quadro mental ou visual do que está acontecendo, assim o modelo muitas vezes fornece um entendimento mais aprofundado do fenômeno Além disso, a analogia com um sistema conhecido pode sugerir a realização de novas experiências e, ao final, resultar em novas ideias a respeito de outros fenômenos relacionados ao mesmo modelo.

Nenhum modelo é totalmente exato, e os cientistas estão constantemente tentando refinar seus modelos ou pensando em novos, quando os velhos começam a se mostrar inadequados.

Um exemplo é o modelo atômico proposto por Rutherford, análogo ao do nosso Sistema Solar: o núcleo seria o Sol e os elétrons, os planetas.

[Modelo atômico de Rutherford, também conhecido como modelo planetário do átomo]

Para montar sua teoria, Rutherford analisou resultados de seu experimento que ficou conhecido como "experiência de Rutherford". Nesta experiência, utilizando uma fonte radioativa para emitir partículas alfas, um contador geiger, e uma fina lâmina de ouro, ele mediu o número de partículas alfa que atravessaram esta folha. Porém, ele percebeu que embora muitas das partículas atravessam a folha (como já era previsto pelo modelo atômico em rigor naquela época), um número muito pequeno de partículas alfa eram refletidas ou sofriam desvio por esta folha. Com base nisto, Ernest Rutherford montou a sua teoria.

Em $1911$, Rutherford apresentou a sua teoria para o seu modelo atômico, afirmou que o modelo vigente até então, também conhecido como "pudim de passas", que foi feito por J. J. Thomson, estava incorreto. Rutherford afirmou com seu experimento, que o átomo não era apenas uma esfera maciça de carga elétrica positiva incrustada com elétrons como dizia Thomson. Segundo Rutherford, o átomo teria na verdade um núcleo de carga elétrica positiva de tamanho muito pequeno em relação ao seu tamanho total, sendo que este núcleo, que conteria praticamente toda a massa do átomo, estaria sendo rodeado por elétrons de carga elétrica negativa, os quais descreveriam órbitas helicoidais em altas velocidades.

Existe uma diferença entre um modelo e uma teoria. Muitas vezes, essas palavras são usadas indistintamente. Mas geralmente um modelo é algo mais simples, enquanto a teoria é mais abrangente, mas detalhada e procura resolver e explicar um conjunto de problemas, muitas vezes com precisão matemática. É comum um modelo ser desenvolvido e modificado até corresponder mais exatamente a uma grande variedade de fenômenos observados. Nesse ponto, ele começa a ser chamado de teoria. Um exemplo é a teoria ondulatória da luz.

Os cientistas dão o nome de leis a certas afirmações concisas, mas genéricas, sobre comportamentos da natureza (a conservação da energia, por exemplo). Algumas vezes essas afirmações tomam a forma de uma relação ou equação entre quantidades (como a equação fundamental da Dinâmica, ou equação de Newton, $F=m\cdot a$), o que é essencial para um tratamento teórico da lei.

Para ser chamada de lei, uma afirmação (obtida experimentalmente) deve ser válida, com regularidade, para um grande número de fenômenos observados. De modo geral, a lei dá uma unidade a muitas observações. A lei que tem um papel básico numa teoria é geralmente denominada princípio (como o princípio de atração e repulsão ente cargas elétricas). A fronteira entre as leis e os princípios é obviamente arbitrária, pois nem sempre existe uma distinção clara entre eles.

Referências:

[1] Física, Ciência e Tecnologia V. 1 - Carlos Magno et al.
[2] Raios-X no Wikipédia

Veja mais:


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24 de jan de 2016

Resolução da integral $\displaystyle \int (ax+b)^n\ dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int (ax+b)^n\ dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C
\end{equation*}
onde $a$, $b$ e $n$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a$ e $n$ $\neq 0$.

[Família de funções integráveis na forma $(ax+b)^n$]

Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int (ax+b)^n\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos a substituição $u=ax+b$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int u^n\ du
\end{equation*}
A integral de $u^n$ é $\displaystyle \frac{u^{n+1}}{n+1}$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a}\cdot \frac{u^{n+1}}{n+1}+C
\end{equation*}
Mas $u=ax+b$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C
\end{equation*}

Exemplo $1$:

Encontrar a área sob o eixo dos $x$ da função $f(x)=(3x-1)^3$, compreendida no intervalo de $x=0$ até o ponto em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$.


O ponto em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$ é o ponto em que $f(x)=0$, ou seja, em que $x$ é o zero da função. Para encontrarmos este valor de $x$, tomamos a equação $(3x-1)^3=0$ e encontramos sua raiz real:
\begin{equation*}
(3x-1)^3 = 0\\
\ \\
(3x-1)(3x-1)(3x-1)=0\\
\ \\
3x-1=0\\
\ \\
3x=1\\
\ \\
x=\frac{1}{3}
\end{equation*}
O valor de $x=1/3$ é a raiz tripla da equação.


Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$ nos limites $x=0$ e $x=1/3$, usamos a integral definida:


\begin{equation*}
A = \int_0^{1/3} (3x-1)^3\ dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int (ax+b)^3 = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}
\end{equation*}
Fazendo $a=3$, $b=-1$ e $n=3$, temos que:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{(3x-1)^{3+1}}{3(3+1)}\right]_0^{1/3} = \left[ \frac{(3x-1)^4}{12}\right] _0^{1/3} = \left[ \frac{0}{12} - \frac{(-1)^4}{12}\right] \\
\ \\
A = -\frac{1}{12} \approx -0,08333
\end{equation*}
O valor negativo encontrado para a área indica apenas que a região calculada estava sob o eixo dos $x$. Assim, a área compreendida entre o eixo dos $x$ e a curva $f(x) = (3x-1)^3$, no intervalo $[0,1/3]$, vale aproximadamente $0,08333$ unidades de área.

Exemplo $2$:

Encontrar a área entre o eixo dos $x$ e a curva $f(x)=(2x+7)^5$, compreendida no intervalo em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$ e $x=0$.


O ponto em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$ é o ponto em que $f(x)=0$, ou seja, em que $x$ é o zero da função. Para encontrarmos este valor de $x$, tomamos a equação $(2x+7)^5=0$ e encontramos sua raiz real:
\begin{equation*}
(2x+7)^5=0\\
\ \\
(2x+7)(2x+7)(2x+7)(2x+7)(2x+7)=0\\
\ \\
2x+7=0\\
\ \\
2x=-7\\
\ \\
x=-\frac{7}{2}
\end{equation*}
Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$ nos limites $\displaystyle x=-\frac{7}{2}$ e $x=0$, usamos a integral definida:


\begin{equation*}
A = \int_{-7/2}^0 (2x+7)^5\ dx = \left[ \frac{(2x+7)^6}{12} \right]_{-7/2}^0\\
\ \\
A = \frac{7^6}{12} - \frac{0}{12} = \frac{117.649}{12} \approx 9.804
\end{equation*}
A área compreendida entre o eixo dos $x$ e a curva $f(x) = (2x+7)^5$, no intervalo $[-7/2 , 0]$, vale aproximadamente $9.804$ unidades de área.

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Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
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28 de dez de 2015

Retrospectiva: Os $10$ posts mais acessados em $2015$

O blog O Baricentro da Mente, desde sua criação em novembro de $2008$, está chegando à marca de $4$ milhões de visualizações.


Neste ano de $2015$  o blog teve cerca de $1.200.000$ páginas visualizadas, praticamente o dobro do ano anterior (obrigado!), cerca de $300$ comentários e inúmeros e-mails e mensagens pelo formulário de contato. Essas visualizações foram distribuídas nos $457$ artigos contidos no blog, sendo $36$ publicados em $2015$.

Não quer dizer que todos que acessaram o blog, leram os artigos, mas acredito que meu trabalho tenha sido útil de alguma forma para muita gente.

A fã-page no Facebook, atualmente está com $12.100$ seguidores, sendo que $5.700$ novas curtidas da página foram em $2015$.

Faremos uma retrospectiva de ano destacando os $10$ artigos mais acessados.


$1º$ Lugar: Como determinar o número de diagonais de um polígono convexo de $n$ lados

Total de visualizações: $64.300$
Link do artigo: http://goo.gl/17krcJ

$2º$ Lugar: Integração por frações parciais - Fatores lineares

Total de visualizações: $41.100$
Link do artigo: http://goo.gl/cki10U

$3º$ Lugar: Como determinar o ângulo interno de um polígono regular

Total de visualizações: $28.400$
Link do artigo: http://goo.gl/5Svm8L

$4º$ Lugar: Soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo

Total de visualizações: $24.900$
Link do artigo: http://goo.gl/fSD71v

$5º$ Lugar: Aplicação de derivada para determinação de máximos e mínimos

Total de visualizações: $29.300$
Link do artigo: http://goo.gl/dz3U2X

$6º$ Lugar: Fórmula para calcular o tamanho do sapato

Total de visualizações: $22.100$
Link do artigo: http://goo.gl/IwFR86

$7º$ Lugar: Escalonamento ou método de eliminação de Gauss

Total ed visualizações: $17.900$
Link do artigo: http://goo.gl/0Xvt8N

$8º$ Lugar: Pontos notáveis de um triângulo

Total de visualizações: $16.300$
Link do artigo: http://goo.gl/tgjHtf

$9º$ Lugar: Integração por substituição trigonométrica

Total de visualizações: $15.600$
Link do artigo: http://goo.gl/TaMSqc

$10º$ Lugar: Demonstração dos pontos de máximo e mínimo de uma função quadrática

Total de visualizações: $10.500$
Link do artigo: http://goo.gl/AU4R2E

Veja mais:

Arquivo do blog por ordem de publicação
Arquivo do blog por categorias
Retrospectiva: Os $10$ posts mais acessados em $2014$

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22 de dez de 2015

Resolução da integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C
\end{equation*}
onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$  $\in \mathbb{R}$ sendo $a \neq 0$.


Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx
\end{equation*}
Completamos o quadrado no denominador do integrando:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{\displaystyle a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}}\ dx\\
\ \\
I = \int \frac{1}{\displaystyle a\left(x^2 + \frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\right)+c-\frac{b^2}{4a}}\ dx\\
\ \\
I = \int \frac{1}{\displaystyle a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}}\ dx\\
\ \\
I = \int \frac{1}{\displaystyle -\frac{b^2}{4a}+\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ x \right)^2 + c}\ dx\\
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos a substituição $\displaystyle u=\frac{b}{2\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ x$. Assim, $du=\sqrt{a}\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{du}{\sqrt{a}}$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{\sqrt{a}} \int \frac{1}{\displaystyle -\frac{b^2}{4a}+u^2 + c}\ du
\end{equation*}
Fatoramos $\displaystyle c-\frac{b^2}{4a}$ no numerador do integrando:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{\sqrt{a}} \int \frac{1}{\displaystyle \left(c-\frac{b^2}{4a}\right) \left( \frac{u^2}{\displaystyle c-\frac{b^2}{4a}}+1 \right)}\ du
\end{equation*}
Fatoramos as constantes:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{\displaystyle \left( c-\frac{b^2}{4a} \right)} \int \frac{1}{\displaystyle \frac{u^2}{\displaystyle c-\frac{b^2}{4a}} + 1}\ du
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos a substituição $\displaystyle v = \frac{u}{\displaystyle \sqrt{c-\frac{b^2}{4a}}}$. Assim, $\displaystyle dv = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{c-\frac{b^2}{4a}}}\ du$ e $\displaystyle du=\sqrt{c-\frac{b^2}{4a}}\ dv$:
\begin{equation*}
I = \frac{\displaystyle \sqrt{c-\frac{b^2}{4a}}}{\displaystyle \sqrt{a}\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)} \int\frac{1}{v^2+1}\ dv\\
\ \\
I = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{c-\frac{b^2}{4a}}} \int \frac{1}{v^2+1}\ dv
\end{equation*}
A integal de $\displaystyle \frac{1}{v^2+1}$ é $\text{arctg}(v)$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{\text{arctg}(v)}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{c-\frac{b^2}{4a}}}+C
\end{equation*}
Mas, $\displaystyle v=\frac{u}{\displaystyle \sqrt{c-\frac{b^2}{4a}}}$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{\text{arctg}\left(\displaystyle  \frac{u}{\displaystyle \sqrt{c-\frac{b^2}{4a}}} \right)}{\sqrt{a}\sqrt{\displaystyle c-\frac{b^2}{4a}}}+C =  \frac{\text{arctg}\left( \displaystyle \frac{u}{\sqrt{\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}}} \right)}{\sqrt{a}\sqrt{\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}}}+C\\
\ \\
I = \frac{\text{arctg}\left(\displaystyle  \frac{u}{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{4c-\frac{b^2}{4a}}} \right)}{\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{2}\sqrt{\displaystyle 4c-\frac{b^2}{a}}}+C = \frac{2\ \text{arctg}\left( \displaystyle \frac{2u}{\sqrt{\displaystyle 4c-\frac{b^2}{4a}}} \right)}{\sqrt{a}\sqrt{\displaystyle 4c-\frac{b^2}{4a}}}+C
\end{equation*}
Mas, $\displaystyle u=\frac{b}{2\sqrt{a}} + \sqrt{a}\ x$, logo:
\begin{equation*}

I = \frac{2\ \text{arctg}\left( \frac{\displaystyle 2\left( \frac{b}{2\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ x \right)}{\displaystyle \sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right)} {\sqrt{a}\ \sqrt{\displaystyle 4c-\frac{b^2}{a}}}+C\\
\ \\
I = \frac{2\ \text{arctg}\left(\displaystyle  \frac{2ax+b} {\displaystyle \sqrt{a}\ \sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right)} {\sqrt{a}\ \sqrt{\displaystyle 4c-\frac{b^2}{a}}}+C\\
\ \\
I = \frac{2\ \text{arctg} \left( \displaystyle \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} \right)} {\sqrt{4ac-b^2}}+C

\end{equation*}

Exemplo

Calcular a área sob a curva $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-x+1}$, compreendida no intervalo $[0,2]$.



A área sob a curva é dada pela integral definida com limite de integração inferior igual a $0$ e superior igual a $2$:
\begin{equation*}

A = \int_0^2 \frac{1}{x^2-x+1}\ dx = \left[ \frac{\displaystyle 2\ \text{arctg}\left( \frac{2\cdot 1 \cdot x-1}{\sqrt{4\cdot 1\cdot 1-(-1)^2}} \right)}{\sqrt{4\cdot 1\cdot1 - (-1)^2}} \right]_0^2\\
\ \\
A=  \left[ \frac{\displaystyle 2\ \text{arctg}\left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right)}{\sqrt{3}} \right]_0^2\\
\ \\
A = \frac{2}{\sqrt{3}}\left( \text{arctg}\left( \frac{3}{\sqrt{3}} \right) -\text{arctg}\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) \right)\\
\ \\
A = \frac{2}{\sqrt{3}}\left( \text{arctg}\left(\sqrt{3}\right) - \text{arctg}\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \right)

\end{equation*}
O arco cuja tangente vale $\sqrt{3}$ é o arco de $60^\circ$ e mede $\pi /3$ radianos; Já o arco cuja tangente vale $-\sqrt{3}/3$ é o arco de $330^\circ$, ou $-30^\circ$ e mede $-\pi/6$ radianos. Assim:
\begin{equation*}
A = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \approx 1,8138
\end{equation*}

Resposta: A área sob a curva $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-x+1}$, compreendida no intervalo $[0,2]$, mede aproximadamente $1,8138$ unidades de área.


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Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes

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7 de dez de 2015

A desigualdade de Ptolomeu

Cláudio Ptolomeu foi um grande astrônomo e geômetra grego que viveu no século $I\  \text{d.C.}$. Neste post, provaremos uma desigualdade geométrica muito interessante.


Proposição 1

Dado o quadrilátero $ABCD$, onde $AC$ e $BD$ são as diagonais, então $AC\cdot BD \leq AB\cdot CD + BC\cdot AD$ e a igualdade é válida se e somente se $ABCD$ é um quadrilátero cíclico.

Demonstração

No quadrilátero $ABCD$ acima, seja $E$ um ponto tal que os triângulos $ACD$ e $AEB$ sejam semelhantes. $(A\hat{E}B = A\hat{C}D)$ e $(B\hat{A}E = C\hat{A}D)$. Assim,
\begin{equation*}
\frac{AE}{AC} = \frac{AB}{AD} = \frac{BE}{DC}
\end{equation*}
de modo que
\begin{equation}
EB = \frac{AB\cdot DC}{AD}
\end{equation}
Além disso, sendo $\triangle ACD \sim \triangle AEB$, então $E\hat{A}C = B\hat{A}D$ e sendo $\displaystyle \frac{AD}{AC} = \frac{AB}{AE}$ segue que $\triangle EAC \sim \triangle BAD$.


Assim,
\begin{equation}
\frac{EC}{AC} = \frac{BD}{AD} \quad \Longrightarrow \quad EC = \frac{AC\cdot BD}{AD}
\end{equation}
Agora se $ABCD$ é um quadrilátero cíclico, temos
\begin{equation*}
A\hat{B}E + C\hat{B}A = A\hat{D}C + C\hat{B}A = 180^{\circ}
\end{equation*}
Isto significa que os pontos $C$, $B$ e $E$ são colineares e portanto,
\begin{equation}
EC = EB + BC
\end{equation}
Substituindo $(1)$ e $(2)$ em $(3)$, temos
\begin{equation*}
\frac{AC\cdot BD}{AD} = \frac{AB\cdot DC}{AD} + BC
\end{equation*}
 de modo que
\begin{equation}
AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD
\end{equation}
A expressão $(4)$ é conhecida por igualdade de Ptolomeu. Se o quadrilátero $ABCD$ não é cíclico, então
\begin{equation*}
A\hat{B}E + C\hat{B}A = A\hat{D}C + C\hat{B}A \neq 180^{\circ}
\end{equation*}
de modo que os pontos $C$, $B$ e $E$ formam um triângulo e pela desigualdade triangular segue que
\begin{equation}
EC < EB + BC
\end{equation}
Substituindo $(1)$ e $(2)$ em $(5)$, temos:
\begin{equation*}
\frac{AC\cdot BD}{AD} < \frac{AB\cdot DC}{AD} + BC
\end{equation*}
e então:
\begin{equation}
AC\cdot BD < AB\cdot CD + BC\cdot AD
\end{equation}
De $(4)$ e $(6)$, obtemos a desigualdade de Ptolomeu, ou seja,
\begin{equation*}
AC\cdot BD \leq AB\cdot CD + BC\cdot AD
\end{equation*}
e a igualdade é válida se, e somente se, $ABCD$ é cíclico.

* Este artigo é uma republicação. O link do artigo original encontra-se nas referências.

Referências:

[1] A desigualdade de Ptolomeu no blog Fatos Matemáticos, originalmente escrito pelo prof. Paulo Sérgio C. Lino

Veja mais:

Valor absoluto e a desigualdade triangular
A Astronomia e os astrônomos da Grécia Antiga
Teste da integral para convergência de séries

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28 de nov de 2015

Como encontrar o foco e a diretriz de uma parábola com régua e compasso

Neste artigo veremos como encontrar o foco e a reta diretriz de uma parábola dada, utilizando para isso, apenas régua não-graduada e compasso.



Para a construção da parábola, dispomos de $4$ métodos apresentados aqui no blog. Veja no rodapé deste artigo.

Dada uma parábola com sua concavidade voltada para cima e seu vértice $V$, traçamos seu eixo de simetria e a perpendicular passando por $V$. Se pensarmos no plano cartesiano, o eixo de simetria é o eixo dos $y$ e a perpendicular por $V$ é o eixo dos $x$ e o vértice da parábola está na origem.


Descreva duas circunferências tangentes ao eixo horizontal de modo que seus centros sejam pontos de um mesmo ramo da parábola. Marque os pontos de intersecção dessas circunferências como $A$ e $B$.



Trace um segmento passando pelos pontos $A$ e $B$ e marque a intersecção com o eixo de simetria como $C$. O ponto médio do segmento $\overline{VC}$ é o foco $F$ da parábola.



Para encontrarmos a reta diretriz, usamos a definição da parábola, que diz que a medida da parábola ao foco é igual à distância da parábola à reta diretriz. Centrada no vértice $V$, descrevemos uma circunferência de raio $\overline{VF}$. Pela intersecção com o eixo de simetria passa a reta diretriz, perpendicular a esta.



Escolhendo qualquer ponto da parábola, temos que a distância até o foco é a mesma até a reta diretriz.


Construção elaborada por: Bruno Henrique de Abreu
Compilador cristão 

Veja mais:

Construção geométrica de uma parábola com régua e compasso
Construção geométrica de uma parábola pelo método de Ibn Sinan
Construção geométrica de uma parábola pelo método de Werner
Construção geométrica de uma parábola pelo método das mediatrizes

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