13/04/2011

O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides – A Proposição I-47

A Proposição 47 do Livro I dos Elementos de Euclides trata da demonstração do Teorema da Hipotenusa, o conhecido como Teorema de Pitágoras:

Proposição I-47: Em um triângulo retângulo, o quadrado sobre o lado oposto ao ângulo reto é igual à soma dos quadrados sobre os lados que forma o ângulo reto.

Conhecemos este teorema como Teorema de Pitágoras. Vamos ver neste artigo como Euclides conduziu sua demonstração.

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[Figura 1]

O cerne da demonstração consiste em estabelecer a igualdade entre o retângulo BDLM e o quadrado ABFG.

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[Figura 2]

Vejam que o triângulo ABD e BCF são iguais, pois os dois triângulos têm dois lados iguais com ângulos iguais e estes são a metade do retângulo BDLM. Esta igualdade entre triângulos já havia sido previamente estabelecida na proposição I-4 de seus Elementos:

Proposição I-4: Se dois triângulo tem dois lados iguais a dois, respectivamente, e se o ângulo contido por estes dois lados forem iguais, então eles também têm suas bases iguais. Conseqüentemente os triângulos serão iguais e os ângulos restantes também serão.

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[Figura 3]

Numa perspectiva moderna, a igualdade dos triângulos se dá pelo fato de que eles se deduzem um do outro por uma rotação de 90°. Mas de que modo Euclides justifica que o retângulo BDLM seja o duplo do triângulo ABD?

Euclides utilizou-se de outra proposição já estabelecida num teorema mais geral, onde combina triângulos e paralelogramos:

Proposição I-41: Se um paralelogramo tem a mesma base que um triângulo e estes estão na mesma paralela, então o paralelogramo é o dobro do triângulo.

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[Figura 4]

Unindo AL, então os triângulo ABC e EBC tem mesma área, cujas bases BC são iguais e estão nas mesmas paralelas BC e AE. Logo BCE é a metade de ABCD.

Para a prova deste teorema, Euclides une a diagonal AC, construindo o triângulo ABC, que também tem BC como base, e enuncia duas asserções:

1) Os triângulos ABC e EBC, por terem mesma base e estarem nas mesmas paralelas são iguais.

2) O triângulo ABC é a metade do paralelogramo ABCD, porque AC é a diagonal e porque a diagonal de um paralelogramo o divide em duas partes iguais.

Esta afirmação advém de outra proposição:

Proposição I-34: Em áreas paralelogrâmicas os lados e os ângulos opostos são iguais entre si e a diagonal divide as áreas e, partes iguais.

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[Figura 5]

Desta forma, temos que provar que a I-41 se aplica na I-47. Vamos tomar o quadrado ABFG e o triângulo BCF. Por construção ABFG é um quadrado, logo os segmentos BF e AG são paralelos, assim como no retângulo BDLM os segmentos BD e LM também são.

Basta, então, mostrar que o vértice c está sobre o prolongamento de GA. Euclides observa:

“Uma vez que cada um dos ângulos sob BAC e BAG é reto, relativamente à reta BA, os dois segmentos AC e AG, não posicionados do mesmo lado, formam ângulos adjacentes iguais a dois retos. Portanto, CA também está alinhado a AH”.

Desta forma, concluímos que o quadrado ABFG tem a mesma base do triângulo BCF e estão na mesma paralela GC. Daqui vem que o quadrado ABFG é o duplo do triângulo BCF. Mas os triângulos BCF e ABD são iguais, o que nos leva à igualdade entre o quadrado ABFG e o retângulo BDLM.

De modo análogo provamos que o quadrado ACKH é igual ao retângulo CELM.

Assim, a reunião dos retângulos BDLM e CELM constituem o grande quadrado BDEC sobre a hipotenusa BC, e este haverá de ser igual aos dois quadrados ABFG e ACKH.

Referências

[1] Revista Scientific American – A Ciência na Antiguidade, Nº 3 – Ed. Duetto

[2] http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html


Veja mais:

Os Elementos de Euclides
A História do Símbolo do Infinito
Provas do Teorema de Pitágoras no Blog Fatos Matemáticos Parte 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

3 comentários:

  1. Muito bem explicada a demonstração e as figuras. Parabéns e obrigado pelos links.

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  2. A obra de Euclides foi realmente um marco na história da geometria. Como seu raciocínio era lógico e dedutivo!
    Há quem diga que Euclides não era uma pessoa, mas um nome para um grupo de matemáticos. Talvez sim, talvez não, mas nada apaga seu brilho.

    Obrigado.

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  3. Ai! Que inveja deste blog... :)

    ResponderExcluir

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