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13/04/2011

O teorema de Pitágoras, segundo Euclides – A proposição I-47

Euclides de Alexandria (300 a.C.) foi um professor, matemático platônico e escritor possivelmente grego, muitas vezes referido como o "Pai da Geometria". Além de sua principal obra, Os Elementos, Euclides também escreveu sobre perspectivas, seções cônicas, geometria esférica e teoria dos números.

A obra Os Elementos é uma das mais influentes e bem sucedidas na história da Matemática, servindo como o principal livro para o ensino de Matemática (especialmente geometria) desde a data da sua publicação até o fim do século XIX.

Dividido em 13 livros, a proposição 47 do Livro I dos Elementos trata da demonstração do Teorema da Hipotenusa, conhecido como Teorema de Pitágoras. Veremos neste artigo como Euclides conduziu sua demonstração.

O Teorema de Pitágoras segundo Euclides - A proposição I-47

Proposição I-47

Em um triângulo retângulo, o quadrado sobre o lado oposto ao ângulo reto é igual à soma dos quadrados sobre os lados que forma o ângulo reto.

O teorema de Pitágoras segundo Euclides - A proposição I-47


O cerne da demonstração consiste em estabelecer a igualdade entre o retângulo BDLM e o quadrado ABFG.

Vejam que o triângulo ABD e BCF são iguais, pois os dois triângulos têm dois lados iguais com ângulos iguais e estes são a metade do retângulo BDLM. Esta igualdade entre triângulos já havia sido previamente estabelecida na proposição I−4 de seus Elementos.

Proposição I-4

Se dois triângulo tem dois lados iguais a dois, respectivamente, e se o ângulo contido por estes dois lados forem iguais, então eles também têm suas bases iguais. Consequentemente os triângulos serão iguais e os ângulos restantes também serão.

Proposição I-4


Numa perspectiva moderna, a igualdade dos triângulos se dá pelo fato de que eles se deduzem um do outro por uma rotação de 90°. Mas de que modo Euclides justifica que o retângulo BDLM seja o duplo do triângulo ABD?

Euclides utilizou-se de outra proposição já estabelecida num teorema mais geral, onde combina triângulos e paralelogramos.

Proposição I−41

Se um paralelogramo tem a mesma base que um triângulo e estes estão na mesma paralela, então o paralelogramo é o dobro do triângulo.

Proposição I-41


Unindo AL, então os triângulo ABC e EBC tem mesma área, cujas bases BC são iguais e estão nas mesmas paralelas BC e AE. Logo BCE é a metade de ABCD.

Para a prova deste teorema, Euclides une a diagonal AC, construindo o triângulo ABC, que também tem BC como base, e enuncia duas asserções:

1) Os triângulos ABC e EBC, por terem mesma base e estarem nas mesmas paralelas são iguais.

2) O triângulo ABC é a metade do paralelogramo ABCD, porque AC é a diagonal e porque a diagonal de um paralelogramo o divide em duas partes iguais.

Esta afirmação advém de outra proposição:

Proposição I-34

Em áreas paralelogrâmicas os lados e os ângulos opostos são iguais entre si e a diagonal divide as áreas e, partes iguais.

Proposição I-34


Desta forma, temos que provar que a I41 se aplica na I47. Vamos tomar o quadrado ABFG e o triângulo BCF. Por construção ABFG é um quadrado, logo os segmentos BF e AG são paralelos, assim como no retângulo BDLM os segmentos BD e LM também são.

Basta, então, mostrar que o vértice c está sobre o prolongamento de GA. Euclides observa:

Uma vez que cada um dos ângulos sob BAC e BAG é reto, relativamente à reta BA, os dois segmentos AC e AG, não posicionados do mesmo lado, formam ângulos adjacentes iguais a dois retos. Portanto, CA também está alinhado a AH.

Desta forma, concluímos que o quadrado ABFG tem a mesma base do triângulo BCF e estão na mesma paralela GC. Daqui vem que o quadrado ABFG é o duplo do triângulo BCF. Mas os triângulos BCF e ABD são iguais, o que nos leva à igualdade entre o quadrado ABFG e o retângulo BDLM.

De modo análogo provamos que o quadrado ACKH é igual ao retângulo CELM.

Assim, a reunião dos retângulos BDLM e CELM constituem o grande quadrado BDEC sobre a hipotenusa BC, e este haverá de ser igual aos dois quadrados ABFG e ACKH.

Referências:


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Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: O teorema de Pitágoras, segundo Euclides – A proposição I-47. Publicado por Kleber Kilhian em 13/04/2011. URL: . Leia os Termos de uso.


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7 comentários:

  1. Muito bem explicada a demonstração e as figuras. Parabéns e obrigado pelos links.

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  2. A obra de Euclides foi realmente um marco na história da geometria. Como seu raciocínio era lógico e dedutivo!
    Há quem diga que Euclides não era uma pessoa, mas um nome para um grupo de matemáticos. Talvez sim, talvez não, mas nada apaga seu brilho.

    Obrigado.

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  3. Anônimo2/8/11 14:32

    Ai! Que inveja deste blog... :)

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  4. Olá Kleber,
    Acabo de descrever justamente esta demonstração em um trabalho que estou organizando e resolvi reproduzi-la no TICs Na Matemática... Referenciei este seu artigo por lá (a demonstração é apresentada de modo mais detalhado).

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    Respostas
    1. Maravilha Charles! Vou incluir o link de seu artigo também!

      Forte abraço!

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  5. Este teorema está presente em um papiro africano desde 1650 anos antes de Cristo. O Grego Pitágoras viveu na África por 20 anos no continente africano no século 5 antes de Cristo. por isso, Teorema de Pitágoras foi renomeado para Teorema do Triângulo Retângulo.

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