2 de set de 2011

Quantos Números Primos Existem?

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Euclides demonstrou que existem infinitos primos. A demonstração de Euclides é muito simples, se não, vejamos:

Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam p1, p2, p3, ..., pn primos. Seja P um número tal que:

clip_image002

Se P for um número primo, é necessariamente diferente dos primos p1, p2, p3, ..., pn, pois sua divisão por qualquer um deles tem resto 1. Em contrapartida, se P é composto, na fatoração de P existe um número primo q tal que q > pn. Logo existe um novo número primo.

Exemplos numéricos:

clip_image004

clip_image006

clip_image008

clip_image010

clip_image002[4]

Podemos fatorar o número 30031:

clip_image014

Como os números 59 e 509 são os fatores primos do número 30031, logo, além do número primo pn = 13, existem mais dois novos números primos q e p1, tais que:

clip_image016

Quando vi a palavra “fatoração” e a expressão “fatores primos” na demonstração de Euclides, veio-me a ideia de tentar dar uma demonstração usando fatoração e os fatores primos de um número inteiro. Quando digo “tentar dar uma demonstração”, é porque ainda não tenho certeza se na minha demonstração existe alguma falha.

Deixo uma advertência: já que seria, até impossível, consultar todos os livros de teoria dos números publicados, por autores brasileiros e estrangeiros, e como já houve casos, na história da Matemática, de dois matemáticos morando em países diferentes fazerem demonstrações idênticas, logo, se por acaso alguma demonstração idêntica a minha já foi publicada por algum matemático, brasileiro ou estrangeiro, é mera coincidência.

Demonstração da Infinidade de Números Primos

Seja x > 1 um número inteiro. O sucessor de x é x + 1. Como x e x + 1 são primos entre si, logo, x(x + 1) tem no mínimo dois fatores primos distintos.

Exemplo:

imageO sucessor de x(x + 1) é x(x + 1) + 1. Pelo mesmo raciocínio anterior, x(x + 1) + 1 e x(x + 1) são primos entre si. Multiplicando os dois números, temos:

clip_image018

Como um de seus fatores tem pelo menos dois fatores primos, logo, o produto dos dois tem pelo menos três fatores primos distintos.

Exemplo:

image Como o processo multiplicativo pode ser repetido indefinidamente, e já que o n-ésimo produto terá no mínimo n-ésimo + 1 fatores primos distintos, logo, há infinitos números primos.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.


Veja mais:

A Demonstração de Euclides Sobre a Existência de Infinitos Números Primos
Construindo uma Sequência de Números Não-Primos
Teste de Primalidade no blog Fatos Matemáticos
Teoremas Interessantes Sobre Números Primos no blog Fatos Matemáticos
Números Primos - Introdução Elementar no blog Problemas | Teoremas
A Demonstração de Euler do Teorema da Infinidade de Números Primos no blog Problemas | Teoremas

9 comentários:

  1. Amei esse blog. Está sendo muito útil a minha pesquisa. Acho que é o tipo de blog para se ler pelo menos uma vez ao dia e atualizar os conhecimentos. E ainda mais: o Autor é leitor da Torre Negra.
    Bendito Ka -Google- que me trouxe até aqui.

    Longos e dias e belas noites!

    ResponderExcluir
  2. Olá
    Visito o seu blog com frequência, e gosto muito de sua proposta. Também tenho um blog e posto sobre matemática, física e química. Gostaria de firmar parceria com seu blog.Dê uma olhada: professorandrios.blogspot.com

    ResponderExcluir
  3. Olá sai Kathlen,

    Encontrarmos o que desejamos faz parte do Ka, porque nosso Tet é a Matemática, o conhecimento. Assim, formamos nosso Ka-tet virtual, onde todos contribuem e todos aprendemos. Talvez o Google seja nosso Dinh, ou nosso Feixe de Luz.

    Qual é a linha de sua pesquisa? Fiquei curioso. Dizem que a curiosidade matou o gato, mas pelo menos morreu feliz!

    Agradeço por sua belas palavras

    Longos dias e belas noites!

    ResponderExcluir
  4. Olá Prof. Andrios,
    Parceria fechada. Já adicionei seu banner.
    Abraços!

    ResponderExcluir
  5. Olá- Sai Professor Kleber

    Minha linha de pesquisa creio que seja o universo, vivo sempre a caça do autoconhecimento através das ciências, em outras palavras: Uma estudante (ultimamente de eletrônica e artes Gráficas).

    Mas se sua pergunta é quanto a pesquisa que me referi: na verdade o que me trouxe até aqui foi uma pesquisa das aulas de Desenho técnico. Que "por acaso" tive uma pontuação muito boa na última pesquisa.

    Acho que a definição do Google como Feixe de luz é muito adequada.-Quanto a Torre Negra estou nos penúltimos níveis dela (o sétimo livro, ainda com os sapadores). Esse Livro é muito filosófico! Tem muito mais que ficção científica e isso o torna mais interessante.

    Longos e Dias e Belas noites! Salve Pistoleiro!

    O "gato" - curiosidade- já chegou na clareira do fim caminho? Espero que haja rosas e sinos por lá...

    ResponderExcluir
  6. Havia rosas. Um campo cheio delas e os sinos Todash. Primeiro quase enlouqueceu, mas usa mente foi clareando conforme subia os andares da Torre. A visão que teve foi arrebatadora!

    Gostei muito de todos os livros, mas tenho um apreço especial pelo primeiro e o quarto. Espero que goste do final. Recomendo que leia em seguida o livro Insônia.

    Sou técnico em eletrônica há alguns anos e trabalho no ramo. A matemática (por enquanto) é meu prazer pessoal. Gosto muito de desenho geométrico e acho um pena terem abolido essa matéria do ensino fundamental. Um pena.

    Agradeço a visita e comentários, sai Kathlen.

    ResponderExcluir
  7. Aliás, Kathlen, leia este post e veja se reconhece:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2011/03/um-diamante-em-numeros.html
    Até +

    ResponderExcluir
  8. Estou tentando sobreviver ao curso técnico de eletrônica. A álgebra de Boole é legal e estou entendendo mas... ainda acho tudo muito "novo".

    Devias escrever alguns posts de eletrônica! Seria muito interessante. Na verdade pensei que o sr. fosse algum professor de matemática!

    Ok. Fico com a Dica de livro. Depois repasso minha crítica.

    Eu tive aulas no colégio de desenho geométrico e ainda me recordo. Não gostava muito, mas hoje posso enxergar de forma mais prática.

    Quanto ao post eu, sim, me lembro muito bem, quando fiquei tão desesperada em saber como "driblar" o Blaine. O legal é essa abordagem "animada" de matemática. Detta Walker como professora de matemática, é mesmo sem comparação!

    E como diz o Blaine: "Até loguinho, passar bem. Não esqueça de escrever."

    ResponderExcluir
  9. Olá Kathlen,
    Abrir a mente. É o que eu digo. Aprendizado de coisasdiferente só enriquecem nossa mente e nos projetam para universos particulares durante nossas elucubrações.
    Um abraço e volte sempre!

    ResponderExcluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...