26 de jul de 2011

A demonstração de Euclides sobre a existência de infinitos números primos

O grande matemático Húngaro George Pólya $(1887 – 1985)$, recomendava um jeito divertido de se habituar aos fundamentos da matemática e de passar o tempo numa sala de espera de aeroporto ou de consultório médico: relembrar uma prova matemática já conhecida.

Vamos ver aqui, em notação moderna, a demonstração de Euclides sobre a existência de infinitos números primos, há cerca de $300$ anos antes de Cristo, em sua obra Os Elementos.

 [GIMPS: Great Internet Mersenne Prime Search]

Números primos são maiores do que $1$ e só tem dois divisores: eles mesmos e o $1$. Por exemplo, o $19$ é primo, já o $60$ não é, pois é divisível por $12$ números inteiros.

Suponha um conjunto $A$ de número primos quaisquer:
\begin{equation*}
A={p_1, p_2, p_3, \cdots , p_n}
\end{equation*}
Suponha que o número $n$ seja o produto de todos os números primos do conjunto $A$:
\begin{equation*}
n = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \cdots \cdot p_n
\end{equation*}
Suponha o número $q$ composto pelo número $n$ mais $1$:
\begin{equation*}
q = n+1
\end{equation*}
Se $q$ é um número primo, então existe um número primo fora do conjunto $A$. Se $q$ não é um número primo, então $q$ é divisível por um número primo $P_K$, já que todo número composto pode ser reduzido a um produto de números primos. Por exemplo:
\begin{equation*}
69 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5
\end{equation*}
Se todo número composto é produto de números primos, então é divisível por qualquer um deles. Euclides disse que $P_K$ não pode estar dentro do conjunto $A$. Se estivesse, $P_K$ seria divisor de $n$ e de $q$ (que é $n + 1$).

Supondo que $P_K$ fosse divisor de $n$ e de $q$, teríamos:
\begin{gather}
q = n+1\\

\frac{n}{P_K} = i_1 \Longrightarrow n = P_K \cdot i_1\\

\frac{q}{P_K} = i_2 \Longrightarrow q = P_K \cdot i_2
\end{gather}
Nas relações $(2)$ e $(3)$, $i_1$ e $i_2$ são números inteiros e distintos um do outro. Substituindo $(1)$ na relação $(3)$, obtemos:
\begin{equation}
n+1 = P_K \cdot i_2
\end{equation}
E agora, substituímos $(2)$ na relação $(4)$:
\begin{equation*}
(P_K \cdot i_1) + 1 = P_K \cdot i_2\\
\ \\
i_2 = \frac{P_K \cdot i_1}{P_K} + \frac{1}{P_K}
\end{equation*}
\begin{equation}
i_2 = i_1 + \frac{1}{P_K}
\end{equation}
Se $q$ e $n$ são divisíveis por $P_K$, então $n$ dividido por $P_K$ dará o número inteiro $i_1$ e $q$ dividido por $P_K$ dará o número inteiro $i_2$. A relação $(5)$ diz que, para que o número $i_2$ seja inteiro é preciso que $1$ também seja divisível por $P_K$. Mas $1$ não é divisível por nenhum número primo, somente é divisível por si mesmo, caindo numa contradição.

Se $q$ não é um número primo, então, obrigatoriamente, $P_K$ está fora do conjunto $A$. A prova vale para qualquer conjunto de números primos, por mais completo que aparente ser: sempre haverá um número primo que não estará dentro do conjunto. Portanto, há infinitos números primos.

Poucas pessoas sabem de cor os números primos entre $1$ e $100$, e menos pessoas ainda sabem que o maior número primo atualmente conhecido foi descoberto em janeiro de $2013$ e possui $17$ milhões de algarismos:
\begin{equation*}
2^{57.885.161}-1
\end{equation*}
Mas mesmo sabendo tão pouco, graças a Euclides, podemos ter a certeza de que existem infinitos número primos

Veja mais:

Os Elementos de Euclides
Um Diamante em Números
Dirichlet e os Números Primos de uma Progressão Aritmética
Construindo uma Sequência de Números Não-Primos

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5 comentários:

  1. Olá, meu nome é Jean Carlos(34), casado, atualmente sou agente de Correios, mas tenho o orgulho de dizer que lecionei Matemática alguns anos e que ela sempre foi minha companheira e minha diversão desde muito jovem. Hoje, mesmo afastado do ofício, sempre estou ligado nela, seja por meio de livros, de "aulinhas de reforço" pras cunhadas e conhecidos, como também pela internet, como é o caso desse blog que achei d+. Recomendo a todos os amantes da Matemática. Parabéns aos organizadores! Valeu!

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  2. Olá Jean,
    Quem tem a matemática como companheira, nunca está só. Além de nos proporcionar diversão, conhecimento, podemos viajar por sua história por tantos grandes matemáticos que nos deixaram obras incríveis! Agradeço seu comentário.
    Um abraço!

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  3. Caramba! É o terceiro site em que busco entender sobre a demonstração, mas ainda tenho muita dificuldade! Poxa vida, não entendi nada :(

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  4. Faltou dizer que a definição que você usou para números primos podem valer para os números negativos.
    Poderia resumir que eles têm apenas 4 divisores distintos.

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