21 de mai de 2011

Construindo uma Sequência de Números Não-Primos

Podemos construir sequências de números naturais, com quantos números quisermos, sem que haja nela um único número primo! Para isso, utilizamos a fórmula:

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Vamos relembrar primeiramente alguns conceitos sobre fatorial e números primos.

Se um evento A pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento B pode ocorrer de n maneiras distintas, então o número de maneiras que esses eventos podem ocorrer um seguido do outro é m x n.

Em outras palavras, por exemplo, um estudante pode posicionar 5 livros na prateleira de 120 maneiras diferentes, pois o número de permutações (P) de 5 livros na prateleira é:

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Nos problemas de contagem, essa multiplicação de números inteiros decrescentes aparece com tanta frequência que os matemáticos inventaram um símbolo só para representá-la.

O fatorial de um número é simbolizado por n! e le-se “n-fatorial”. A origem do símbolo de fatorial (!) foi introduzido pela primeira vez em 1808 pelo professor universitário Christian Kramp (1760 – 1826) de Estrasburgo, França, a fim de contornar as dificuldades encontradas na escrita de seu Éléments d’arithmétique universelle ou d’Algèbre.

No ano de 1811, Legendre denotou n-fatorial usando a letra grega Gama em Exercicies de calcul integral, I, p.277. Paris 1811:

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Para este efeito, Gauss utilizou a letra grega Pi maiúscula em Commentationes Societatis regice scientiarum Gottingenis recentiores, vol. 2, 1811 – 1813:

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Então, para 5! temos:

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Para o fatorial de um número n qualquer, temos o produto:

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Exemplos:

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Por definição, fatorial de 0 é 1, pois:

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Se fizermos n = 1, obteremos:

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Uma propriedade dos fatoriais, muito interessante na hora de simplificações é que:

clip_image002[6]

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Portanto:

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Generalizando:

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Agora que já conseguimos entender um pouco melhor sobre fatoriais, vamos passar aos números primos.

Um número primo é um número inteiro positivo, diferente da unidade (1) e que só possui dois divisores: ele mesmo e a unidade. Por exemplo, os números: 2, 3, 5, 7, ...

Todo número fatorial é divisível por todos os números que entram na multiplicação até chegar a valo do fatorial, ou seja:

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Logo, n! não é um número primo, para n maior que 2. Podemos definir que todo número fatorial é um número composto.

Se dois números são múltiplos do mesmo número, então a soma desses dois números é também um múltiplo desse número, ou seja, é divisível por esse número. Assim, se a e b são múltiplos de k:

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Desta forma, se tomarmos a sequência abaixo, teremos uma sequência de números compostos, pois cada número fatorial é divisível por cada um dos números que entrou na multiplicação, e a soma do fatorial com um desses números também é divisível por este número:

clip_image002[1]

Essa sequência gera um conjunto de números sucessivos onde não contém nenhum número primo.

Para n = 6, temos:

clip_image002[8]

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E é válida para qualquer n maior que 2:

Para n = 7, teremos um conjunto com seis números começando em 5.042.

Para n = 11, teremos um conjunto com dez números começando em 39.916.802.

Para n = 23, teremos um conjunto de vinte e dois números começando em 25.852.016.738.884.976.640.002.

Quanto mais aumentamos o valor de n, mais dificilmente encontramos um número primo e as sequências ficarão com uma quantidade maior de números.

Assim, podemos montar uma sequência com 40 bilhões de números, basta fazer:

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O único problema será escrever cada um dos números desta sequência com quase 10 bilhões de zeros!

Referências:

[1] Revista Cálculo, V3, 2011

[2] History of Symbol for n-factorial - http://www.jstor.org

[3] http://mathematicsprojects.blogspot.com



Veja mais:

Dirichlet e os Números Primos
A História do Símbolo do Infinito
Uma Sequência de Quadrados Perfeitos no blog Fatos Matemáticos

4 comentários:

  1. É possível operar dois conjuntos, e obter um terceiro, de forma algébrica, e não com retas?
    Explico:

    se temos os números inteiros positivos (sem o zero), e o subtraímos dos números pares positivos, sobrará o conjunto dos números ímpares positivos.

    Ou seja; se
    N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}
    e
    2*N={2,4,6,8,...........}

    a subtração destes dois conjuntos me dará o conjunto: 2*N - 1 = {1,3,5,7,9.....}

    Há alguma forma algébrica de se fazer a subtração do conjunto "N" do COnjunto "2*N", de forma algébrica, e eu chegar em "2*N -1" ?

    ResponderExcluir
  2. Olá,
    A operação existe e é a diferença entre conjuntos. Seja N = {0,1,2,3,...} e P = {0,2,4,6,...}. Assim, I = N\P = {1,3,5,...}, pois
    P U I = N. Essas são as operações para conjuntos.
    Abraços.

    ResponderExcluir
  3. Na prova de seleção do ProfMat de 2011, caiu uma questão em que pedia a quantidade de divisores de 10!, resolvi da seguinte forma:

    Fatorei os não primos 10=2.5; 9=3^2; 8=2^3, 6=2.3 e 4=2^2, agrupei-os com os demais primos, e somei os expoentes de bases comuns (aplicando as propriedades de potenciação), encontrei:
    2^8.3^4.5^2.7^1, aplicando a propriedade que multiplica os sucessores do expoente para encontrar os divisores, obtive:
    9.5.3.2 = 270, que é a alternativa que continha a resposta correta, pergunto:

    Existe algum outro modo de fazê-lo?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Existe, mas essa é a melhor forma de resolver o problema.

      Excluir

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