9 de dez de 2010

Dirichlet e os Números Primos de uma Progressão Aritmética

image Examinando uma tabela de números primos parece sugerir que estes tendem a se tornar cada vez mais raro à medida que se avança na sequência dos números naturais. Por exemplo: são 168 os números primos entre 1 e 1.000; 135 entre 1.000 e 2.000 e 127 entre 2.000 e 3.000. Essa observação é confirmada, de um certo modo, pelo seguinte teorema:

Teorema 1: Para todo n, não importa quão grande ele seja, há sempre uma sucessão a1, a2, ..., na de números naturais consecutivos em que nenhum termo é primo. Basta fazer:

clip_image002[4]

Pois, obrigatoriamente, a1 é divisível por 2, a2 é divisível por 3, ..., na é divisível por n + 1.

Apesar desses fatos, sabe-se que há mais de dois milênios, através de uma demonstração de Euclides (séc. III a.C.) em seus Elementos, que o conjunto dos números primos ao longo da sucessão dos números naturais é uma das questões mais interessantes da matemática.

Gauss, entre 1792 e 1793 (portanto com cerca de 15 anos de idade), tabulou detalhadamente a distribuição dos primos em intervalos de 1.000 números, de 1 a 300.000, com pouquíssimos erros, considerando os parcos recursos computacionais de que dispunha. E chegou estatisticamente à conclusão que o número de primos menores que x, costumeiramente indicado por π(x), é aproximadamente igual a x / ln(x), tanto mais próximo quanto maior x. Por exemplo:

clip_image004[4]

Ao passo que:

clip_image006[4]

Mas Gauss, ao que parece, não demonstrou esse resultado e tampouco o publicou.

O primeiro matemático a publicar uma forma possível para a função π(x) foi Legendre em seu Ensaio sobre a Teoria dos Números, em dois volumes (1797 – 1798). Também do exame de um grande número de casos, Legendre conjecturou que π(x) se avizinha arbitrariamente de:

clip_image008[4]

fazendo-se x crescer indefinidamente. Tudo indicava que valeria o seguinte teorema, conhecido como teorema dos números primos:

O quociente

clip_image010[4]

“tende” a 1 à medida que x “cresce indefinidamente”.

E, de fato, em 1896 os matemáticos C. J. de La Vallée-Poussin (belga) e J. Hadamard (francês), em trabalhos independentes, mediante métodos analíticos, numa linha de abordagens da teoria dos números inaugurada por Riemann (1826 – 1866), conseguiram provar esse teorema. Aliás, essa nova linha (teoria analítica dos números) vinha se mostrando extremamente fértil, como provaram os trabalhos de P. G. Lejeune Dirichlet (1805 – 1859).

Embora alemão da cidade de Düren, Dirichlet optou por fazer seus estudos científicos em Paris (1822 – 25), na época o melhor centro de matemática do mundo. Mas foi provavelmente a leitura da obra de seu conterrâneo Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, feita nesse período, o fato que mais influenciou sua carreira, pois, apesar de ter deixado contribuições em áreas diversas, é na teoria dos números que estão as mais significativas, tendo explorado com grande brilhantismo e originalidade o grande manancial que era a citada obra de Gauss.

Academicamente, Dirichlet iniciou sua carreira em Breslau, em 1827; no ano seguinte transferiu-se para a Universidade de Berlim; finalmente, em 1855, sucede a Gauss em Göttingen.

Ao tempo de Dirichlet não era segredo que algumas progressões aritméticas, como:

clip_image012[4]

por exemplo, contêm infinitos números primos. Valeria também esse resultado para toda P. A. :

clip_image014[4]

em que a e b são naturais primos entre si? Mediante instrumentos matemáticos sofisticados, pois se trata de uma questão extremamente difícil, embora não pareça, Dirichlet provou que sim. Esse teorema, com sua aparente ingenuidade, é daqueles que marcam a obra de um matemático.

Texto de : Hygino H. Domingues


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7 comentários:

  1. Bem interessante o texto acima. Para complementar sugiro que leia o apêndice no final do livro Cálculo com Geometria Analítica V.1 George F. Simmnos. Lá também encontramos uma bela história sobre os números primos. Abraços!!

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  2. Não tenho este livro. Preciso passar num sebo para novas aquisições.

    Um abraço!

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  3. Olá a todos !!!!

    Kleber, gostei muito do seu blog (favoritei ele agorinha mesmo e já estou até lendo os posts retrasados de tão interessado que fiquei) e sobre este aqui em particular ...

    O Teorema da Distribuição dos Números Primos [formulado por Gauss e Legendre] tem muitas provas e demonstrações ao longo da História desta disciplina, que é a minha favorita.

    Vc sabia que este teorema sobre os nrºs primos
    também foi provado apenas com ferramentas da "Teoria Elementar dos Números" (um ramo da TEORIA DOS NÚMEROS) em 1948 pelo norueguês Atle Selberg e pelo hungáro Paul Erdös ??? Abaixo, uma prova deste fato:

    pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_número_primo

    Enfim, espero não etr me alongado muito. Adeus e continuem com este blog perfeito de matemática.

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  4. Olá Len,
    Agradeço pelo interesse em meu blog e pelo seu comentário.
    O link que você sugeriu é realmente um complemento deste post. Vou adicionar o link no final para que outras pessoas possam ler também!
    Comente o quanto quiser, curto ou longo, sempre serão benvindos.
    Um abraço!

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  5. Oi, Kebler! É como vc disse. Naquela época não existia computador. Portanto gênio não é só talento mas também capacidade para o trabalho. Obrigado pela indicação deste post, gostei muito.

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  6. Se eu tivesse esta fórmula para os primos onde postaria?

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    Respostas
    1. Prof Roberto. Você escreveu um artigo? Se desejar posso publicar aqui no blog. Os créditos serão mantidos.

      Deixo o convite aberto.

      Um abraço.

      Excluir

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