16 de nov de 2008

Ternos Pitagóricos: A Tábua de Plimpton 322

Talvez a mais notável das tábuas babilônias já analisadas seja aquela conhecida como Plimpton $322$. O nome faz referência a G. A. Plimton da Universidade de Columbia, catalogada pelo número de $322$.
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[Plimpton 322 é uma tábua de argila em escrita cuneiforme com registros da matemática babilônica.]

Esta tábua foi escrita no período babilônio antigo, aproximadamente entre $1900$ a $1600$ a.C.. Contém $3$ colunas praticamente completas de caracteres, sendo os valores dos catetos e hipotenusa de triângulos retângulos inteiros.

Um terno de números inteiros, como $(3,4,5)$, cujos termos são lados de um triângulo retângulo, é chamado de terno Pitagórico. Se o único fator inteiro positivo comum aos elementos de um terno Pitagórico é a unidade, então este terno é denominado Terno Pitagórico Primitivo, ao passo que $(6,8,10)$ não é.

Um dos grandes feitos matemáticos dos gregos, posterior muitos séculos à tábua de Plimpton $322$, foi mostrar que todos os ternos Pitagóricos Primitivos (a,b,c) são dados parametricamente por:
\begin{matrix}
a&=&2uv\\
b&=&u^2-v^2\\
c&=&u^2+v^2\\
\end{matrix}
sendo, $u$ e $v$ primos entre si, $u>v$ e sendo um par e outro ímpar.

Com base nessas informações é possível construir uma tabela onde $(a, b, c)$ são respectivamente os catetos e a hipotenusa de triângulos retângulos:

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Referências:

[1] Howard Eves - Introdução à História da Matemática - Ed. Unicamp

Veja mais:

Frações Unitárias
Períodos Matemáticos
Método da Falsa Posição

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