17 de mar de 2010

Expansão em Série de Taylor

Seja clip_image002[4] e clip_image004[4] exista em [a, b] com clip_image006[4], onde Cn é o conjunto de funções n vezes deriváveis e até a n-ésima derivada contínua, então, clip_image008[4] existe um número clip_image010[4] com clip_image012[4] com clip_image014[4], onde:

clip_image016[4]

clip_image018[4]

clip_image020[4]

e

clip_image022[4]

Pn é o Polinômio de Taylor de grau n centrado em x0.

Rn é o resto ou erro de truncamento.

Vamos determinar o Polinômio de Taylor de grau 2 para a função:

clip_image026[4]

Temos que:

clip_image028[4]

clip_image030[4]

Como x0 = 0, temos que:

clip_image032[4]

Então sua derivada será:

clip_image034[4]

E para a derivada segunda temos:

clip_image036[4]

Aplicando os valores encontrados no Polinômio de grau 2 de Taylor, obtemos:

clip_image038[5]

clip_image040[5]

clip_image042[4]

Graficamente temos:

image

[Figura 1 – Clique na imagem para aumentar]

Vejam que P2(x) está centrado em x0 = 0 e aproxima a função f (x) = cos(x) com uma parábola – x2 / 2 e corta o eixo dos y em 1.

Aproveitando este exemplo, vamos obter um valor aproximado para cos(0,01) utilizando P3(x).

Vamos primeiramente determinar a derivada de ordem 3 de F (x). Se:

clip_image002[6]

Então:

clip_image004[6]

clip_image006[6]

clip_image008[6]

clip_image010[6]

Então:

clip_image012[6]

clip_image014[6]

clip_image016[6]

clip_image018[6]

Pela calculadora, temos que cos (0,01)=0,9999500004. A diferença entre o valor real e o valor aproximado pelo Polinômio de Taylor é muito pequeno:

clip_image020[6]

O resto ou erro R3 é:

clip_image022[6]

clip_image024[6]

clip_image026[6]

Logo:

clip_image028[6]

clip_image030[6]

clip_image032[6]

clip_image034[6]

Achou absurdo esse desenvolvimento para o século XVIII ?


Veja mais:

A Série de Maclaurin e o Binômio de Newton
Uma Série Infinita para a Função Arco Seno
Newton e a Série Infinita para PI
Soma de Séries Através da Transformada de Laplace no blog Fatos Matemáticos.


3 comentários:

  1. Realmente as séries de Taylor são as ferramentas muito utilizadas na Matemática. Muito bom o post e obrigado pela citação.

    Abraços!

    ResponderExcluir
  2. A demonstração da série de Taylor pode ser encontrada em http://pathfinder.scar.utoronto.ca/~dyer/csca57/book_P/node26.html

    Juliano.

    ResponderExcluir
  3. De onde sugem esses fatoriais consecutivos na Série de Taylor, isso eu gostaria de saber!!

    ResponderExcluir

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