6 de mar de 2010

A Série de Maclaurin e o Binômio de Newton

A série de Maclaurin pode ser escrita como:

clip_image002[29]

Observe que para ser possível a expansão em Série de MacLaurin:

1) A função tem de estar definida em x = 0;

2) A série deve ser convergente.

Ao polinômio gerado pelo truncamento da Série de MacLaurin no termo de grau n dá-se o nome de polinômio aproximador de MacLaurin de grau n:

clip_image002[31]

Se fizermos Pn (x) = (a + b)n, podemos aplicar a Série de Maclaurin para o desenvolvimento do Binômio de Newton:

clip_image002[5]

clip_image004

clip_image006

Para n = 2, temos o produto notável:

clip_image002[7]

Aplicando n = 2 na série de Maclaurin, obtemos:

clip_image002[9]

clip_image004[5]

Para n = 3, obtemos

clip_image002[11]

clip_image004[7]

clip_image002[13]

Para n = 5,obtemos:

clip_image002[15]

clip_image004[9]

clip_image006[5]

clip_image002[17]

Podemos fazer n um número fracionário e trocar a por um número real, por exemplo 1. Vejam:

clip_image002[19]

clip_image004[11]

clip_image006[7]

clip_image008

clip_image010

clip_image002[21]

Se fizermos x = 1, teremos:

clip_image002[25]

clip_image004[13]

Mas:

clip_image002[27]

Vejam que o valor encontrado pela série de Maclaurin é próxima da raiz quadrada de 2.


Veja mais:

Binômio de Newton no blog Fatos Matemáticos: Link 1, Link 2,
Expansão em Série de Taylor
Uma Série Infinita para a Função Arco Seno

Um comentário:

  1. Gostei do post parceiro. As séries formadas a partir do binômio são muito úteis. Irei escrever um pequeno post sobre a função de Bessel de ordem e irei a expansão (1 + x)^(-1/2). Obrigado pelas citações.

    Abraços.

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