14 de mar de 2011

Dia do PI: Newton e a Série Infinita para PI

Hoje é o Dia Internacional de π, a constante mais famosa do mundo que passou a ser comemorada em 1988, criado por Larry Shaw, quando o público e funcionários marcharam em torno de um dos espaços circulares do museu Exploratorium,  de São Francisco, e depois consumiram tortas de frutas. No ano seguinte o museu acrescentou pizza ao menu do Dia do Pi.

Como forma de homenagear esta constante, que constantemente se apresenta em nossas vidas, segue este post sobre a série infinita que Newton encontrou para π, utilizando notações modernas.

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Gottfried W. Leibniz é conhecido na matemática como um dos inventores do cálculo diferencial e integral, juntamente com Newton. Estudando um trabalho de Blaise Pascal sobre a quadratura de um quadrante de um círculo de raio unitário, ele descobriu uma série infinita envolvendo π que é dada por:

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Excitado com esta descoberta, tratou logo de publicá-la em seu periódico Acta Eruditorum. O que ele não sabia, e que explicaremos em notação moderna, é que seu grande rival Isaac Newton também descobriu uma série infinita para π dada por:

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Para prová-la, Newton começou com a série geométrica:

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Substituindo x por x4 para obter:

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Multiplicando (2) por x2, obtemos:

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Adicionando as séries (2) e (3), segue que:

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Integrando a expressão (4) com limites de 0 a 1, termo a termo, temos:

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Para o leitor atento, tudo que foi feito até agora carece de rigor matemático presente nos livros atuais, mas nos primórdios do cálculo, essas manipulações eram muito comuns e somente no século XIX que os matemáticos criaram o conceito de limite, de sequência e convergência para tratar as séries infinitas de forma rigorosa.

Seguindo os passos de Newton, neste dia internacional de π, calcularemos a integral dada em (5). Notem que:

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E que:

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De (6) e (7), temos:

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Assim:

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Notem que:

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Analogamente:

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Substituindo (9) em I1 da relação (8), segue que:

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Onde:

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Analogamente:

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Assim:

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Mas é fácil provar que :

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Seja f (p) = arctan (p) + arctan (1 / p)

Assim:

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Fazendo p = 1, segue o resultado.

De (13) temos que:

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Logo, de (5) e (13), obtemos:

clip_image002[3]


Referências:

[1] Burton – The History of Mathematics: An Introduction – 6ª ed. Mc Graw – Hill, 2006


Veja mais:

Dia do PI e a Soma dos Inversos dos Inteiros Positivos ao Quadrado no Blog Fatos Matemáticos
Um a Breve Cronologia de PI
A Fórmula de Pick e a Aproximação de PI
5 Trilhões de Dígitos de PI
Retificando uma Circunferência

9 comentários:

  1. Muito o bom post, realmente vemos que Newton sabia manipular séries infinitas tão bem quanto Euler. Obrigado pelo link, irei adicioná-lo também.

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  2. Pelo jeito alguem lembrou dessa data... Comentei com uma pessoa formada em matemática, mas parece que não foi relevante...

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  3. Olá Henrique,
    Muito estranho uma pessoa formada em matemática não se importar com o dia do PI. Olhe só: neste blog está reunido alguns blog de matemática, onde a maioria deles fizeram uma homenagem a PI em seu dia:

    http://ubmatematica.blogspot.com/p/descricao-dos-blogs-filiados.html

    Obrigado pela visita e comentário.

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  4. Novo cálculo de pi, disponível no site: www.titomathpi.com

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  5. Adorei a demonstração... muito engenhosa e bem explicada.
    Você é professor de matemática? Onde?

    :)

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  6. Olá amigo,
    Sim sou prof. de matemática, mas não leciono. Exerço outra profissão no momento. Mas lecionar é um plano que não abandonei. A matemática está em nossas vidas, na minha. Mas não sou nenhum gênio, e este blog me ajuda a manter minhas idéias vivas.

    Um abraço!

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  7. I_1 = \int_0^{1} \frac{dx}{\frac{1}{2}(2x-\sqrt{2})^2+1} \\ \int_0^{1} \frac{dx}{(\frac{2x}{\sqrt{2}}- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})^2+1} \\ \int_0^{1} \frac{dx}{(\frac{2x}{\sqrt{2}}- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})^2+1} = \int_0^{1} \frac{dx}{(\sqrt{2}x-1 )^2+1} \\ No\, entanto,\, o\, termo\, ao\, quadrado\, do\, denominador\, esta\, assim:\,\, (\sqrt{2x-1})^2

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    Respostas
    1. O código em Latex não renderizou corretamente. Eu tinha feito uma observação quanto ao possível erro em uma substituição.

      Chacon Alex.

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    2. https://s19.postimg.io/qkxyzgb0z/int_BM.png

      Chacon Alex.

      Excluir

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$$a^2+b^2=c^2$$
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