7 de ago de 2011

A Construção da Primeira Tábua de Logaritmos Decimais por Briggs

Neste post, vamos mostrar como Briggs determinou o valor de log2 através um laborioso processo de aproximações sucessivas.

imageSeja log2 = x. Assim, temos que 10x = 2. Vamos inicialmente situar o número 2 entre duas potências de 10, a1 e a2, com expoentes inteiros e sucessivos. Teremos: a1 = 1 e a2 = 10. Deste modo:

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Esquematicamente, temos:

image Assim, já temos uma primeira aproximação para log2, pois:

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Sendo a3 a média geométrica entre a1 e a2, teremos:

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Vamos agora localizar o valor de a na reta do esquema anterior:

image Conseguimos uma aproximação melhor, pois:

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A escolha de utilizar a média geométrica entre a1 e a2 e não a média aritmética é que se assim fizéssemos, encontraríamos a3 = 5,5 e não conseguiríamos transformar em uma potência de 10:

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o que prejudicaria o processo de sucessões.

Podemos então continuar a repetir as operações tomando agora a média geométrica entre a1 e a3:

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Analogamente, podemos prosseguir as aproximações encontrando:

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Vejam como através das aproximações, fomos “cercando” o número 2:

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Vejam que conseguimos uma satisfatória precisão de 5 casas decimais. Desta forma, temos que:

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Vamos lembrar que a tabela que Briggs construiu apresentava os logaritmos dos números inteiros de 1 a 1000, com precisão até a 14ª casa decimal! Porém a grande maioria desses logaritmos foi obtida recorrendo-se a outros anteriores calculados. Mas isso não tira o brilho de suas construções. Vejam alguns exemplos:

Considerando que log2 = 0,30103 e log3 = 0,47712, determine:

a) log4

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Então:

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Ou seja:

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b) log5

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Então:

clip_image070[1]

Ou seja:

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c) log6

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Ou seja:

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Veja mais:

Stifel, Bürgi e a Criação dos Logaritmos
Os Logaritmos Segundo Napier
Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos

16 comentários:

  1. Uma curiosidade: como Briggs calculou essas sucessivas potências de 10? Abs.

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  2. Olá Paulo,
    Essa é uma pergunta que me fiz também. O método em si já é muito engenhoso, e para calcualr as potências, creio que não tenha sido diferente. Mas fica essa questão em aberto, procurei, mas não encontrei como foi feito o desenvolvimento. Infelizmente o material que chega até nós é muito escasso e na maioria das vezes, incompleto. Se descobrir alguma coisa sobre, por favor me avise.
    Um abraço.

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  3. Ok, Kleber, vou tentar achar alguma coisa e encontrando, te passo. Com certeza, o método é bastante engenhoso (não conhecia). Abs.

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  4. brilhante postagem irmão, estava precisando deste material para aula, mas a minha pergunta é como foi feito esses calculos com expoentes decimais.
    um abraço

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  5. Olá amigo,
    Sua pergunta é a mesma de nosso amigo Paulo Bouhid, mas não tenho essa resposta. Já havia procurado na internet algo sobre, mas não encontrei. Fico devendo essa!
    Abraços.

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    Respostas
    1. Não é preciso calcular as potências de 10!! Achamos um novo termo da sequência calculando a média geométrica dos dois termos anteriores mais próximos do 2 (nesse caso). Só que usamos esses termos anteriores na sua FORMA DECIMAL e não como potência de 10!! Não há problema em multiplicarmos dois decimais e depois extrairmos a raíz quadrada. Se calculamos nosso novo termo assim, então pra quê aquela simbologia dos radicais e potências de 10? PARA SABERMOS EM QUAL POTÊNCIA DE 10 ESTÁ NOSSO NOVO TERMO!!
      Resumindo: a manipulação com radicais e potências de 10 vai nos dar a potência de 10 em que está nosso novo termo, mas O CÁLCULO desse novo termo vai utilizar os termos anteriores já conhecidos na sua FORMA DECIMAL.
      Espero ter ajudado.

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  6. Isso devia ser ensinado nas escolas descomplica bastante o assunto!

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  7. É verdade Arlete, este e muitos outros tópicos nem sequer estão nos livros didáticos, pois a Matemática é muito ampla e algumas coisas devem ser omitidas por não haver tempo letivo suficiente para desenvolver tudo.

    Um abraço!

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    Respostas
    1. a tábua de log pode ser calculada pelas séries de Maclaurin ou pelo método das frações contínuas.Hoje, com o Kleber, aprendi mais um método.

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    2. Eu conhecia 2 métodos. pela séris de Maclaurin e pelas frações constantes. O Kleber hoje, me ensinou um 3 método

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    3. Obrigado Lopes pelo prestígio. Um grande abraço!

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  8. Desconhecia esse método, muito interessante.

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  9. No livro do Feynman, lectures on physics v1, no capitulo algebra, tem uma descriçāo de como o Briggs concluiu a sua tabela

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    Respostas
    1. Olá Flávio!

      Obrigado por compartilhar esta informação. Procurarei a descrição no livro.

      Um abraço!

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  10. gente que trem doido esse homem deve ter tido um trabalho danado pra fazer isso! mas é muito legal.

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