8 de jun de 2010

Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos

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Vou aqui, mostrar como calcular logaritmos utilizando Tábuas de Logaritmos, assim como encontrar sua característica e a mantissa. 

Obs.: Não encontrei uma tábua on-line para ilustrar os valores mostrados neste estudo. No entanto, a tábua que possuo é a mesma da imagem ao lado e clicando nela leva a uma página do ML com tábuas usadas para venda.

Um pouco de História

Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais básicas como soma e subtração.

O mérito da invenção foi dado ao escocês John Napier, embora não tivesse descoberto tudo sozinho.

Napier era um Barão e gostava de Matemática, mas não era matemático profissional. Seu trabalho deu o impulso final para o emprego universal da notação decimal, com o uso sistemático de casas decimais depois da vírgula para representar frações decimais.

Uma das necessidades que levaram ao pensamento de descobrir meios matemáticos para solucionar problemas foram as grandes navegações, a astronomia e operações a serem efetuadas contendo muitos dígitos, o que as tornava mais difíceis, principalmente no caso de multiplicações e divisões.

Na invenção do logaritmo, Napier trabalhou durante vinte anos antes de publicar seus resultados, isso ocorreu em 1614, quando publicou “mirifici logarithmorum canonis descriptio” (uma descrição da maravilha dos logaritmos).

A publicação em 1614 do sistema de logaritmos teve sucesso imediato, e entre seus admiradores mais entusiásticos estava Henry Briggs, professor de Geometria em Oxford. Em 1615 ele visitou Napier em sua casa na Escócia, e lá eles discutiram possíveis modificações no método dos logaritmos. Briggs propôs o uso de potências de dez, e Napier que já havia pensado nessa possibilidade e concordava. Napier uma vez tinha proposto uma tabela usando:

clip_image002 e clip_image004.

Os dois finalmente concordaram em que o logaritmo de 1 deveria ser 0 e o logaritmo de 10 deveria ser 1. Mas Napier já não tinha energia suficiente para por em prática essas ideias, pois morrera em 1617. Por isso recaiu sobre Briggs a tarefa de construir a primeira tabela de logaritmos comuns.

Ficou sugerido até agora que a invenção dos logaritmos foi obra de um só homem, mas tal impressão não deve permanecer. Napier de fato foi o primeiro a publicar uma obra sobre logaritmos, mas idéias muito semelhantes foram desenvolvidas independentemente na Suíça por Jobst Bürgui mais ou menos ao mesmo tempo. Na verdade, é possível que a idéia de logaritmo tenha ocorrido a Bürgui em 1588, o que seria seis anos antes de Napier começar a trabalhar na mesma direção. Porém Bürgui só publicou seus resultados em 1620. As diferenças entre as obras dos dois homens estão principalmente na terminologia e nos valores numéricos, os princípios fundamentais eram os mesmos.

Nosso estudo:

Os logaritmos decimais são definidos pela função exponencial:

clip_image006

E podem ser representados como:

clip_image008

Ou simplesmente:

clip_image010

A manipulação dos logaritmos nos cálculos exige que possamos determinar rapidamente os logaritmos de números naturais com determinadas aproximações.

Vamos, neste estudo, fazer uso das tábuas de logaritmos para determinarmos alguns logaritmos.

As tábuas de logaritmos, (hoje praticamente esquecidas devido ao avanço da tecnologia, que nos trás calculadoras sofisticadas que, além de trazer o valor do logaritmo, esboça também seus gráficos) soa tabelas ordenadas dos números naturais e seus logaritmos calculados com uma determinada aproximação.

Podemos destacar duas propriedades interessantes:

P1) O logaritmo decimal de qualquer potência de 10, coincide com seu próprio expoente:

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P2) Quando o número não for potência de 10, seu logaritmo decimal será composto da soma de uma parte inteira, denominada característica, com uma parte decimal, denominada mantissa.

Assim, temos:

clip_image018

As tábuas de logaritmos fornecem apenas as mantissas que são sempre positivas. Vamos considerar mantissas com 5 algarismos decimais, que é uma aproximação mais do que suficiente para cálculos corriqueiros.

A característica, correspondente de cada número pode ser determinada fazendo uso das seguintes regras:

R1) Se o número N for inteiro, ou um número decimal com parte inteira (N > 1), sua característica será dada pelo inteiro determinado pelo número de algarismos da parte inteira do número dado, diminuído de 1 unidade.

Por exemplo, se tivermos N = 19, sua característica será 2 – 1 = 1; se tivermos N= 123,17, sua característica será 3 – 1 = 2. Vejamos outros exemplos:

image R2) Se o número N for um número decimal com a parte inteira nula (N < 1), sua característica é negativa, representada por uma barra vertical sobre o número, e é determinada pela quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo, incluindo o zero à esquerda da vírgula.

Se tivermos N = 0,0072345, sua característica será clip_image020, pois há 3 zeros precedendo o número 7, que é o primeiro algarismo significativo. Vejamos outros exemplos:

image Vamos, agora, resolver alguns exemplos de problemas utilizando as tábuas de logaritmos.

Exemplo 1: Determine o log 4391.

Como N é um número inteiro, sua característica é a quantidade de algarismos menos 1, que neste caso: 4 – 1 = 3. Agora, devemos procurar em uma tábua de logaritmos, o número na coluna intitulada de N e encontrar a mantissa correspondente na coluna intitulada Log . Neste caso, a mantissa correspondente ao número 4391 é 64256.

Então temos que:

clip_image026

Onde 3 (número à esquerda da vírgula) é a característica e 64256 (número à direita da vírgula) é a mantissa.

Exemplo 2: Determine o log 27.

A característica, neste caso é 2 – 1 = 1. Procurando na tábua de logaritmos, na coluna N o número 27, encontramos a mantissa correspondente na coluna Log, que é 43136.

Portanto:

clip_image028

Onde 1 (número à esquerda da vírgula) é a característica e 43136 (número à direita da vírgula) é a mantissa.

Exemplo 3: Determine o log 0,006534.

Como N é um número decimal, sua característica é dada pela quantidade de zeros, que neste caso possui 3 zeros. Representamos por:clip_image020[2].

Agora, procuramos na tábua de logaritmos, na coluna N, pelo número 6534 e encontramos a mantissa correspondente na coluna Log, que é 81518.

Temos então que:

clip_image030

Onde clip_image020[3] (número à esquerda da vírgula) é a característica e 81518 (número à direita da vírgula) é a mantissa.

Importante: Se fizermos a conta através de uma calculadora científica (a do Windows mesmo serve), veremos que:

clip_image032

Que é um valor diferente do que encontramos. Então fizemos a conta errada? Não! Simplesmente expressamos o valor correto de uma forma diferente, característico das tábuas de logaritmos, que são muito dinâmicas e com muitas propriedades interessantes

Para transformar o valor expresso acima, num número real para trabalharmos em cálculos, devemos fazer uma conversão simples: Subtraímos a característica da mantissa, desta forma:

clip_image034

Que é exatamente o valor para o log 0,006534.

Exemplo 4: Determine o log 0,000057

Neste caso, a característica é igual a clip_image036. Procuramos na tábua de logaritmos, na coluna N pelo número 57. Encontramos a mantissa correspondente na coluna Log, igual a 75587.

Temos então que:

clip_image038

Que equivale a dizer que:

clip_image040

Que é exatamente o valor encontrado por qualquer calculadora.

Mágica? Não! Sabedoria de poucos que contribuíram para o desenvolvimento desta fascinante ciência: Matemática.


Veja mais:

Utilizando Tábuas de Logaritmos para Encontrar Aproximações de Raízes
Utilizando Tábuas de Logaritmos para Encontrar Aproximações de Expressões mais Complexas

3 comentários:

  1. Há algum tempo atrás eu comprei uma tábua de logaritmos, mas não sabia ao certo como usar. Lendo seu post agora aprendi. Muito obrigado por compartilhar esse conhecimento!

    Pelo que eu sei, os antigos utilizavam os logaritmos para simplificar cálculos complexos, transformando divisões em subtrações, e multiplicações em somas. Mas até hoje eu não sei direito como isso era feito...

    Você não poderia me mostrar um exemplo de simplificação utilizando logaritmos na base 10?

    Parabéns pelo blog!


    MF Matemática
    http://www.mfmatematica.blogspot.com

    ResponderExcluir
  2. É verdade, os logaritmos surgiram como uma nova matemática, que na época estava faltando este conhecimento para o avanço de determinadas áreas, assim como a astronomia, que foi imediatamente um sucesso!
    As transformações de produto em soma e divisão em subtração, são exatamente as propriedades dos logaritmos que aprendemos hoje no ensino médio.
    Eu tinha visto um artigo de uma resolução de uma equação mais complexa envolvendo logaritmos resolvida pela tábua, e isso me interessou. Mas estava muito mau explicado, com passagens obscuras. Então fiz este post como uma introdução às tábuas para que eu possa fazer uma resolução mais complexa (que em breve publico aqui), assim como aproximações de raízes quadradas, cúbicas, n...
    Já comecei a escrever, só não sei quando que vou conseguir publicar. Mas será em breve...


    Obrigado amigo pelo seu elogio.

    Um forte abraço!

    ResponderExcluir
  3. Existe uma maneira de calcular-se o logaritmo de um número manualmente.

    Exemplo: calcular o logaritmo decimal de 1234.

    1234 / 10 = 123,4
    123,4 / 10 = 12,34
    12,34 / 10 = 1,234
    Como dividiu-se 3 vezes por 10 até atingir uma parte inteira menor que a base, ou seja, 1 < 10, a característica do logaritmo é 3.

    Para continuarmos, elevamos o resultado à décima potência e repetimos as divisões:

    1,234 ^ 10 = 8,187505353567209228244052427776

    Como a parte inteira do resultado é menor que a base 10, o próximo dígito do logaritmo é 0, ficando agora o logaritmo decimal de 1234 igual a 3,0.

    Elevamos novamente à décima potência o resultado:

    8,187505353567209228244052427776 ^ 10 = 1.353.679.866,7910745184953928007061

    Dividindo-se sucessivamente o número por 10, faremos um total de 9 divisões.

    Portanto, o próximo dígito do logaritmo será 9, tendo agora 3,09 como logaritmo.

    Elevamos novamente à décima potência:

    1,3536798667910745184953928007061 ^ 10 = 20,661397697112654715919430054827

    O próximo dígito do logaritmo é 1, ficando o logaritmo igual a 3,091.

    E assim por diante, caso se queira novos dígitos.

    ResponderExcluir

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