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19/05/2011

Aproximação de PI pelos Egípcios

Os egípcios antigos já empregavam linguagem simbólica para representar duas operações aritméticas: a soma era representada por duas pernas caminhando na direção da escrita e a subtração por pernas no sentido oposto.


Ahmes ensina como calcular a área do círculo. Sem justificar, ele diz que tal área é igual à área de um quadrado cujo lado é 8/9 do diâmetro do círculo. Em linguagem moderna é o mesmo que dizer que π=3,1605, uma ótima aproximação para a época.

A figura que Ahmes utilizou não foi um círculo, mas sim um octógono:



O lado do quadrado circunscrito ao octógono mede D, que também é o diâmetro do círculo circunscrito ao mesmo quadrado e sobreposto ao octógono.

Então, a área do quadrado será dada por:
AQuadrado=D2

Dividindo-se cada lado do quadrado em 3 partes, podemos formar um octógono. A área de cada triângulo formado pelos vértices do quadrado será dada por:
ATriângulo=13D13D2=118D2

Assim, a área do octógono é a diferença entre a área do quadrado e dos quatro triângulos:
AOctógono=D24118D2AOctógono=79D2

Se o círculo tem diâmetro D=9, logo a área do octógono será igual a 63. Ahmes, então, aproximou este valor para 64, que é um quadrado perfeito:
6364

Em notações modernas, temos que a área do círculo é dada por:
AC=πr2

E assim, a área do octógono de diâmetro D=9, cuja área se aproxima a de um quadrado de lado igual a 8, pode ser escrita como:
AC=πr264π(92)2π3,1605

Que é foi uma ótima aproximação para a época. Desta forma, os egípcios anteciparam-se aos gregos em mais de um milênio na ideia correta de aproximar um círculo por meio de polígonos. Na introdução de seu papiro, Ahmes diz basear-se em antigos escritos que hoje os historiadores acreditam ser datados de 1900a.C..

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática - Howard Eves - Ed. Unicamp
[2] Notas de aula

Veja mais:

Newton e a Série Infinita para PI
Uma Breve Cronologia de PI
O Seqt de uma Pirâmide



COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Aproximação de PI pelos Egípcios. Publicado por Kleber Kilhian em 19/05/2011. URL: . Leia os Termos de uso.


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2 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Essa dançinha egípcia... pra lá e pra cá, indicando se a operação matemática era de somar ou subtrair... eu nunca tinha ouvido falar dela, muito interessante!
    Também, não menos interessante.. é a informação de que isso era baseado em conhecimento matemático anterior! De quem? Sumério ou babilônico? Hindu, chinês e o que mais? Como sempre, fiquei curioso!
    De resto, acredito que... só com os gregos e na figura do Arquimedes, para dar uma maior precisão... é que esse valor de Pi, tenha sido posto de lado.
    Ótimo trabalho, parceiro e meus parabéns!
    Um abraço!!!!!

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  2. Pois é Valdir, como você mesmo disse: "os velhinhos sabiam das coisas". Acho incrível os métodos alternativos que utilizavam para resolver problemas. Os egípcios tinham sua matemática totalmente voltada para as tarefas diárias; as abstrações vieram com os gregos.

    Um abraço.

    ResponderExcluir

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