27/11/2010

Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Infinita

Vimos no post anterior sobre a demonstração da fórmula para a soma dos termos de uma P.G. finita:

clip_image002

Se tivermos uma P.G. infinita na forma:

clip_image004

podemos demonstrar a fórmula da soma dos termos desta P.G. a partir de (1):

clip_image006

Notem que a1 e q são constantes, de modo que a1 / q – 1 também é uma constante. No entanto, qn é variável, devido à n. Logo, temos que:

clip_image008

Se temos uma PG de infinitos termos n, podemos aplicar (4) em (3), obtendo:

clip_image010

A condição – 1 < q < 1 é necessária para a convergência da sequência, mas se a1 = 0 esta condição se torna desnecessária.

Mas, se a1 ≠ 0 e q < -1 ou q >1, a sequência (S1, S2, S3, ...) não converge e se torna impossível calcular a soma dos termos desta P.G..

Exemplo 1: Calcule a soma dos termos da P.G.:

clip_image012

Temos que:

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Exemplo 2: Calcule a soma dos termos da P.G.:

clip_image020

Temos que:

clip_image022

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clip_image026

Também podemos encontrar frações geratrizes de dízimas periódicas através da P.G.. Veja um estudo sobre esse tema acessando o link abaixo:


Veja Mais:

Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Fração Geratríz de Dízima Periódica através de P.G.
A Série de Suiseth
Raízes em Progressões no blog Fatos Matemáticos

Um comentário:

  1. No vou mentir, não entedir sua explicação, talvez se você postasse um vídeo no youtube explicando pudesse ser até mais fácil para entender, mas ai ta meio complicado.

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Sobre comentários:

1) Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui.

2) É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas alinhadas ao centro, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, \int_a^bf(x)dx entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$\displaystyle \int_a^bf(x)dx$$
3) Se desejarem visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

4) Seguem alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:

α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g ½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔ \ ∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥

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