Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Infinita

Vimos no post anterior sobre a demonstração da fórmula para a soma dos termos de uma P.G. finita:
$$\begin{equation} S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1} \end{equation}$$
Se tivermos uma $P.G.$ infinita na forma:
$$\begin{equation} (a_1, a_2, a_3, \cdots ,a_n, \cdots ) \end{equation}$$
podemos demonstrar a fórmula da soma dos termos desta $P.G.$ a partir da fórmula dada em $(1)$:
$$\begin{equation} S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1}{q-1} \end{equation}$$
Notem que $a_1$ e $q$ são constantes, de modo que $\displaystyle \frac{a_1}{q-1}$ também é uma constante. No entanto, $q^n$ é variável, devido a $n$. Assim, temos que:
$$\begin{equation} \lim_{n \longrightarrow +\infty} q^n=0 \end{equation}$$
onde $-1<q<1$.

Se temos uma $P.G.$ de infinitos $n$ termos, podemos aplicar $(4)$ em $(3)$, obtendo:
$$\begin{equation} S_n=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1}{q-1}=0+\frac{a_1}{1-q}=\frac{a_1}{1-q} \end{equation}$$
A condição $– 1 < q < 1$ é necessária para a convergência da sequência, mas se $a_1 = 0$ esta condição se torna desnecessária.

Mas, se $a_1 \neq 0$ e $q < -1$ ou $q >1$, a sequência $(S_1, S_2, S_3,\cdots)$ não converge e se torna impossível calcular a soma dos termos desta $P.G.$.

Exemplo $1$:

Calcule a soma dos termos da $P.G.$: $\displaystyle \left(5,\frac{5}{2},\frac{5}{4}, \cdots \right)$.

Temos que $a_1=5$ e $\displaystyle q=\frac{1}{2}$.

Assim:
$$\begin{equation*} S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10 \end{equation*}$$

Exemplo $2$:

Calcule a soma dos termos da $P.G.$: $\displaystyle \left(4,\frac{8}{3},\frac{16}{9}, \cdots \right)$.

Temos que $a_1=4$ e $q = \displaystyle \frac{2}{3}$.

Assim:

$$\begin{equation*} S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{2}{3}}=\frac{4}{\frac{1}{3}}=12 \end{equation*}$$

Também podemos encontrar frações geratrizes de dízimas periódicas através da P.G.. Veja um estudo sobre esse tema acessando o link abaixo:

Veja Mais:

Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Fração Geratríz de Dízima Periódica através de P.G.
A Série de Suiseth
Raízes em Progressões no blog Fatos Matemáticos