27 de nov de 2010

Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Infinita

Vimos no post anterior sobre a demonstração da fórmula para a soma dos termos de uma P.G. finita:
\begin{equation}
S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}
\end{equation}
Se tivermos uma $P.G.$ infinita na forma:
\begin{equation}
(a_1, a_2, a_3, \cdots ,a_n, \cdots )
\end{equation}
podemos demonstrar a fórmula da soma dos termos desta $P.G.$ a partir da fórmula dada em $(1)$:
\begin{equation}
S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1}{q-1}
\end{equation}
Notem que $a_1$ e $q$ são constantes, de modo que $\displaystyle \frac{a_1}{q-1}$ também é uma constante. No entanto, $q^n$ é variável, devido a $n$. Assim, temos que:
\begin{equation}
\lim_{n \longrightarrow +\infty} q^n=0
\end{equation}
onde $-1<q<1$.

Se temos uma $P.G.$ de infinitos $n$ termos, podemos aplicar $(4)$ em $(3)$, obtendo:
\begin{equation}
S_n=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1}{q-1}=0+\frac{a_1}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}
\end{equation}
A condição $– 1 < q < 1$ é necessária para a convergência da sequência, mas se $a_1 = 0$ esta condição se torna desnecessária.

Mas, se $a_1 \neq 0$ e $q < -1$ ou $q >1$, a sequência $(S_1, S_2, S_3,\cdots)$ não converge e se torna impossível calcular a soma dos termos desta $P.G.$.

Exemplo $1$:

Calcule a soma dos termos da $P.G.$: $\displaystyle \left(5,\frac{5}{2},\frac{5}{4}, \cdots \right)$.

Temos que $a_1=5$ e $\displaystyle q=\frac{1}{2}$.

Assim:
\begin{equation*}
S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Calcule a soma dos termos da $P.G.$: $\displaystyle \left(4,\frac{8}{3},\frac{16}{9}, \cdots \right)$.

Temos que $a_1=4$ e $q = \displaystyle \frac{2}{3}$.

Assim:
\begin{equation*}
S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{2}{3}}=\frac{4}{\frac{1}{3}}=12
\end{equation*}
Também podemos encontrar frações geratrizes de dízimas periódicas através da P.G.. Veja um estudo sobre esse tema acessando o link abaixo:

Veja Mais:

Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Fração Geratríz de Dízima Periódica através de P.G.
A Série de Suiseth
Raízes em Progressões no blog Fatos Matemáticos

Imprimir

4 comentários:

  1. No vou mentir, não entedir sua explicação, talvez se você postasse um vídeo no youtube explicando pudesse ser até mais fácil para entender, mas ai ta meio complicado.

    ResponderExcluir
  2. O exemplo dois esta errado. No lugar no 1/2 é 1/3, logo o resultado será 12.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá. Obrigado pela notificação. já está corrigido. Um abraço!

      Excluir
  3. Muito bom! Melhor explicação que encontrei, muito obrigada!

    ResponderExcluir

Por favor, leiam antes de comentar:

1) Escreva um comentário apenas referente ao tema;

2) Para demais, utilize o formulário de contato;

3) Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

4) Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

5) É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Seguidores

Comentários Recentes

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...