20 de nov de 2010

Fração Geratriz de Dízima Periódica Através de PG

Vimos em outra oportunidade como determinar uma fração geratriz de dízima periódica utilizando o método de múltiplos. Neste post, vamos aprender a utilizar o conceito da PG para determinarmos a fração geratriz.

Primeiramente, vamos relembrar que a fórmula para determinar a soma dos termos de uma PG infinita é dada por:

clip_image002

Vamos tomar alguns exemplos que foram utilizados no post sobre Fração Geratriz através de múltiplos, para efeito de comparação.  

Exemplo 1: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 0,121212...

Podemos reescrever a dízima em forma de soma de frações:

clip_image004

Temos que o primeiro termo da PG infinita é:

clip_image006

E a razão desta PG é dada por:

clip_image008

Aplicaremos estes valores na fórmula da soma dos termos dada em (1):

clip_image010

Exemplo 2: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 1,484848...

Vamos reescrever a dízima em forma de soma de frações:

clip_image012

Separamos a parte inteira e trabalharemos somente com a parte fracionária. Temos que o primeiro termo da PG infinita é:

clip_image014

E a razão desta PG é:

clip_image008[1]

Aplicaremos estes valores na fórmula da soma dos termos dada em (1):

clip_image016

Agora, somamos o resultado encontrado em (5) com a parte inteira:

clip_image018

Exemplo 3: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 1,06818181...

Vamos reescrever a dízima em forma de soma de frações:

clip_image020

Notamos que neste exemplo, além da parte inteira, contém uma parte decimal não periódica.

Separamos a parte inteira e trabalharemos somente com a parte fracionária. Temos que o primeiro termo da PG infinita é:

clip_image022

E a razão desta PG é:

clip_image008[2]

Agora, aplicamos estes valores na fórmula da soma dos termos da PG infinita:

clip_image002

Somamos o resultado encontrado em (7) com a parte inteira da dízima e com a parte não periódica:

clip_image026



Veja Mais:

Fração Geratriz de Dízimas Periódicas
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Infinita
Raízes em Progressões no Blog Fatos Matemáticos

8 comentários:

  1. Muito bom o post parceiro. Fica a dica de fazer um post sobre PG, provando as fórmulas de soma finita e infinita. Obrigado pelo link citado. Abraços!

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  2. Olá parceiro. Dica aceita. Na verdade, estava com esse material à mão. Logo preparo um post.

    Forte abraço!

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  3. Olá,acho que teve um pequeno erro no terceiro exemplo,quando foi colocado 4 noves ao invés de 2.Mas de qualquer formao seu bog é foda.Abraços !

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    Respostas
    1. Olá amigo. Tem razão. Já foi corrigido. Obrigado por relatar o erro.

      Um abraço!

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  4. Muito bom, o seu blog!

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  5. E se eu tivesse por exemplo o número 33,323232....?

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    Respostas
    1. Escrevemos 33,323232... como:
      $$32 + \frac{32}{100}+\frac{32}{10000}+{32}{1000000}+\ldots$$
      Separamos a parte inteira da fracionária, sendo o primeiro termo da PG:
      $$a_1 = \frac{32}{100}$$
      cuja razão é:
      $$q = \frac{1}{100}$$
      Aplicando na fórmula da soma dos termos de uma PG:
      $$S_n = \frac{a_1}{1-q}$$
      obtemos:
      $$S_n = \frac{\cfrac{32}{100}}{1-\cfrac{1}{100}} = \frac{\cfrac{32}{100}}{\cfrac{99}{100}} = \frac{32}{100}\cdot\frac{100}{99}=\frac{32}{99}$$
      Somando à parte inteira:
      $$33 + \frac{32}{99} = \frac{3299}{99}$$

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