26 de nov de 2010

Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita

Progressão Geométrica (PG) é uma sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:

clip_image002

onde a e q são números reais dados.

Assim, podemos dizer que PG é uma sequência tal que o quociente entre cada termos e o seu anterior, a partir do segundo, é uma constante denominada q.

Podemos dizer também que uma PG é toda sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma constante não-nula, denominada razão e simbolizada por q.

Para demonstrarmos a fórmula da soma dos termos de uma PG finita, considere a PG finita de n termos:

clip_image004

Seja Sn a soma dos n termos desta PG:

clip_image006

ou escrevendo-a de outra maneira:

clip_image008

Sabemos que se multiplicarmos ambos membros de uma igualdade por uma constante, esta igualdade continuará válida. Vamos multiplicar a igualdade (3) por uma constante de valor conveniente q:

clip_image010

Observando as relações (3) e (4), notamos que a parcela a1 só aparece em (3) e a parcela a1qn só aparece em (4). As demais parcelas são comuns entre as duas relações. Para que estas parcelas sejam eliminadas, subtraímos (3) de (4):

clip_image012

clip_image014

clip_image016

Podemos demonstrar (5) aplicando o princípio da indução finita:

clip_image018

Que é a fórmula para a soma dos n termos de uma PG finita em função de a1, an e q.

Podemos ainda transformar (6) para que esta esteja em função de a1, n e q:

Sabemos que:

clip_image020

clip_image022

clip_image024


Exemplo 1: Determine a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 22, 23, ...)

Temos então que:

clip_image026

clip_image028

clip_image030

Aplicamos a fórmula dada em (8):

clip_image032


Exemplo 2: Determine a soma dos termos da PG (1, 1/2, 1/4, ..., 1/64)

Temos que:

clip_image034

clip_image036

Aqui, podemos utilizar a fórmula dada em (6), pois teoricamente não sabemos a quantidade de termos desta PG:

clip_image038


Veja Mais:

Fórmula da soma dos Termos de uma PG Infinita
Fração Geratriz de Dízimas Periódicas
Fração Geratriz de Dízima Periódica Através de PG
Raízes em Progressões no Blog Fatos Matemáticos


8 comentários:

  1. Muito bom esse blog, gostei!

    ResponderExcluir
  2. Fala Kléber!

    Então parceiro, eu to meio sumido mesmo. To estudando pro vestibular, o que vem tomando muito o meu tempo. Mas devagar eu vou dando um jeito de ir postando algumas coisas no blog.

    Um abraço!

    MF Matemática
    http://www.mfmatematica.blogspot.com

    ResponderExcluir
  3. Obrigado CCM pela visita e comentário. Volte sempre!

    ResponderExcluir
  4. Olá Marcelo, legal que apareceu. Espero que alcance seu objetivo. Continue estudando! Abraços!

    ResponderExcluir
  5. Muito o post, num próximo episódio sugiro que trate da soma das PG´s com razão menor que 1 em módulo e com infinitos termos. Existem vários exemplos geométricos e físicos. Fica aí a dica. Obrigado novamente pelo link. Abraços!

    ResponderExcluir
  6. Para quem ama exatas esse blog é nota 10!
    Brigadão Kleber!

    ResponderExcluir
  7. Muito bom esse Blog me tirou uma dúvida que em nenhum outro site tinha me esclarecido!! Obrigado, e esse blog é uma prova real de que exatas é surpreendente!!

    ResponderExcluir
  8. eu nao consigo entender essa materia vc me ajudou bastante obrigado

    ResponderExcluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...