05/05/2010

Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre

A segunda fórmula de De Moivre é muito importante na álgebra, pois com ela é possível efetuarmos a radiciação de números complexos em sua forma polar ou trigonométrica.

Dado um número complexo z em sua forma polar, chamamos o número zw como raiz n-ésima de z, se, e somente se:

clip_image002

Então, se:

clip_image004

Sua raiz n-ésima será:

clip_image006

clip_image008

Seja z = ρ[cos(θ) + isen(θ)] o número complexo z = a + bi em sua forma polar e seja uma de suas raízes n-ésimas:

clip_image010

Pela definição (1), se aplicarmos a 1ª Fórmula de De Moivre, obteremos:

clip_image012

clip_image014

Desta última igualdade, temos que:

clip_image016

Onde clip_image018 é a raiz n-ésima do número real e positivo ρ.

e

clip_image020

Onde:

clip_image022

Como θw é o argumento de zw, este deve pertencer ao intervalo [0; 2π[.

Se substituirmos (3) e (4) em (2), obteremos:

clip_image024

Esta é a 2ª Fórmula de De Moivre para cálculos de radiciação de números complexos na forma polar.

Vejamos, agora, quais são os valores possíveis para k:

clip_image026

clip_image028

clip_image030

clip_image032

clip_image028[1]

clip_image034

clip_image036

clip_image038

clip_image028[2]

clip_image040

clip_image042

clip_image044

clip_image028[3]

clip_image046

clip_image048

Podemos perceber que k é o número de voltas no círculo trigonométrico. Mas estes n valores de θw, não são côngruos, pois a diferença entre duas raízes quaisquer é menor que 2π. Por isso estão todas no intervalo [0, 2π[ (aberto à direita), que dão origem a n valores para zw.

Se tivermos k = n, teremos:

clip_image028[4]

clip_image050

clip_image052

Que é côngruo a θ / n, para k = 0, e, neste caso, dispensável.

O mesmo ocorre se:

clip_image054

ou

clip_image056

Portanto, k deve variar de 0 a n – 1, dando origem a n raízes distintas de z.



Veja mais:

Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre
Aplicação da 2ª Fórmula de De Moivre
Números Complexos

2 comentários:

  1. Muito o bom o post parceiro, mas seria interessante dar um exemplo numérico e representar as raízes no ciclo trigonométrico. Por exemplo, raiz cúbica de 8 + 8i.

    ResponderExcluir
  2. Obrigado parceiro. Vou preparar um exemplo e assim que puder publico neste mesmo post.

    Abraços!

    ResponderExcluir

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