25 de abr de 2010

Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre

Um pouco de História

Abraham De Moivre (Lê-se: Demoavre) (1667 - 1754), um huguenote francês que buscou abrigo no clima politicamente mais ameno de Londres, depois da revogação do Edito de Nantes (1685). De Moivre ganhava a vida na Inglaterra como professor particular e tornou-se amigo íntimo de Isaac Newton.

De Moivre é conhecido principalmente por suas obras Annuities upon Lives, que teve um papel importante na história da matemática atuarial, Doctrine of Chances, que continha muito material sobre teoria das probabilidades e Miscellanea analytica, em que há contribuições a séries recorrentes, probabilidade e trigonometria analítica.

Considera-se, ainda, que De Moivre foi o primeiro a trabalhar com a integral:

clip_image002[3]

Em probabilidade, bem como a curva de frequência normal tão importante em estatística:

clip_image004

O resultado conhecido por Fórmula de Stirling, tão útil na aproximação de fatoriais de números grandes, ou seja:

clip_image006

para n muito grande, na verdade é contribuição de De Moivre.

A importante fórmula:

clip_image008

se tornou a chave da trigonometria analítica, dada por Moivre em 1707 para n inteiro. E será esta fórmula que iremos estudar neste artigo.

Há uma lenda interessante envolvendo a morte de De Moivre. Segundo ela, De Moivre teria revelado, certa ocasião, que daí para frente teria que dormir, em cada dia, quinze minutos a mais do que no dia anterior. E quando essa progressão aritmética atingiu 24 horas ele de fato teria morrido.

Fonte: Introdução à História da Matemática, Eves

 

Potenciação de Números Complexos na forma Polar ou Trigonométrica

Dado um número complexo não – nulo na forma:

clip_image010

e seja um número n = 1, 2, 3, ...

Podemos escrever a potência do número complexo z como:

clip_image012

clip_image002[6]

clip_image016

Na maioria dos livros, o autor pula desta parte para a fórmula geral. Vou, aqui, demonstrar a Fórmula geral a partir de n = 1, 2, 3, ...

Para n = 1, teremos:

clip_image010[1]

Para n = 2, teremos:

clip_image018

clip_image020

clip_image022

Vejam que:

clip_image024

e

clip_image026

[Veja demonstração do arco duplo aqui]

Logo temos:

clip_image028

Para n = 3, teremos:

clip_image030

clip_image032

clip_image034

Aqui, faremos uma mudança de variáveis, onde:

clip_image036

clip_image038

Substituindo na equação acima, teremos:

clip_image040

clip_image002[8]

clip_image004[4]

Vejam que:

clip_image046

e

clip_image048

No entanto, as variáveis:

clip_image036[1]

clip_image038[1]

Temos então:

clip_image050

clip_image052

Logo:

clip_image054

De modo análogo, podemos calcular a potência de um número complexo na forma polar para n = 4, 5, 6, ...

Assim, podemos generalizar uma fórmula, chegando à 1ª Fórmula de De Moivre:

clip_image056



Quero agradecer ao amigo e seguidor deste blog Ricardo Tavares, por sugerir um post sobre as fórmulas de De Moivre.


Veja mais:

Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre
Aplicação da 2ª Fórmula de De Moivre
Números Complexos

7 comentários:

  1. Olá Kleber, o post ficou muito bom, principalmente com a excelente introdução histórica e o uso de fórmulas trigonométricas previamente provadas. Mas sugiro que corrija a integral imprópria de probabilidade: Colocou -x^2 ao invés de -x.

    Abraços!

    ResponderExcluir
  2. Quando iniciei este post, me deparei com algumas fórmulas trigonométricas que achei que necessitavam uma atenção mais detalhada, então publiquei primeiro as fórmulas trigonométricas.

    Corriji a integral, conforme pág 467, Eves.

    Obrigado pela observação.

    Abraços!!

    ResponderExcluir
  3. Não seria necessário provar por indução? Pois provar para n=1, 2 e 3 não garante que valha para n qualquer.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Antonio. Tem toda a razão. Se não for demonstrado que a fórmula valha para n e n+1, então não há nada garantido. Verei se reformulo a postagem em breve.

      Agradeço a visita e comentário.

      Excluir
  4. O que é que significa p estilizado, na fisica este p é usado como momento.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Marcelo. A letra grega $\rho $ é o módulo de um número complexo. A distância entre a origem e um ponto P no plano de Gauss. Veja este post sobre números complexos: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/05/numeros-complexos.html?m=1

      Excluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...