15 de mai de 2010

Aplicação da 2ª Fórmula de De Moivre

Dado um número complexo clip_image002, vamos determinar as raízes quartas deste número e representá-las no Plano Argand – Gauss.

Sendo clip_image002[4], temos que:

clip_image002[6]

clip_image002[8]

Portanto:

clip_image002[10]

clip_image002[12]

clip_image002[14]

Encontramos aqui um seno e cosseno negativos. Se analisarmos o círculo trigonométrico abaixo, podemos observar que este ângulo θ está localizado no 3º quadrante.

image

[Figura 1: círculo trigonométrico]

Um ângulo θ1 localizado no 1º quadrante que possui:

clip_image002[16]

clip_image002[18]

é o ângulo de 60°. Mas vejam que o ângulo θ que procuramos possui seno e cosseno negativos. Esta condição só ocorre no 3º quadrante e será dado por:

clip_image002[20]

Podemos, agora, escrevê-lo em radianos. Temos que:

clip_image002[22]

clip_image002[24]

Então:

clip_image002[26]

Logo:

clip_image002[28]

Aplicando a 2º Fórmula de De Moivre, podemos calcular a raiz quarta de z:

clip_image002[30]

clip_image002[32]

Atribuímos valores para k :

clip_image002[34]

clip_image002[36]

clip_image002[38]

Sabemos que π / 3 equivale a 60°, portanto:

clip_image002[40]

clip_image002[42]

clip_image002[44]

clip_image002[46]

clip_image002[48]

clip_image002[50]

Temos que:

clip_image002[52]

O ângulo de 150° está localizado no 2º quadrante, como podemos observar no círculo trigonométrico abaixo:

image

[Figura 2: círculo trigonométrico]

Vejam que o sen(150°) = sen(30°) e o cos(150°) = – cos(30°). Portanto, seu valor correspondente no primeiro quadrante é o ângulo de 30°.

Com isso, podemos exprimir:

clip_image002[54]

clip_image002[56]

clip_image002[58]

clip_image002[60]

clip_image002[64]

clip_image002[66]

clip_image002[68]

Temos que:

clip_image002[70]

O ângulo de 240° está localizado no 3º quadrante, como podemos observar no círculo trigonométrico abaixo:

image

[Figura 3: círculo trigonométrico]

Vejam que sen(240°) = – sen(60°) e o cos(240°) = – cos(60°). Portanto, seu valor correspondente no primeiro quadrante é o ângulo de 60°.

Podemos exprimir:

clip_image002[72]

clip_image002[74]

clip_image002[76]

clip_image002[78]

clip_image002[80]

clip_image002[82]

clip_image002[84]

Temos que:

clip_image002[86]

O ângulo de 330° está localizado no 4º quadrante, como podemos observar no círculo trigonométrico abaixo:

image

[Figura 4: círculo trigonométrico]

Vejam que sen(330°) = – sen(30°) e o cos(330°) = cos(30°). Portanto, seu valor correspondente no primeiro quadrante é o ângulo de 30°.

Podemos exprimir:

clip_image002[88]

clip_image002[90]

clip_image002[92]

clip_image002[94]

Os afixos z0, z1, z2 e z3 pertencem à circunferência de raio centrada na origem. Eles dividem o Plano de Argand – Gauss em 4 partes congruentes e são os vértices de um quadrado inscrito à circunferência:

image

[Figura 5: quadrado inscrito à circunferência]

De um modo geral, as afixos zn de um complexo z 0 são vértices de um polígono regular de n lados, inscrito à circunferência de raio e centrada na origem do Plano Complexo.


Veja mais:

Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre
Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre
Números Complexos

5 comentários:

  1. mano agradeço mesmo, mas ke conta grande hein

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  2. muito bom mesmo, me salvou kk Obrigada

    ResponderExcluir
  3. Vou fazer a segunda etapa de um vestibular e precisava saber disso, obrigado cara!!

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  4. estou precisando de uma fórmula de circunferência e de esfera usando e de Euler na fórmula, se tiver me avise, a única que conheço é x=sen(teta) e y=cos(teta) e teta varia no tempo.tenho também da esfera, que possui a terceira parte que sera y(new)= y(old)+sen(alfa).só um resuminho, mas não uso "e" em lugar nenhum.Uso i apenas para multiplicar o número de pontos no gráfico 2D ou 3D, para mim, i so server para duplicar as coordenadas polares.

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