18 de abr de 2010

Demonstração da adição e subtração de arcos

Neste estudo, iremos demonstrar as seguintes relações trigonométricas:

clip_image002

clip_image004

clip_image006

clip_image008

clip_image010

clip_image012

Considere o círculo trigonométrico de raio 1 abaixo:

image [Figura 1]

Seja o arco clip_image014 com determinação a e o arco clip_image016 com determinação b. O arco clip_image018 tem determinação (a + b).

Observando as construções geométricas no círculo trigonométrico acima, podemos deduzir que os triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e semelhantes. Então, podemos construir algumas relações:

clip_image020

clip_image022

clip_image024

clip_image026

clip_image028

clip_image030

clip_image032

Os triângulos OVS e OMP são semelhantes, logo:

clip_image034

clip_image036

Substituindo as relações (1), (2), (7) na igualdade acima, obtemos:

clip_image038

clip_image040

Os triângulos QTS e OMP são semelhantes, logo:

clip_image042

clip_image044

Substituindo as relações (3), (4) e (7) na igualdade acima, obtemos:

clip_image046

clip_image048

Agora que já construímos algumas relações principais, vamos às demonstrações:


cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sen(b)sen(a)

Observando o círculo trigonométrico da figura 1, notamos que:

clip_image050

Podemos concluir também que:

clip_image052

Se substituirmos as relações (5) e (8) na igualdade acima, obteremos:

clip_image054


cos(ab) = cos(a)cos(b) + sen(b)sen(a)

Da relação (10) temos que:

clip_image002[1]

Se quisermos determinar cos(a – b), podemos escrever a relação acima como:

clip_image056

Mas, se observarmos o círculo trigonométrico da figura 1, deduzimos que:

clip_image058

Então:

clip_image060

Em contrapartida, podemos escrever:

clip_image062

Então teremos:

clip_image064


Sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

Sabemos que:

clip_image066

[Veja a demonstração aqui]

Se fizermos θ = (a + b), teremos:

clip_image068

Da mesma forma, temos:

clip_image070

clip_image072

Temos aqui um cosseno da diferença entre dois arcos e é dado pela relação (11), logo:

clip_image074

Mas, observando a relação (12), vemos algumas similaridades coma relação (13) e podemos escrevê-la assim:

clip_image076


Sen(a – b) = sen(a)cos(b) – sen(b)cos(a)

Da relação (14) temos que:

clip_image078

Se quisermos determinar sen(a – b), podemos escrever a relação acima como:

clip_image080

No entanto:

clip_image082

e

clip_image062[1]

Fazemos:

clip_image084


clip_image086

Sabemos que a tangente de um ângulo é dada pela divisão entre o seno e o cosseno deste ângulo:

clip_image088

Então, a tangente de (a + b) será dada por:

clip_image090

clip_image092

Manipulando a igualdade acima, vamos dividir o numerador e o denominador do segundo membro por:

clip_image094

clip_image096

clip_image098

clip_image100


clip_image002[6]

Sabemos que a tangente de um ângulo é dada pela divisão entre o seno e o cosseno deste ângulo:

clip_image088[1]

Então, a tangente de (a – b) será dada por:

clip_image102

clip_image104

Manipulando a igualdade acima, vamos dividir o numerador e o denominador do segundo membro por:

clip_image094[1]

clip_image106

clip_image108

clip_image110


Veja mais:

Demonstração de sen(a)=cos(pi/2)
Demonstração da Relação Trigonométrica Fundamental
Demonstração de Funções Trigonométricas do Arco Duplo

14 comentários:

  1. Belas demonstrações parceiro! Seu blog está cada dia melhor! Meus parabéns!


    MF Matemática: http://www.mfmatematica.blogspot.com

    ResponderExcluir
  2. Obrigado Marcelo! Estas são de uma série de demonstrações trigonométricas que estou preparando.

    Um abraço!!

    ResponderExcluir
  3. gostaria de agradecer ao autor pela dedicação na elaboração deste blog.
    excelente trabalho companheiro. A unica forma que posso contribuir, é notificando a respeito de um erro de digitação no tópico: cosseno da diferença entre dois arcos.

    ResponderExcluir
  4. Olá Hariff, obrigado por avisar sobre o erro. Já o corrigi. Sempre reviso os textos antes de publicar, mas ainda não estou livre de erros.
    Obrigado e um abraço!

    ResponderExcluir
  5. Vim parar aqui procurando essa demonstração e a encontrei aqui! Parabéns! Fiquei encantado com a dedicação com o material! Parabéns mesmo! Belo trabalho!

    ResponderExcluir
  6. Obrigado amigo. Volte sempre. Um abraço!

    ResponderExcluir
  7. Muito bom seu blog, e grande contribuição traz para o meio acadêmico, pois se tivermos um tempinho para passear por aqui, muita coisa bacana encontraremos... Um abraço, valeu pela colaboração com seu trabalho.

    ResponderExcluir
  8. Obrigado pessoal. Desprendo muita dedicação a este blog e fico feliz de saber que meu trabalho está contribuindo positivamente. Grande abraço!

    ResponderExcluir
  9. Nossa cara, parabéns, me ajudou bastante, tive uma base de trigonometria, mas nada igual a isso, muito obrigado. Estava aqui quebrando a cabeça pra tentar entender sozinho essas relações de soma e subtração de arcos.

    ResponderExcluir
  10. parabéns,meu brother,fiquei bastante convecido

    ResponderExcluir
  11. Obrigado meu amigo!

    ResponderExcluir
  12. parabéns...darei minhas aulas pautado nas suas demonstraçoes

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Professor. Obrigado pelo prestígio. Um abraço.

      Excluir
  13. Parabéns, demonstrações excelentes!

    ResponderExcluir

Por favor, leiam antes de comentar:

1) Escreva um comentário apenas referente ao tema;

2) Para demais, utilize o formulário de contato;

3) Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

4) Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

5) É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Blogs Recomendados

Arquivo do Blog

Seguidores

Comentários Recentes

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...