Neste estudo, iremos demonstrar as seguintes relações trigonométricas:
Considere o círculo trigonométrico de raio 1 abaixo:
[Figura 1]
Seja o arco 
com determinação a e o arco 
com determinação b. O arco 
tem determinação (a + b).
Observando as construções geométricas no círculo trigonométrico acima, podemos deduzir que os triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e semelhantes. Então, podemos construir algumas relações:
Os triângulos OVS e OMP são semelhantes, logo:
Substituindo as relações (1), (2), (7) na igualdade acima, obtemos:
Os triângulos QTS e OMP são semelhantes, logo:
Substituindo as relações (3), (4) e (7) na igualdade acima, obtemos:
Agora que já construímos algumas relações principais, vamos às demonstrações:
cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sen(b)sen(a)
Observando o círculo trigonométrico da figura 1, notamos que:
Podemos concluir também que:
Se substituirmos as relações (5) e (8) na igualdade acima, obteremos:
cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sen(b)sen(a)
Da relação (10) temos que:
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Se quisermos determinar cos(a – b), podemos escrever a relação acima como:
Mas, se observarmos o círculo trigonométrico da figura 1, deduzimos que:
Então:
Em contrapartida, podemos escrever:
Então teremos:
Sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
Sabemos que:
[Veja a demonstração aqui]
Se fizermos θ = (a + b), teremos:
Da mesma forma, temos:
Temos aqui um cosseno da diferença entre dois arcos e é dado pela relação (11), logo:
Mas, observando a relação (12), vemos algumas similaridades coma relação (13) e podemos escrevê-la assim:
Sen(a – b) = sen(a)cos(b) – sen(b)cos(a)
Da relação (14) temos que:
Se quisermos determinar sen(a – b), podemos escrever a relação acima como:
No entanto:
e
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Fazemos:
Sabemos que a tangente de um ângulo é dada pela divisão entre o seno e o cosseno deste ângulo:
Então, a tangente de (a + b) será dada por:
Manipulando a igualdade acima, vamos dividir o numerador e o denominador do segundo membro por:
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Sabemos que a tangente de um ângulo é dada pela divisão entre o seno e o cosseno deste ângulo:
![clip_image088[1]](http://lh6.ggpht.com/-QMn1sVogELA/S8tWrWDdHoI/AAAAAAAAN9I/TnEMooZ_nI8/s1600-h/clip_image0881%25255B2%25255D.gif "clip_image088[1]"){kind=small}
Então, a tangente de (a – b) será dada por:
Manipulando a igualdade acima, vamos dividir o numerador e o denominador do segundo membro por:
![clip_image094[1]](http://lh5.ggpht.com/-4iS6HYNJ0rE/S8tWw5hW5_I/AAAAAAAAN9g/QCrwwj8QBKk/s1600-h/clip_image0941%25255B2%25255D.gif "clip_image094[1]"){kind=small}
Veja mais:
Demonstração de sen(a)=cos(pi/2)
Demonstração da Relação Trigonométrica Fundamental
Demonstração de Funções Trigonométricas do Arco Duplo
Belas demonstrações parceiro! Seu blog está cada dia melhor! Meus parabéns!
ResponderExcluirMF Matemática: http://www.mfmatematica.blogspot.com
Obrigado Marcelo! Estas são de uma série de demonstrações trigonométricas que estou preparando.
ResponderExcluirUm abraço!!
gostaria de agradecer ao autor pela dedicação na elaboração deste blog.
ResponderExcluirexcelente trabalho companheiro. A unica forma que posso contribuir, é notificando a respeito de um erro de digitação no tópico: cosseno da diferença entre dois arcos.
Olá Hariff, obrigado por avisar sobre o erro. Já o corrigi. Sempre reviso os textos antes de publicar, mas ainda não estou livre de erros.
ResponderExcluirObrigado e um abraço!
Vim parar aqui procurando essa demonstração e a encontrei aqui! Parabéns! Fiquei encantado com a dedicação com o material! Parabéns mesmo! Belo trabalho!
ResponderExcluirObrigado amigo. Volte sempre. Um abraço!
ResponderExcluirMuito bom seu blog, e grande contribuição traz para o meio acadêmico, pois se tivermos um tempinho para passear por aqui, muita coisa bacana encontraremos... Um abraço, valeu pela colaboração com seu trabalho.
ResponderExcluirObrigado pessoal. Desprendo muita dedicação a este blog e fico feliz de saber que meu trabalho está contribuindo positivamente. Grande abraço!
ResponderExcluirNossa cara, parabéns, me ajudou bastante, tive uma base de trigonometria, mas nada igual a isso, muito obrigado. Estava aqui quebrando a cabeça pra tentar entender sozinho essas relações de soma e subtração de arcos.
ResponderExcluirparabéns,meu brother,fiquei bastante convecido
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