21 de abr de 2010

Demonstração da Relação Trigonométrica Fundamental

Nesta artigo, veremos como encontrar a relação trigonométrica fundamental no círculo trigonométrico utilizando o teorema de Pitágoras.

Considere o círculo trigonométrico abaixo de raio unitário:


O ponto $C$ é um ponto genérico sobre a circunferência e o segmento $\overline{OC}$ forma um ângulo $\theta$ com o eixo dos $x$.

O segmento $\overline{OD}$ é a projeção do segmento $\overline{OC}$ sobre eixo dos $x$ que é o cosseno do ângulo $\theta$; e o segmento $\overline{OE}$ é a projeção do segmento $\overline{OC}$ sobre o eixo dos $y$ que é o seno do ângulo $\theta$.

Assim, podemos destacar as seguintes relações:
\begin{equation}
\overline{OD}^2 + \overline{DC}^2 = \overline{OC}^2
\end{equation}
\begin{equation}
\overline{OD} = \cos(\theta)
\end{equation}
\begin{equation}
\overline{DC} = \text{sen}(\theta)
\end{equation}
\begin{equation}
\overline{OC} = 1 \quad \text{(raio de tamanho unitário)}
\end{equation}
Substituindo $(2)$, $(3)$ e $(4)$ na relação $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
\text{sen}^2 (\theta) + \cos^2(\theta) = 1
\end{equation}
Esta relação é válida para qualquer ângulo $\theta$.

Exemplo: 

Dado $\displaystyle \text{sen}(\theta) = \frac{1}{2}$, determinar $\cos (\theta)$.

Usamos a relação fundamental:
\begin{equation*}
\text{sen}^2 (\theta) + \cos^2(\theta) = 1\\
\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2(\theta) = 1\\
\cos^2(\theta) = 1 - \frac{1}{4}\\
\cos^2(\theta) = \frac{3}{4}\\
\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{equation*}
O ângulo cujo seno vale $1/2$ e o cosseno vale $\sqrt{3}/2$ é o ângulo $\theta = 30°$.

Veja mais:

Demonstração dos Ângulos Notáveis
Tabela Trigonométrica dos Ângulos do Primeiro Quadrante
Demonstração de Funções Trigonométricas do Semi-Arco
Demonstração de Funções Trigonométricas do Arco-Duplo

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