Demonstração da Relação Trigonométrica Fundamental

Nesta artigo, veremos como encontrar a relação trigonométrica fundamental no círculo trigonométrico utilizando o teorema de Pitágoras.

Considere o círculo trigonométrico abaixo de raio unitário:

O ponto $C$ é um ponto genérico sobre a circunferência e o segmento $\overline{OC}$ forma um ângulo $\theta$ com o eixo dos $x$.

O segmento $\overline{OD}$ é a projeção do segmento $\overline{OC}$ sobre eixo dos $x$ que é o cosseno do ângulo $\theta$; e o segmento $\overline{OE}$ é a projeção do segmento $\overline{OC}$ sobre o eixo dos $y$ que é o seno do ângulo $\theta$.

Assim, podemos destacar as seguintes relações:
$$\begin{equation} \overline{OD}^2 + \overline{DC}^2 = \overline{OC}^2 \end{equation}$$
$$\begin{equation} \overline{OD} = \cos(\theta) \end{equation}$$
$$\begin{equation} \overline{DC} = \text{sen}(\theta) \end{equation}$$
$$\begin{equation} \overline{OC} = 1 \quad \text{(raio de tamanho unitário)} \end{equation}$$
Substituindo $(2)$, $(3)$ e $(4)$ na relação $(1)$, obtemos:
$$\begin{equation} \text{sen}^2 (\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \end{equation}$$
Esta relação é válida para qualquer ângulo $\theta$.

Exemplo: 

Dado $\displaystyle \text{sen}(\theta) = \frac{1}{2}$, determinar $\cos (\theta)$.

Usamos a relação fundamental:
$$\begin{equation*} \text{sen}^2 (\theta) + \cos^2(\theta) = 1\\ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2(\theta) = 1\\ \cos^2(\theta) = 1 - \frac{1}{4}\\ \cos^2(\theta) = \frac{3}{4}\\ \cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{equation*}$$
O ângulo cujo seno vale $1/2$ e o cosseno vale $\sqrt{3}/2$ é o ângulo $\theta = 30°$.

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