17 de nov de 2008

Método de Castilho

Durante uma aula de Estatística no curso de graduação em Matemática, cujo assunto era Regressão Polinomial, a solução para o problema dependia da resolução de um sistema de equações com três incógnitas. Naturalmente, começamos a resolvê-lo escalonando-o. Foi então que nosso professor mostrou-nos um método alternativo para a resolução de sistemas lineares: O Método de Castilho. Veremos a seguir como se procede.

Dado o sistema linear do tipo:

clip_image002

Poderíamos utilizar para resolução deste sistema, o método da substituição, isolando uma das incógnitas de uma equação e substituindo-a na outra. Outro método é escalonar o sistema. Qualquer um dos dois métodos é simples para resolução de sistemas lineares de duas equações com duas incógnitas.

Para um sistema linear de três equações com três incógnitas, nem sempre é rápido encontrar a solução para este sistema, principalmente se os escalares são números decimais com várias casas.

O método alternativo para a resolução de sistemas lineares é o Método de Castilho, que é muito eficiente e pouco explorado pelos professores. Vejamos:

Dado o sistema:

clip_image004

Para a resolução pelo método de Castilho, primeiramente precisamos organizar os dados através de uma simples tabela, separada em colunas, onde os coeficientes da incógnita x fiquem na primeira coluna, da incógnita y fique na segunda, da incógnita z fique na terceira e do termo independente fique na quarta, como abaixo:


Figura 1 

Calculamos o determinante da matriz:

clip_image002[4]

denotado por D1, fazendo a1b2 – a2b1 e colocamos o resultado abaixo da coluna da incógnita y. Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image004[4]

denotado por D2, fazendo a1c2 – a2c1 e colocamos o resultado abaixo da coluna da incógnita z. Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image006

denotado por D3, fazendo a1d2 – a2d1 e colocamos o resultado abaixo da coluna do termo independente.

Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image008

denotado por D4, fazendo a1b3 – a3b1 e colocamos o resultado abaixo da coluna da incógnita y. Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image010

denotado por D5, fazendo a1c3 – a3c1 e colocamos o resultado abaixo da coluna da incógnita z. Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image012

denotado por D6, fazendo a1d3 – a3d1 e colocamos o resultado abaixo da coluna do termo independente, como abaixo:

Figura 2

Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image002[6]

denotado por D7, fazendo D1D5D4D2 e colocamos o resultado abaixo da coluna da incógnita z. Em seguida, calculamos o determinante da matriz:

clip_image004[6]

denotado por D8, fazendo D1D6D4D3 e colocamos o resultado abaixo da coluna do termo independente, como abaixo:

Figura 3

Agora, já podemos encontrar os valores das incógnitas, pois o sistema está no formato triangular superior. Como o valor de D7 está abaixo da coluna z e D8 está abaixo da coluna do termo independente, fazemos:

clip_image002[10]

Encontrando:

clip_image004[10]

Da mesma forma, temos que D1y + D2z = D3 e D4y + D5z = D6. Substituindo o valor de z em uma das duas equações anteriores, por exemplo, na primeira, encontramos o valor para a incógnita y:

clip_image006[6]

Encontrando:

clip_image008[6]

Agora já possuímos os valores das incógnitas y e z e podemos substituir seus valores em uma das três equações formadas por a1x + b1y + c1z = d1 ou a2x + b2y + c2z = d2 ou a3x + b3y + c3z = d3.

Inicialmente parece complicado e haver cálculos demais, mas quando estamos resolvendo um problema numérico, vemos que o método se torna simples e eficaz.

Para melhor exemplificar o método, vamos resolver o sistema linear abaixo pelo Método de Castilho:

Dado o sistema:

clip_image010[6]

Primeiramente, montamos a tabela com a distribuição dos coeficientes:

 
Figura 4

Calculamos, agora, os determinantes das matrizes:

clip_image002[12]

onde D1 = – 7

clip_image004[12]

onde D2 = 3

clip_image006[8]

onde D3 = – 3

clip_image008[8]

onde D4 = – 1

clip_image010[8]

onde D5 = – 5

clip_image012[4]

onde D6 = 5

Agora, ordenamos os valores encontrados, na tabela abaixo:

Figura 5

Calculamos, agora, os determinantes das matrizes:

clip_image002[14]

onde D7 = 38

clip_image004[14]

onde D8 = –38

Agora, ordenamos os valores encontrados na tabela abaixo:

Figura 6

Neste momento, já temos condições de encontrar o valor da incógnita z. Fazemos:

clip_image002[16]

clip_image004[16]

Encontrando o valor de z, podemos substituir seu valor em uma das duas equações:

– 7y + 3z = – 3 ou – y – 5z = 5. Tomando a primeira equação com base de cálculo, temos:

clip_image006[10]

clip_image008[10]

clip_image010[10]

clip_image012[6]

Encontrando os valores de z e y, podemos substituir seus valores em qualquer uma das três equações iniciais: 2x + y + z = 1 ou x – 3y + 2z = – 1 ou 3x + y – z = 4. Tomando a primeira equação como base de cálculo, temos:

clip_image014

clip_image016

clip_image018

clip_image020

Portanto, encontramos o conjunto solução S = {1, 0, – 1 } para as incógnitas x, y e z, de modo que satisfazem o sistema linear.

Como vimos, podemos encontrar rapidamente a solução de um sistema de três equações com três incógnitas utilizando o Método de Castilho. Esse método explora o cálculo de determinantes e dá ao professor mais uma ferramenta para trabalhar sistemas lineares em sala de aula. Assim, damos aos alunos mais uma opção para que eles possam escolher a melhor forma de resolver sistemas lineares. 


Veja mais:

Sistemas Lineares e Determinantes: Origens e Desenvolvimento
Classificação dos Sistemas Lineares
Cayley e a Teoria das Matrizes
Matrizes de Rotação no R2
Matrizes e o Controle de Tráfego

11 comentários:

  1. Meu amigo, mas que ótimo achado!!! Achei num outro blog o método, mas parece que aqui está melhor explicado. Aproveitei para dar uma olhada nas demonstrações, realmente muito boas!!! Abraços!

    Simon D.

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  2. Olá Simon, obrigado pelos elogios. Fiz uma busca e me parece que você deve ter visto este método no bloga da Camila Soares, neste link:

    http://camilasoares.wordpress.com/2009/03/02/solucao-de-sistemas-de-equacoes-lineares-%E2%80%93-metodo-de-castilho/

    Um abraço e volte sempre!

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  3. não é preciso verificar se o sistema é possível e determinado com esse método?

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  4. Não necessariamente é preciso verificar inicialmente se o sitema é possível e determinado, pois se aplicar o método, encontraremos a inconsistência.

    Veja por exemplo o sistema linear anbaixo:

    $\left\{\begin{matrix}
    x+2y+z=1 \\
    2x+y-3z=4 \\
    3x+3y-2z=0
    \end{matrix}\right$

    Se aplicarmos o método, encontraremos $0z=18$, então já podemos ver que o sistema é impossível.

    Abraços.

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  5. Olá, kleber!
    Não conhecia esse método, mas, já fiquei fã do mesmo! Parabéns kleber! Pela maneira como explicou e demonstrou o método, não restam a menor dúvida sobre: o que é, como é e para o que serve! Valeu!
    Uma abraço!

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  6. Desculpa, mas esse que eu saiba é uma resolução através do teorema de Cramer e não de Castillo.

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  7. Olá amigo,
    Tavez esteja confundindo pelo fato de também utilizar determinantes. Este é um método alternativo interessante de se saber.
    Abraços.

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  8. Olá, Kleber, uma vez você me falou deste método e até li post sem dar muita atenção. O tempo passou e atualmente estou ensinando os alunos da disciplina de Estatística regressão polinomial, que aliás está muito bem escrito no seu blog. Para os alunos, irei apresentar apenas o caso parabólico. Tendo que resolver um sistema de três equações com três incógnitas, cujos coeficentes das incógnitas são em geral números fracionários com até 4 casas decimais, fui em busca de um método alternativo de resolver tais sistemas. Devido ao grande número de operações necessárias no método de Cramer, me inspirei no método de eliminação de Gauss. Mas, aplicar os comandos tais como L_2 <- L_2 + 2,462L_1 é inviável e causa muita confusão. A ideia que tive é escalonar o sistema dado e resolvê-lo por retro-substituição. Neste escalonamento, tive a ideia de fazer as operações separadamente, dando origem inicialmente a 6 determinantes de ordem 2 e mais dois determinantes de ordem 2 na etapa final. Escrevi como de costume uma versão manuscrita do assunto. Hoje resolvi digitá-lo para transformar em um post, mas pesquisando no seu blog, vi que todas as minhas ideias são essencialmente o método do Castilho. É uma pena eu não ter um scanner para você ver o que eu desenvolvi. Mas nas minhas aulas de Estatística da próxima semana irei usar e divulgar o método exposto aqui, principalmente pelo diagrama simples de resolução. Parabéns pela divulgação deste método. A única sugestão é citar que est método é essencialmente o método de Gauss, feito de forma clara e didática.

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    1. Outra sugestão é citar diretamente os determinantes D1, D2, etc. sem intermédio das matrizes M1, M2, etc.

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  9. Paulo,

    Gostaria de ver seu desenvolvimento no seu blog. Afinal, suas ideias são brilhantes e mesmo sendo basicamente o desenvolvimento que fiz aqui, sei que terá informações importantes.

    Vou pensar como fazer as substituições sugeridas.

    Abraços!

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