28 de nov de 2010

Cayley e a Teoria das Matrizes

A disputa entre Newton e Leibniz (ou, mais exatamente, entre seus adeptos), em torno da primazia da criação do Cálculo, foi negativa para a matemática inglesa, embora Newton tivesse levado vantagem na polêmica. Considerando uma questão de honra nacional ser fiel ao sei mais eminente cientista, nos $100$ anos seguintes ao início desse episódio os matemáticos britânicos fixaram-se nos métodos geométricos puros, preferidos de Newton, em detrimento dos métodos analíticos, muito mais produtivos. Como os matemáticos da Europa Continental exploraram grandemente estes últimos métodos nesse período, a matemática britânica acabou ficando bem para trás.



Mas acabou havendo uma reação e a matemática britânica conseguiu voltar ao primeiro plano no século $XIX$, especialmente em álgebra, um campo que de um modo geral ficara algo marginalizado nesse meio tempo. E um dos maiores responsáveis por essa reascensão foi Arthur Cayley $(1821 – 1895)$.

Natural de Richmond, Inglaterra, Cayley descendia de uma família que conciliava talento e tradição. Desde muito cedo demonstrou grande aptidão para os estudos. Diante disso, e atendendo a sugestões de alguns de seus professores, os pais resolveram enviá-lo a estudar em Cambridge, em vez de iniciá-lo aos negócios da família. Assim, em $1838$, ingressa no Trinity College, onde iria se graduar com distinção máxima. Logo em seguida inicia-se no ensino, no próprio Trinity, mas desiste três anos depois, pois sua permanência exigira abraçar a carreira religiosa, o que não estava em seus planos.

Nos quinze anos seguintes dedicou-se à advocacia, mas com certeza não integralmente, como o mostram os mais de duzentos artigos que publicou no período, na área de matemática. Foi também nessa época que conheceu James Joseph Sylvester $(1814 – 1897)$, outro dos grandes expoentes da “álgebra britânica” do século $XIX$, com quem estabeleceu sólida amizade, consolidada até por áreas de pesquisas comuns, como a teoria dos invariantes. Em $1863$ aceita convite para ocupar uma nova cadeira de matemática pura criada em Cambridge, à testa da qual ficou até a morte (salvo um semestre de $1882$, em que deu cursos nos Estados Unidos).

Em volume de produção matemática, em todos os tempos, Cayley talvez só seja superado por Euler e Cauchy. E, embora sua obra seja bastante diversificada, foi no campo da álgebra, com grande facilidade que tinha para formulações abstratas, que mais se sobressaiu. Assim, por exemplo, deve-se a ele, num artigo de $1854$, a noção de grupo abstrato. Galois que, que introduzira o termo grupo em $1830$, com o sentido atual, só considerara grupos de permutações. Outra contribuição importante da Cayley, iniciada em $1843$, é a geometria analítica n-dimensional em cuja elaboração utiliza determinantes e coordenadas homogêneas como instrumentos essenciais.

O início da teoria das matrizes remonta a um artigo de Cayley em $1855$. Diga-se de passagem, porém, que o termo matriz já fora usado, com o mesmo sentido, cinco anos antes por Sylvester. Nesse artigo Cayley fez questão de salientar que, embora logicamente a ideia de matriz preceda a de determinante, historicamente ocorreu o contrário: de fato, os determinantes já eram usados há muito na resolução de sistemas lineares. Quanto às matrizes, Cayley introduziu-as para simplificar a notação de uma transformação linear. Assim, em lugar de:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x^\prime & = & ax & + & by  \\
y^\prime & = & cx & + & dy 
\end{matrix}\right.
\quad \text{escrevia}\quad \left ( x^\prime ,y^\prime \right )=\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}
\left ( x,y \right )
\end{equation*}
A observação do efeito de duas transformações sucessivas surgiu-lhe a definição de produto de matrizes. Daí chegou à ideia de inversa de uma matriz, o que obviamente pressupõe a de elemento neutro (no caso, a matriz idêntica). Curiosamente foi só num outro artigo, três anos depois, que Cayley introduziu o conceito de adição de matrizes e o de multiplicação de matrizes por escalares, chamando inclusive a atenção para as propriedades algébricas dessas operações.

Ao desenvolver a teoria das matrizes, como outros assuntos, a grande preocupação de Cayley era a forma e a estrutura em álgebra. O século $XIX$ se encarregaria de encontrar inúmeras aplicações para suas matrizes.

Texto de : Hygino H. Domingues

Veja mais:

Matrizes e o Controle de Tráfego
Artuhr Cayley no blog Fatos Matemáticos
Sistemas Lineares e Determinantes: Origens e Desenvolvimento
 
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