4 de jun de 2011

Matrizes de Rotação no R2

As transformações geométricas no plano são muito utilizadas em computação gráfica para a construção de figuras e produção de imagens. As transformações básicas são: translação, rotação e escala.

Vamos representar um ponto genérico P(x, y) de uma figura pela matriz coluna:

clip_image002

Um ponto correspondente a P seria P’(x,y’), obtido pela transformação, por:

clip_image004

Para cada transformação, vamos obter uma relação entre P e P’ por meio de uma matriz de transformação chamada de matriz M.

Translação

A translação é uma transformação que desloca uma figura sem alterar sua forma e suas dimensões. Esse deslocamento pode ser vertical, horizontal ou seguindo outra orientação qualquer.

Seja um triângulo ABC no qual é transformado em outro triângulo A’B’C’ por uma translação horizontal:

image Veja que neste exemplo acima, o triângulo foi transformado horizontalmente, deslocando a abscissa de cada um de seus pontos em quatro unidades para a direita. Desta forma, a ordenada não sofreu nenhuma alteração.

Temos que:

clip_image008

Isto é:

clip_image010

Sendo M a matriz de transformação:

clip_image012

Se a translação fosse vertical, com deslocamento de quatro unidades para cima, a matriz transformação seria:

clip_image014

Rotação

Vamos considerar unicamente a rotação de um ponto P(x, y) em torno da origem (0, 0), sob um ângulo de medida θ dado em graus, sendo θ > 0 e ainda tomando o sentido anti-horário.

image Analisando a figura acima, vemos que o ponto P se deslocou numa rotação em sentido anti-horário até um ponto correspondente P’. Veja que para cada ponto P n teremos uma abscissa e uma ordenada diferente.

Analisando o triângulo OPQ, o ponto P(x, y) tem suas coordenadas expressas por:

clip_image018

clip_image020

E pelo teorema pitagórico, temos que a medida do raio r é dada por:

clip_image022

Se rotacionarmos P de um ângulo igual a θ, em graus, ele se transforma num ponto P’. Observando o triângulo OP’Q’, temos que:

clip_image024

Já vimos sobre a adição e subtração de arcos que nos leva a:

clip_image026

clip_image028

Substituindo (4) em (3) obtemos:

clip_image030

Agora, podemos substituir as relações (1) e (2) na relação (6):

clip_image032

clip_image034

De modo análogo procedemos para y’:

clip_image036

Substituindo (5) em (8), obtemos:

clip_image038

Substituímos, agora, (1) e (2) em (9):

clip_image040

clip_image042

Podemos escrever na forma matricial:

clip_image044

Ou seja:

clip_image046

Onde a matriz M de transformação é dada por:

clip_image048

Exemplo: Observe na figura abaixo onde o ponto P(x, y) é rotacionado 180° em torno da origem no sentido anti-horário. Vamos determinar as novas coordenadas de P:

image Como θ = 180°, temos que:

clip_image052

Desta forma:

clip_image054

clip_image056

clip_image058

Referências:

[1] Matemática: Ciência e Aplicações – Iezzi, Dolce, et al


Veja mais:

Cayley e a Teoria das Matrizes
Sistemas Lineares e Determinantes: Origens e Desenvolvimento
Método de Castilho para Resolução de Sistemas Lineares
Demonstração da Adição e Subtração de Arcos

22 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Por mim, você trabalhando assim, terá sempre... aumento de salário!
    Amigo... se o Maurits Cornelius Escher tivesse nascido nessa época, certamente escolheria este post para instruir-se matemática-mente para poder produzir aquelas obras gráficas que tanto admiramos!
    Parabéns, grande mestre!
    Um abraço!!!!!

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  2. Olá Valdir,
    Exagerando nos comentários, como sempre!
    Acho que ficou simples a abordagem e no R2 é mais fácil de entender. Matrizes de rotação no R3 tem uma aplicaçõe interessante na astronomia: são utilziadas para determirar as fórmulas de correção da precessão da Terra.

    Um abraço.

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  3. Olá, Kleber!

    Parabéns pelo post, as representações matriciais com interpretação gráfica são a base do design atual.

    Utilizando complexos também dá para chegar a esse resultado (multiplique r.cis(theta) por cis(alpha), sendo alpha o ângulo de rotação).

    Abraços!

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  4. Olá, eu sou uma crítica virtual e minha principal função corresponde a análise de websites e páginas educacionais e informativas.Correspondente às minhas funções, eu achei este site com conteúdo aprimorado, muito bom aos alunos e vestibulandos, contudo ele não está em uma linguagem professor-aluno, mas sim em uma interação professor-professor. Aliando o seu conhecimento, a sua dedicação e ao seu desempenho, o seu blog sem dúvida seria o mais exemplar possível, obrigada pela disponibilidade dos comentários e entre em contato assim que visualizar meu comentário, eu disponibilizo aos meus contatos que tenham acesso à dicas e video-aulas que voces podem colocar em seus blogs. Entre em contato através do email: arianeflor33@hotmail.com
    ATENCIOSAMENTE: Ariane Fonseca,crítica e internauta governamental

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    1. Olá, eu sou uma crítica virtual e minha principal função corresponde a análise de websites e páginas educacionais e informativas.Correspondente às minhas funções, eu achei este site com conteúdo aprimorado, muito bom aos alunos e vestibulandos, contudo ele não está em uma linguagem professor-aluno, mas sim em uma interação professor-professor. Aliando o seu conhecimento, a sua dedicação e ao seu desempenho, o seu blog sem dúvida seria o mais exemplar possível, obrigada pela disponibilidade dos comentários e entre em contato assim que visualizar meu comentário, eu disponibilizo aos meus contatos que tenham acesso à dicas e video-aulas que voces podem colocar em seus blogs. Entre em contato através do email: arianeflor33@hotmail.com
      ATENCIOSAMENTE: Ariane Fonseca,crítica e internauta governamental

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  5. Oihh Gênio Kleber!!!!! Ficou perfeita a tua explicação na rotação de um Vetor(Ponto) pela matriz M e eu entendi a dedução , Agora aumentei meus conhecimentos sobre a Teoria dos grupos .
    Você tem que ficar na história da matemática como um dos melhores algebristas de todos os tempos!!
    Valeu muito a tua exposição, ela foi clara !!
    Bom final de semana!!

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  6. Oi Hamilton, obrigado pelo comentário. Que bom que te ajudou. Mas acho que exagerou um pouquinho. Procuro divulgar a matemática neste blog e estou longe de ser um grande algebrista.

    Um abraço e volte sempre!

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  7. Kleber!! como faço para calcular um numero algebrico(raiz de uma equação polinomial com grau > 4 ? É possível tomar um polinômio de grau 5 ou 6 sem que de início conheça uma sequer raiz e calcular todas? estes seria, os numeros algébricos?

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  8. Hamiltom, como vai?

    Equação polinomial, ou equação algébrica, é toda equação $p(x)=0$, onde $p(x)$ é um polinômio:
    $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_0=0$

    Já números algébricos são as soluções das equações algébricas ou polinomiais.

    Abel provou que não existe uma fórmula fechada que calcule raízes de equações polinomiais de grau > 4. Para estes casos, você pode usar tentativa e erro para determinar uma das raízes, mas pode não dar certo. Nestes casos, usa-se métodos iterativos para aproximação de raízes, como o Método de Newton (que pode ser visto neste blog), Método da Bissecção, Método das secantes,... Se as raízes forem exatas, então o Método trará a raíz exata, mas se for decimal, você determinará a precisão que queira para a solução: $10^-9$, por exemplo. No método de Newton, acho que disponibilizei uma planilha do excel que mostra como fazer.

    Um abraço.

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  9. Obrigado Kleber . neste caso é triste saber que não ha fórmulas resolutivas mas a tua explicação foi ótima e posso trabalhar com intervalos onde a raiz , pelo menos uma está presente!!!!

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  10. Kleber!! só gostaria que você me explicasse ( Uma equação linear é aquela que só tem grau 1 e 0 ( 2X +3 = 0 ) = 2X^1 + 3.X^0 = 0 . e uma equação não linear é quando possui pelo menos um termo de grau diferente de 0 e 1 como: x^2 -3x =2 = 0 ( graus 2 1 e 0 ( outro 2x - 1/x +3 = 4 + grau 1, grau 0 e grau -1 tambem é não- linear)
    é isso mesmo Professor Kleber!! eu defini certo, é esta a diferença entre linear e nao linear?

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  11. Hamilton, está certo! Equação linear é aquela em que a variável possui grau 1. Uma equação linear não pode conter potências nem produtos das variáveis envolvidas.

    Para equações de grau maior ou igual a 2 são ditas equações não lineares, como por exemplo, $ax^2+bx+c=0$ é uma equação quadrática; já $ax^3+bx^2+cx+d=0$ é uma cúbica, e assim por diante.

    Seu segundo exemplo, se entendi direito, seria:
    $2x-1/x+3=4$
    esta não é linear, pois ao fatorarmos, encontrando o mínimo múltiplo comum, obtemos um $x^2$ no primeiro termo. Veja o gráfico como fica:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+2x-1%2Fx%2B3%3D4

    Rapaz, tem uma coleção de livros que é excelente, me ajudou muito na faculdade: Fundamentos de Matemática Elementar. Tem por aí para download, mas se puder compre a coleção, em sebo vende. Tem na Estante Virtual.

    Espero que tenha te ajudado. Um abraço!

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  12. Obrigado Prof Kleber!!!!! isso me elucidou o problema das lineares e nõ-lineares

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  13. Olá Hamilton, li todas suas mensagens, mas não deletei nenhuma delas. O que aparece para mim foi que você quem deletou, pois mostra que "este comentário foi removido pelo autor".

    Que bom que suas dúvidas foram sanadas sobre equações.

    Um abraço.

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  14. Obrigado prof Kleber!!
    Eu gostaria de entender o que são os fractais e como faz^- los no grá fico, como são definidos , pois ao ver um artigo no Google sobre isto, fiquei me sentindo um incompetente!!
    Por favor me ajude se puder desde ja eu te agradeço abraços

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    1. Olá Hamilton, não sei muito sobre fractais, mas creio que seja melhor criar imagens com softwares. Veja este artigo muito bom sobre fractais:

      http://pt.scribd.com/doc/20939623/Fractais-Conceitos-Basicos-Representacoes-Graficas-e-Aplicacoes-ao-Ensino-nao-Universitario

      Espero que te ajude. Abraços.

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  15. Kleber!! Como aplicar o teorema do valor médio para funções? Me de um exemplo se eu não estiver pedindo muito !!kkkkkk (( F(b) - f(a))) / ( b - a) onde temos uma função contínua e diferenciável num intervalo [ a b ] Poderia me ajudar com um exemplo?
    Desde ja eu agradeço a tua atençõ!!

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    Respostas
    1. Olá Hamilton. Bem, tem várias explicações pela internet, eu ainda não fiz nenhuma publicação sobre o TVM. Veja este link tem uma explicação bem simples com exemplos numéricos:

      http://www.uapi.edu.br/conteudo/material_online/disciplinas/matematica/uni05_teorema.html

      Um abraço!

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    2. Obrigado Kleber !! valeu muito a tua atenção e a tua ajuda apresentando esse link!!!

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    3. Kleber!! Por que dizem que a matemática não é uma ciência exata?? exemplo 2 + 3 = 5 e assim sempre foi e sempre será ! Gostaria de entender melhor sobre esta questão , pois em minha opinião mesmo os números irracionais , complexos e calculo infinitesimal são exatos!
      Se puder me ajudar a entender a não exatidão da matemática se não for pedir demais abraços.......

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  16. Olá Kleber,

    brilhante postagem e muito bem explicada. Está de parabéns.

    Não cheguei a procurar ainda, mas você já fez alguma postagem sobre transformação de escala? Fiquei bastante curioso.

    Obrigado pela atenção. Abraços.

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$$a^2+b^2=c^2$$
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