13/01/2012

Teste da Integral para Convergência de Séries

O teorema conhecido como teste da integral ou teste de Leibniz para verificar convergências de séries faz uso da teoria de integrais impróprias.

Teste da Integral para Convergência de SériesTeorema 1: Se f (n) representa o termo geral clip_image004 de uma série numérica infinita de termos positivos, u1 + u2 + u3 + ..., e se f (x) é decrescente para x > ξ, onde ξ é um número positivo, a série será convergente se a integral imprópria

clip_image006

convergir ou a série será divergente se ela divergir.

Demonstração:

Seja i um número inteiro positivo ≥ ξ. Pelo teorema do valor médio para integrais, existe um número clip_image008 tal que:

clip_image010

e

clip_image012

Como f é uma função decrescente, temos que:

clip_image014

Assim, substituindo (1) em (2), obtemos:

clip_image016

Se n for um número inteiro positivo ≥ ξ, teremos:

clip_image018

Se e somente se:

clip_image020

ou seja,

clip_image022

Assim, desta expressão segue que

clip_image024

Observe que o somatório nesta expressão é a sequência das somas parciais da série da, isto é:

clip_image026

de modo que:

clip_image028

Se a integral imprópria converge, isto é, se:

clip_image030

Então de (6), clip_image032, e sendo clip_image004[1] uma sequência de termos positivos, então a sequência clip_image034 é crescente e, portanto convergente. Reciprocamente, se a série:

clip_image036

isto é, se clip_image038 existe, segue da segunda desigualdade acima que a integral imprópria converge.

Suponha agora que:

clip_image040

Da expressão:

clip_image042

segue que:

clip_image044

ou seja,

clip_image046

De forma análoga, se a série dada for divergente, então da desigualdade:

clip_image048

segue que a integral imprópria diverge.

Exemplo 1: Verificar a convergência da série:

clip_image050

O termo geral clip_image052é igual a:

clip_image054

No intervalo x > 1, f (x) > 0 e é decrescente, pois é fácil mostrar que a derivada é negativa para x>1. Tomando ξ = 1:

clip_image056

clip_image058

A integral não existe e a série é divergente.

Exemplo 2: Verificar a convergência da série:

clip_image060

O termo geral clip_image062 desta sequência é:

clip_image064

No intervalo x > 1, f (x) > 0 e é decrescente, pois clip_image066 para x > 0. Tomando ξ = 1:

clip_image068

clip_image070

Desta forma, a integral existe e a série é convergente.

Exemplo 3: Verificar a convergência da série:

clip_image072

O termo geral clip_image004[2] desta sequência é:

clip_image074

No intervalo x > 1, f (x) > 0 e é decrescente. Tomando ξ = 1:

clip_image076

clip_image078

Podemos ter três possibilidades:

Se p > 1:

clip_image080

e a série converge.

Se p < 1:

clip_image082

e a série diverge.

Se p = 1, a série é a série harmônica:

clip_image084

Assim, o termo geral clip_image004[3] será:

clip_image086

No intervalo x > 1, f (x) > 0 e é decrescente. Tomando ξ = 1:

clip_image088

clip_image090

e a série diverge.

Exercício Proposto: Use o teste da integral e verifique se a série abaixo converge:

clip_image092

Sugestão: Use o fato que a função clip_image094 é decrescente para x > e, e, portanto, tende a zero para clip_image096.



Referências:

[1] O Cálculo com Geometria Analítica – Louis Leithold
[2] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr.


Veja mais:

O Cálculo Integral
Leibniz e as Diferenciais
Paradoxo no Cálculo: Integral Definida
Soma de Séries Através da Transformada de Laplace no blog Fatos Matemáticos
Calculando Somas Através da Derivada no blog Fatos Matemáticos
Uma Identidade entre Séries e Integrais no blog Fatos Matemáticos

4 comentários:

  1. Obrigado Paulo. Como sempre, dando-me a maior força!
    Abraços.

    ResponderExcluir
  2. Este assunto é bem interessante em Cálculo, pois faz uma ligação entre integrais impróprias e séries numéricas. Obrigado pelos links citados acima.

    Abraços!

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  3. Bem completa a demonstração

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  4. Gostei mto do teu Blog, e do conteúdo disponível! Mas contudo espero que coloques mas exercícios resolvidos e com diversas Natureza, tipo series trigonométricos, logaritimica etc.

    Valeu bwe Timiguel

    ResponderExcluir

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