Teste da Integral para Convergência de Séries

O teorema conhecido como teste da integral ou teste de Leibniz para verificar convergências de séries faz uso da teoria de integrais impróprias.

Teorema 1: Se f (n) representa o termo geral de uma série numérica infinita de termos positivos, u₁ + u₂ + u₃ + ..., e se f (x) é decrescente para x > ξ, onde ξ é um número positivo, a série será convergente se a integral imprópria

convergir ou a série será divergente se ela divergir.

Demonstração:

Seja i um número inteiro positivo ≥ ξ. Pelo teorema do valor médio para integrais, existe um número tal que:

e

Como f é uma função decrescente, temos que:

Assim, substituindo (1) em (2), obtemos:

Se n for um número inteiro positivo ≥ ξ, teremos:

Se e somente se:

ou seja,

Assim, desta expressão segue que

Observe que o somatório nesta expressão é a sequência das somas parciais da série da, isto é:

de modo que:

Se a integral imprópria converge, isto é, se:

Então de (6), , e sendo uma sequência de termos positivos, então a sequência é crescente e, portanto convergente. Reciprocamente, se a série:

isto é, se existe, segue da segunda desigualdade acima que a integral imprópria converge.

Suponha agora que:

Da expressão:

segue que:

ou seja,

De forma análoga, se a série dada for divergente, então da desigualdade:

segue que a integral imprópria diverge.

Exemplo 1: Verificar a convergência da série:

O termo geral é igual a:

No intervalo x > 1, f (x) > 0 e é decrescente, pois é fácil mostrar que a derivada é negativa para x>1. Tomando ξ = 1:

A integral não existe e a série é divergente.

Exemplo 2: Verificar a convergência da série:

O termo geral desta sequência é:

No intervalo x > 1, f (x) > 0 e é decrescente, pois para x > 0. Tomando ξ = 1:

Desta forma, a integral existe e a série é convergente.

Exemplo 3: Verificar a convergência da série:

O termo geral desta sequência é:

No intervalo x > 1, f (x) > 0 e é decrescente. Tomando ξ = 1:

Podemos ter três possibilidades:

Se p > 1:

e a série converge.

Se p < 1:

e a série diverge.

Se p = 1, a série é a série harmônica:

Assim, o termo geral será:

No intervalo x > 1, f (x) > 0 e é decrescente. Tomando ξ = 1:

e a série diverge.

Exercício Proposto: Use o teste da integral e verifique se a série abaixo converge:

Sugestão: Use o fato que a função é decrescente para x > e, e, portanto, tende a zero para .

Referências:

[1] O Cálculo com Geometria Analítica – Louis Leithold
[2] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr.

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Veja mais:

O Cálculo Integral
Leibniz e as Diferenciais
Paradoxo no Cálculo: Integral Definida
Soma de Séries Através da Transformada de Laplace no blog Fatos Matemáticos
Calculando Somas Através da Derivada no blog Fatos Matemáticos
Uma Identidade entre Séries e Integrais no blog Fatos Matemáticos

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