Teste da Integral para Convergência de Séries

O teorema conhecido como teste da integral (ou teste de Leibniz) para verificar convergências de séries, faz uso da teoria de integrais impróprias.

Teorema $1$:

Se $f(n)$ representa o termo geral $u_n$ de uma série numérica infinita de termos positivos, $u_1+u_2+u_3+\cdots$, e se $f(x)$ é decrescente para $x > \xi$, onde $\xi$ é um número positivo, a série será convergente se a integral imprópria
$$\begin{equation*} \int_{\xi}^{+\infty} f(x)dx \end{equation*}$$
convergir ou a série será divergente se ela divergir.

Demonstração:

Seja $i$ um número inteiro positivo $\geq \xi$. Pelo teorema do valor médio para integrais, existe um número $\overline{x}$ tal que:
$$\begin{equation*} i-1 \leq \overline{x} \leq i \end{equation*}$$
e
$$\begin{equation} \int_{i-1}^{i} f(x) dx = f(\overline{x}) \end{equation}$$
Como $f$ é uma função decrescente, temos que:
$$\begin{equation} f(i-1) \geq f(\overline{x}) \geq f(i) \end{equation}$$
Assim, substituindo $(1)$ em $(2)$, obtemos:
$$\begin{equation} f(i-1) \geq \int_{i-1}^{i} f(x)dx \geq f(i) \end{equation}$$
Se $n$ for um número inteiro positivo $\geq \xi$, teremos:
$$\begin{equation} \sum_{i=2}^{n} f(i-1) \geq \sum_{i=2}^{n} \int_{i-1}^{i} f(x)dx \geq \sum_{i=2}^{n} f(i) \end{equation}$$
Se e somente se:
$$\begin{equation*} \sum_{j=1}^{n-1} f(j) \geq \int_1^2 f(x)dx + \cdots + \int_{n-1}^n f(x)dx \geq \sum_{i=1}^n f(i)-f(1) \end{equation*}$$
ou seja,
$$\begin{equation} \sum_{i=1}^{n-1} f(i) \geq \int_1^n f(x)dx \geq \sum_{i=1}^n f(i)-f(1) \end{equation}$$
Assim, desta expressão segue que:
$$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n f(i) \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n-1} f(i) \end{equation*}$$
Observe que o somatório nesta expressão é a sequência das somas parciais da série, isto é:
$$\begin{equation*} S_n = \sum_{i=1}^n f(i) \end{equation*}$$
de modo que:
$$\begin{equation} \lim_{n \rightarrow \infty} S_n \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n-1} \end{equation}$$
Se a integral imprópria converge, isto é, se:
$$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx = L \end{equation*}$$
Então, de $(6)$, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n \leq f(1)+L$, e sendo $u_n$ uma sequência de termos positivos, então a sequência $S_n$ é crescente e, portanto converge. Reciprocamente, se a série:
$$\begin{equation*} \sum_{i=1}^\infty f(i) \end{equation*}$$
isto é, se $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n$ existe, segue da segunda desigualdade acima que a integral imprópria converge.

Suponha agora que:
$$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_1^n f(x)dx = +\infty \end{equation*}$$
Da expressão:
$$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n-1} \end{equation*}$$
Segue que:
$$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n = +\infty \end{equation*}$$
ou seja,
$$\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} f(n) ~\text{será divergente} \end{equation*}$$
de forma análoga, se a série dada for divergente, então da desigualdade:
$$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow \infty} S_n \leq f(1) + \lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^n f(x)dx \end{equation*}$$
segue que a integral imprópria diverge.

Exemplo $1$:

Verificar a convergência da série $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{9}}+\cdots$.

O termo geral $u_n$ é igual a:
$$\begin{equation*} u_n = f(n) = \frac{1}{\sqrt{2n+1}} \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} \end{equation*}$$
No intervalo $x>1$, $f(x)>0$ e é decrescente, pois é fácil mostrar que a derivada é negativa para $x>1$. Tomando $\xi = 1$:
$$\begin{equation*} \int_{\xi}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{p \rightarrow + \infty} \int_{\xi}^{p} f(x)dx = \lim_{p \rightarrow + \infty} \int_1^p \frac{dx}{\sqrt{2n+1}}=\\ \ \\ = \lim_{p \rightarrow + \infty} \left[ \sqrt{2x+1}\right]_1^p = \lim_{ p \rightarrow + \infty} \sqrt{2p+1}-\sqrt{3} = +\infty \end{equation*}$$
A integral não existe e a série é divergente.

Exemplo $2$:

Verificar a convergência da série $\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{16}+\cfrac{1}{36}+\cfrac{1}{64}+\cdots$.

O termo geral $u_n$ desta sequência é:
$$\begin{equation*} u_n = f(n) = \frac{1}{4n^2} \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} f(x) = \frac{1}{4x^2} \end{equation*}$$
No intervalo $x>1$, $f(x) > 0$ e é decrescente, pois $\displaystyle f^\prime (x) = -\frac{1}{2x^8}<0$ para $x>0$. Tomando $\xi = 1$:
$$\begin{equation*} \int_{\xi}^{\infty} f(x)dx = \lim_{p \rightarrow +\infty} \int_{\xi}^p f(x)dx = \lim_{p \rightarrow + \infty} \int_1^p \frac{dx}{4x^2}=\\ \ \\ = \frac{1}{4} \lim_{p \rightarrow +\infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^u = \frac{1}{4} \lim_{p \rightarrow + \infty} \left[-\frac{1}{u} + 1 \right] = \frac{1}{4} \end{equation*}$$
Desta forma, a integral existe e a série é convergente.

Exemplo $3$:

Verificar se a convergência da série $1+\cfrac{1}{2^p}+\cfrac{1}{3^p}+\cfrac{1}{4^p}+\cdots$.

O termo geral $u_n$ desta sequência é:
$$\begin{equation*} u_n = f(n) = \frac{1}{n^p} \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} f(x) = \frac{1}{x^p} \end{equation*}$$
No intervalo $x>1$, $f(x)>0$ e é decrescente. Tomando $\xi = 1$:
$$\begin{equation*} \int_{\xi}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \rightarrow+ \infty} \int_{\xi}^t f(x)dx = \lim_{t \rightarrow+ \infty} \int_1^t \frac{dx}{x^p}=\\ \ \\ = \lim_{t \rightarrow + \infty} \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^t = \frac{1}{1-p}\left( \lim_{t \rightarrow + \infty}\left[ u^{1-p}-1 \right] \right) \end{equation*}$$
Podemos ter três possibilidades:

Se $p>1$, temos que:
$$\begin{equation*} \frac{1}{1-p}\left( \lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ u^{1-p}-1\right] \right) = \frac{1}{1-p}\left( \lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ \frac{1}{u^{~p-1}}-1  \right] \right)=\frac{1}{p-1} \end{equation*}$$
e a série converge.

Se $p<1$, temos que:
$$\begin{equation*} \frac{1}{1-p}\left(\lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ u^{1-p}-1 \right] \right) = +\infty \end{equation*}$$
e a série converge.

Se $p=1$, temos uma série harmônica:
$$\begin{equation*} 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+\cdots \end{equation*}$$
Assim, o termo geral $u^n$ será:
$$\begin{equation*} u_n = f(n) = \frac{1}{n} \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} f(x) = \frac{1}{x} \end{equation*}$$
No intervalo $x>1$, $f(x)>0$ e é decrescente. Tomando $\xi = 1$:
$$\begin{equation*} \int_{\xi}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \rightarrow + \infty} \int_{\xi}^t f(x)dx = \lim_{t \rightarrow + \infty} \int_1^t \frac{dx}{x} = \\ \ \\ = \lim_{t \rightarrow + \infty} \left[ \ln(x)\right]_1^t = \lim_{t \rightarrow + \infty}\left[ \ln(u)\right] = \infty \end{equation*}$$
e a série diverge.

Exercício proposto:

Use o teste da integral e verifique se a série abaixo converge:
$$\begin{equation*} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\ln(n)}{n^2} \end{equation*}$$
Sugestão: Use o fato que a função $g(x) = \cfrac{\ln(x)}{x}$ é decrescente para $x> e$ e, portanto, tende a zero para $x \rightarrow +\infty$.

Referências:

[1] O Cálculo com Geometria Analítica - Louis Leithold
[2] Cálculo Diferencial e Integral - Frank Ayres Jr.

Veja mais:

O Cálculo Integral
Leibniz e as Diferenciais
Calculando Somas Através da Derivada no blog Fatos Matemáticos
Uma Identidade entre Séries e Integrais no blog Fatos Matemáticos