4 de nov de 2011

Teorema da Bissetriz Interna

Este é um importante teorema da geometria plana, onde conseguimos determinar segmentos proporcionais em um triângulo. Mas o que é bissetriz?

Definição: Bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas, concorrentes dividindo um ângulo em dois ângulos congruentes.

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Teorema 1: Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos aditivos proporcionais aos lados adjacentes.

Em outras palavras, temos:

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O lado BC é dividido em dois segmentos aditivos, pois DB + DC = BC e consequentemente x + y = a.

Por hipótese temos que a bissetriz interna do triângulo ABC nos fornece uma relação de proporcionalidade:

clip_image004[1]

Demonstração:

Conduzindo por C um segmento paralelo à bissetriz, determinamos um ponto E na interceptação com o prolongamento do lado BA.

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Sejam os ângulos:

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Como os segmentos CE e AD são paralelos, temos que os ângulos α e γ são congruentes por serem correspondentes e os ângulos β e δ são congruente por serem alternos internos:

clip_image016

Desta forma, o triângulo ACE é isósceles cuja base é o segmento CE. Assim:

clip_image018

Considerando as retas que passam por BC e BE como retas transversais de um feixe de retas paralelas, aplicamos o Teorema de Tales, obtendo:

clip_image020

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce e Nicolau Pompeo

[2] Elementos de Geometria e Desenho Geométrico V1 – Putnoki


Veja mais:

Teorema da Base Média de um Triângulo
Pontos Notáveis de um Triângulo
Teorema da Bissetriz Interna Através da Lei dos Senos no blog Fatos Matemáticos

15 comentários:

  1. Olá, kleber!

    Mais uma pérola matemática! Essa é... simplesinha mas... bonitinha, KKKKKKKKK! Não acredito que alguém deixe de entender a demonstração desse teorema, diante como tão bem você o fez. Meus parabéns, parceiro!

    Um abraço!!!!!

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  2. Um teorema muito interessante da Geometria Plana explicado em detalhes. Parabéns pelo post e obrigado pelo link.

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  3. Realmente é um Teorema importante e relativamente simples de demonstrar.
    Obrigado pelos comentários e um abraço a todos.

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  4. Oi Isadora,
    Obrigado pela visita.
    Um abraço!

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  5. Tem uma outra demonstração bastante simples e que usa uma ideia também muito simples: se dois triângulos tem a mesma altura, a razão entre as suas áreas será igual à razão entre suas bases.
    De fato, se dois triângulos tem a mesma altura $h$ e bases $b_1$ e $b_2$, a razão entre suas áreas será
    $\dfrac{b_1h/2}{b_2h/2}=\dfrac{b_1}{b_2}$
    Usando a primeira figura, considere que $P_1$ e $P_2$ são respectivamente os pés das alturas dos triângulos $ABD$ e $ACD$ traçadas a partir de $D$. Como $D$ pertence à bissetriz, sabemos que $P_1D=P_2D=h$, então a razão entre as áreas dos triângulos $ABD$ e $ACD$ será
    $\dfrac{ch/2}{bh/2}=\dfrac{c}{b}=k$
    Esses triângulos tem a mesma altura em relação às bases $BD$ e $DC$. Aplicando a mesma ideia, concluímos que a razão $k$ entre as área é igual à $BD/DC=x/y$, logo:
    $k=\dfrac{c}{b}=\dfrac{x}{y}$

    $\Longrightarrow\dfrac{c}{b}=\dfrac{x}{y}$

    $\Longrightarrow\dfrac{x}{c}=\dfrac{y}{b}$

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  6. Bem interessante e simples também, envolvendo as áreas dos triângulos. Obrigado pelo comentário.

    Um abraço.

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  7. mas como de fato calculo o lado AD, que é a bissetriz interna? Tem alguma formula? Obrigado

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  8. Olá. Veja que este Teorema traz uma relação entre o segmento da bissetriz interna de um triângulo e os lados deste triângulo. Desta forma, sendo AD a bissetriz do ângulo A, o ponto D divide o segmento BC proporcionalmente aos lados AB e AC. Veja um exemplo de problema neste link:

    http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/teorema-bissetriz-interna.htm

    Abraços.

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  9. ajudou bastante, Brigado

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  10. Não entendi muito bem isso!

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  11. Muito obrigada!!! Ajudou bastante!

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  12. Muito bom!!!! Valeu pelo post!

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  13. Não podemos afirmar que o triangulo aec é isósceles, pois senão estaremos utilizando-se da hipótese que queremos demonstrar. Erro básico de demonstração.

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  14. Ele não afirma, ele prova, mostrando que os ângulos são iguais. Demonstração bem certinha, parabéns! Está faltando muito esse tipo de coisa pros nossos professores de colégio.

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