27/08/2009

Pontos Notáveis de um Triângulo

Abordaremos aqui os pontos notáveis de um triângulo: Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro. Para uma melhor compreensão do que será estudado, vamos expor algumas definições iniciais:

Cevianas Notáveis

As cevianas aqui estudadas serão: Mediana, Bissetriz Interna e Altura.

O nome ceviana foi dado a esses seguimentos em homenagem ao matemático italiano Giovanni Ceva (1648-1734), que demonstrou teoremas importantes sobre elas.

Definição de Ceviana: é todo seguimento que tem uma das extremidades num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto a esse vértice.

Reta suporte de um seguimento, ou simplesmente suporte de um seguimento, é a reta na qual esse seguimento está contido.

Reta suporte

onde r é o suporte de clip_image002.

Conforme a definição, uma das extremidades da ceviana é um vértice. Podemos dizer que a ceviana é relativa a esse vértice, ou relativa ao lado oposto ao mesmo. A outra extremidade da ceviana é denominada pé. Assim, na figura acima, as cevianas clip_image002[4], clip_image002[6] e clip_image002[8] são relativas ao vértice A ou também relativa ao lado clip_image002[10] e os pontos A1, A2 e A3 são os pés dessas cevianas.

Cada vértice de um triângulo podem conter infinitas cevianas, estas podendo ser internas ou externas.

Dentre essas infinitas cevianas, há três que são muito importantes, por isso são chamadas de notáveis. São elas:

a) Mediana

Definição: Mediana é toda ceviana que tem uma das extremidades no ponto médio de um lado.

Mediana A Mediana B Mediana C

Por convenção, os pontos médios dos lados opostos aos vértices A, B e C são denotados por Ma, Mb e Mc, respectivamente e os comprimentos das medianas relativas aos mesmos são denotados por ma,mb e mC.

b) Bissetriz Interna

Definição: Bissetriz Interna é toda ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos adjacentes e congruentes.

Bissetriz Interna A Bissetriz Interna B Bissetriz Interna C

Por convenção, os pés das bissetrizes internas relativas aos vértices A, B e C são denotadas por Sa, Sb e Sc, respectivamente, e os comprimentos das mesmas por sa, sb e sc.

c) Altura

Definição: Altura é toda ceviana perpendicular a um lado ou ao seu suporte.

Altura A Altura BAltura C

Por convenção, os pés das alturas relativas aos vértices A, B e C são denotados por Ha, Hb e Hc, respectivamente, e os comprimentos dessas alturas por ha, hb e hc.

 

Pontos Notáveis de um Triângulo

Para qualquer triângulo, valem as seguintes propriedades:

P1) As três medianas concorrem num mesmo ponto;

P2) As três bissetrizes internas concorrem num mesmo ponto;

P3) As retas suportes das três alturas concorrem num mesmo ponto;

P4) As mediatrizes dos lados concorrem num mesmo ponto.

Esses pontos de encontro das cevianas notáveis e das mediatrizes são denominadas pontos notáveis.

a) Baricentro (G)

As três medianas de um triângulo intersectam-se num mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes, sendo que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.

Esse ponto é denominado Baricentro do triângulo e é denotado por G.

Demonstração do Baricentro de um Triângulo:

Seja o triângulo abaixo:

Baricentro1

Por hipótese, temos:

clip_image002[3] , clip_image002[5] e clip_image002[7] são medianas.

Por tese, temos:

clip_image002[9]

clip_image004

clip_image006

clip_image008

Demonstração:

Seja X o ponto onde:

clip_image002[11]

Que é o baricentro G que queremos demonstrar. Se considerarmos os pontos médios D e E de clip_image002[13] e clip_image002[15], temos que , no triângulo ABC:

Se:

clip_image002[17] e clip_image002[19]

Então:

clip_image002[21] e clip_image002[23]

E se:

clip_image002[25] e clip_image002[27]

Então:

clip_image002[29] e clip_image002[31]

Daí, segue que:

clip_image002[33] e clip_image002[35]

Logo, M2M3DE é paralelogramo.

Então:

clip_image002[37]

clip_image004[4]

Logo, a Mediana clip_image002[39], intersecta a mediana clip_image002[41] num ponto X tal que:

clip_image002[43]

Tomando-se as Medianas clip_image002[45] e clip_image002[47] e sendo Y o ponto tal que:

clip_image002[49]

De modo análogo, concluímos que:

clip_image002[51]

clip_image004[6]

De ( I ) e ( III ) vem que X = Y.

Se chamarmos esse ponto X = Y de G e considerarmos ( I ), ( II ) e ( IV ), temos:

clip_image002[53]

e

clip_image002[55]

clip_image004[8]

clip_image006[4]

b) Incentro ( I )

As três bissetrizes internas de um triângulo intersectam-se num mesmo ponto. Esse ponto é chamado de Incentro e é denotado por I e se encontra à igual distância dos lados do triângulo.

O Incentro é o centro da circunferência inscrita num triângulo.

Demonstração do Incentro de um Triângulo:

Seja o triângulo abaixo:

Incentro

Por hipótese temos:

clip_image002[57], clip_image002[59] e clip_image002[61] são bissetrizes internas.

Por tese temos:

clip_image002[63]

e

dsa = dsb = dsc

Demonstração:

Seja I o ponto onde:

clip_image002[65]

Que é o Incentro que queremos demonstrar.

clip_image002[67]

clip_image004[10]

Então:

dSb = dSc

e

clip_image002[69]

Logo:

clip_image002[71]

e

dSa = dSb = dSc

c) Circuncentro ( O )

As mediatrizes dos lados de um triângulo intersectam-se num mesmo ponto. Esse ponto é chamado de circuncentro e é denotado por O.

O Circuncentro é o centro da circunferência circunscrita a um triângulo.

O Circuncentro pode ser:

Interno: se o triângulo for acutângulo:

Circuncentro interno

Externo: se o triângulo for obtusângulo:

Circuncentro externo

Coincidente: se o triângulo for retângulo:

Circuncentro coincidente

Demonstração do Circuncentro de um Triângulo:

Seja o triângulo:

Circuncentro

Por hipótese, temos:

m1, m2 e m3 são mediatrizes de clip_image002[1], clip_image002[3] e clip_image002[5].

Por tese, temos:

clip_image002[7]

e

clip_image002[9]

Demonstração:

Seja, então, O o ponto onde:

clip_image002[13]

Se:

clip_image002[15]

clip_image004[1]

Então:

clip_image002[17]

e

clip_image002[19]

Logo:

clip_image002[7]

e

clip_image002[9]

d) Ortocentro (H)

As três retas suportes das alturas de um triângulo intersectam-se num mesmo ponto. Esse ponto é chamado de ortocentro e denotado por H.

O ortocentro pode ser:

Interno: se o triângulo for acutângulo:

Ortocentro interno

Externo: se o triângulo for obtusângulo:

Ortocentro externo

Coincidente: se o triângulo for retângulo:

Ortocentro coincidente

Demonstração do ortocentro de um triângulo:

Seja o triângulo:

Ortocentro

Pelos vértices A, B e C, traçamos retas paralelas aos lados opostos obtendo o triângulo MNP. Temos então que:

clip_image002[21]

clip_image004[3]

clip_image006[1]

Analisando o triângulo, temos:

APBC é paralelogramo se :

clip_image002[23]

ABCN é paralelogramo se:

clip_image002[25]

Então:

A é o ponto médio de NP ( I )

Em contrapartida:

clip_image002[27], clip_image002[29] é perpendicular a clip_image002[31] ( II )

De ( I ) e ( II ) temos que a reta clip_image002[33] é a mediatriz de clip_image002[35].

Analogamente, temos:

clip_image002[37] é a mediatriz de clip_image002[39]

clip_image002[41] é a mediatriz de clip_image002[43]

Logo, considerando o triângulo MNP, as mediatrizes intersectam-se num ponto H:

clip_image002[45]

Referências:


[1] Fundamento de Matemática Elementar, Vol. 9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce, Ed. Atual
[2] Elementos de Geometria e Desenho Geométrico, Vol. 1 – José Carlos Putnoki, Ed. Scipione


Veja mais:

Teorema da Base Média de um Triângulo
Teorema da Base Média de um Triângulo Resolvido Pelas Propriedades dos Vetores
Teorema do Ângulo Inscrito
A Mediana de um Triângulo no blog Fatos Matemáticos

52 comentários:

  1. Olá,

    Parabéns !!! Seu blog ganhou um selo. Visite o meu blog para saber como proceder para inserir o seu selo. Siga as regras.

    Abraços,

    http://www.mfmatematica.blogspot.com

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    1. ótimo; parabéns!

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  2. Muito legal! Explicações perfeitas! Foi muito útil.(Imagens muito boas!)

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    Respostas
    1. siim siim so faltou conclusao pra ficar perfeito

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  3. Obrigado! Procuro colocar imagens em tamanho grande, pois assim quem copiar poderá editá-la melhor.

    Abraços.

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  4. Ola,

    Gostei também deste post que explica detalhadamente os pontos notáveis em um triângulo. Recentemente escrevi sobre a mediana e irei fazer um comentário no final do post.

    Abraços!!

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  5. Legal Prof. Paulo. Preciso reestruturar este post para redimensionar as imagens, pois ficaram grandes demais neste novo template e aproveito e incluo o link de sua postagem.

    Um abraço!

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  6. Realmente muito bom. Parabéns!

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  7. obrigada ajudou no meu trabalho!
    Já foi útil!!!!!
    Xau

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  8. Maravilha!! Que bom que te ajudou! Obrigado pela visita!

    Abraços!

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  9. Parabens seu blog Ajudou MUITO!!!!

    Meu trabalho vai ser nota 10

    Valeeuu pelo blog =]

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  10. Ótimas demonstrações!! Me ajudou muiiiiito!! Vlw

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  11. Valeu amigo, bem completo este artigo!
    Abçs

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  12. valeu msm me ajudo muito na prova
    ASS:vitor grassi

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  13. muito bom, gostei também das imagens, ficaram muito boas. Silas

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  14. não tem o que eu kero
    sinto muuito!!

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  15. Não sinta, amigo. Seria impossível eu colocar aqui um conteúdo que sirva para todos.

    Obrigado e um abraço.

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  16. Vlw cara.
    Tava precisando mto disso em minha prova.

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  17. booooooooooooooom ,obg

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  18. Muito bom, muito bom mesmo! Adorei!

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  19. $muito bom meu ajudou muito mesmo vlw e abraços$

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  20. Interessante!Hoje fiz prova de OFA (professor do estado) e por íncrivel que pareça(coincidência??)
    encontrei vários tópicos neste blog que são semelhantes às questões da prova.Pena que vi hoje depois da prova.

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  21. Espero que tenha se saído bem.

    Obrigado pela visita e comentário.

    Volte sempre.

    Um abraço.

    ResponderExcluir
  22. Muito boas as demonstrações... Como você consegue fazer uma coisa tão bem feita sem ganhar nada (monetariamente)? Rsrsrsrsrs...
    Seu blog é perfeito uma verdadeira biblioteca matemática...

    A propósito, bonitinha sua filha... :)

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  23. Pois é amigo, puro prazer! Enquanto o Ministério da Cultura concede verba de 1,3 milhões para criar um blog da senhora Bethânia, os blogs educativos sobrevivem pelo simples prazer de copartilhar o conhecimento. Quem sabe daqui há alguns anos (219, 327 anos?) não ganharemos algum incentivo financeiro para continuarmos.

    Um abraço e obrigado pela visita!

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    Respostas
    1. Professor é o que se vê num país onde a vaidade e o perfunctório prevalecem sobre o que realmente importa, que é a educação de um povo, que tem muito o que aprender, de começo a cumprir suas obrigações e exigir seus direitos

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  24. nossa...vlw msm,tava presisando disso...

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  25. Caro Kleber... hoje não vou elogiar (Muita gente já faz isso).Vc contribui muito para o ensino e divulgação da Matemática e o blog é ótimo[ponto!]
    Vou pedir para dar uma "arrumadinha" em

    "Se-gui-mento" e no termo "interceptar" cujo termo mais adequado é intersectar pois interceptar está para interromper e não é o caso.

    Nada além disso.
    Sucesso a vc

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  26. Vocês sabeeem das cooisas estão de parabéns ;D'

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  27. Obrigado Pamela. Bons estudos. Volte sempre!

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  28. Ótimas informações, me ajudaram num trabalho de geometria, obrigada !

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  29. podia dar uma melhorada na definição

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    Respostas
    1. Amigo, não vejo em que melhorar as definições. Se tiver uma ideia, me avise.

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  30. ola,faço 8 ano o meu nome e evelinni valeu a pena seu blog , pois me ajudou muito.

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  31. Larissa Gabriela20/09/12 13:45

    Adorei este blog, agora tirei todas as minhas dúvidas! Muito bom, me ajudou bastante...

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  32. Caro professor Kleber gostaria que o senhor abordasse um assunto que muito me interessa, e creio que a muitos outros colegas,"Transformadas de Laplace" e "Análise de Fourier", principalmente focando o aspecto prático das aplicações que pode fazer desses recursos da matemática.
    Atenciosamente.
    Eng. Civil Jurandyr de Araujo Junior.

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  33. Olá Jurandyr, como vai?

    Realmente não tenho nenhum artigo sobre os temas sugeridos. Tenho um ivro da coleção Schaum sobre as transformadas de Laplace. Vou ver se faço alguma coisa. De qualquer forma, sugiro que procuro no blog do Prof. Paulo:

    http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/

    Um abraço.

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  34. Ah, muito bom !
    Fiquei até excitado ao ver esta página !

    ResponderExcluir
  35. Professor Kleber, estou com um problema sobre ortocentro e não consigo resolver de forma alguma, vou tentar passar para texto a figura do triangulo: Um triangulo ABC, onde ABC=3α, HAC=α, HCA=20°, H é o ortocentro. Qual o valor de α. Desde já agradeço a sua atenção. Charles Moreira

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  36. Charles, considere o triângulo $ABC$. O ortocentro é o ponto $H$, que é o ponto de encontro das alturas. Considere os pontos $A'$, $B'$ e $C'$ que são os pontos de encontro das alturas referentes aos ângulos $A$, $B$ e $C$, respectivamente.

    Considerando os dados que o problema fornece, do triângulo $CAH$, $ \hat{A}= \alpha$ e do triângulo $HCA$, $ \hat{C}=20$. Assim, do triângulo $CAA'$, $ \hat{C}=20+ \beta$. Então temos que:
    $$180= 90+ \alpha + (20+ \beta) \qquad(1)$$
    E do triângulo $ABC$ temos que:
    $$180=( \alpha + \beta)+3 \alpha +(20+ \beta) \qquad(2)$$
    Igualando $(1)$ com $(2)$, obtemos:
    $$ ( \alpha + \beta)+3 \alpha +(20+ \beta)=90+ \alpha + (20+ \beta)$$
    $$90=3\alpha +\beta \qquad(3)$$
    Do triângulo $ACC'$, temos que:
    $$180=(\alpha +\beta)+90+20$$
    $$\alpha=70-\beta \qquad(4)$$
    Substituindo $(4)$ em $(3)$, obtemos:
    $$90=3(70-\beta)+\beta$$
    $$\beta=60$$
    Substituindo $\beta$, obtemos $\alpha=10$

    Espero ter sido claro. Qualquer dúvida deixe um comentário.

    Abraços!

    ResponderExcluir
  37. Parabéns, professor!
    Estou fazendo Eng. Elétrica e suas postagens têm me ajudado bastante em Desenho Técnico I.

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    Respostas
    1. Olá amigo. Obrigado pela visita e se dispor a comentar. Sinto-me realmente recompensado. Acredito que as aulas de desenho geométrico deveriam ocorrer ainda no ensino fundamental. Ficou uma lacuna que existe no ensino público brasileiro.

      Um abraço.

      Excluir
  38. Olá, Kleber!

    Mais uma vez cá estou eu em uma de suas publicações apreciando suas ótimas explicações... Me ajudou muito com esse conteúdo só que fiquei meio confuso com relação a diferença entre circuncentro e ortocentro que a meu ver parece a mesma coisa, já que ambos envolvem as mediatrizes, ou será que entendi errado? Poderia me explicar melhor isso Kleber... Desde já agradeço a atenção...

    Att. Romirys Cavalcante

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    Respostas
    1. Olá Romirys,

      Acredito que se confundiu, pois para o circuncentro usa-se as mediatrizes; já para o ortocentro, usa-se as alturas.

      Para encontrarmos o circuncentro de um triângulo, utilizamos as mediatrizes de seus lados. A intersecção dessas mediatrizes é o ponto $O$, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

      Para encontrarmos o ortocentro de um triângulo, utilizamos as alturas. A intersecção das alturas é o ponto $H$.

      Espero ter esclarecido.

      Abraços!

      Excluir
  39. Olá. Parabéns pela postagem! Antes de ver seu blog eu achava que todos esses pontos eram iguais! rsrsrs Agora vi que não são! Muito obrigado!

    ResponderExcluir

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