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20/10/2011

Teorema do Ângulo Inscrito

Um ângulo é considerado inscrito em uma circunferência quando seu vértice pertence a ela e os seus lados sejam, cada um deles, uma corda.

Teorema: Numa circunferência, a medida do ângulo central é igual ao dobro da medida do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco.

Assim, pode haver três casos distintos:

i) O centro O da circunferência pertence a uma das cordas. Neste caso, a corda é o próprio diâmetro da circunferência;

ii) O centro O da circunferência está dentro do ângulo inscrito;

iii) O centro O da circunferência está fora do ângulo inscrito.

image Vamos demonstrar cada um dos casos separadamente.

1) O centro O da circunferência pertence a uma das cordas

image Vejam que os segmentos OB e OC possuem a mesma medida, pois são iguais ao raio da circunferência. Desta forma, o triângulo OBC é isóscele, cuja base BC compreende ângulos iguais a θ.

O segmento AB é o diâmetro da circunferência e podemos chamar como α o ângulo complementar de β, que é o ângulo central:

clip_image006

Como para todo triângulo a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°, temos:

clip_image008

clip_image010

E assim fica provado o primeiro caso.

2) O centro O da circunferência está dentro do ângulo inscrito

image Podemos traçar o diâmetro BD da circunferência, dividindo os ângulos, central e inscrito, em duas partes iguais, obtendo:

clip_image014

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E desta forma, caímos ao primeiro caso, onde o centro da circunferência pertence a uma das cordas. Utilizando o mesmo raciocínio, obtemos:

image

clip_image020

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E o mesmo vale para o outro ramo:

image 

clip_image026

clip_image028

No entanto, temos pela relação (3) que:

clip_image030

Substituindo as relações (4) e (5), obtemos:

clip_image032

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Substituindo a relação (2) na relação acima obtemos:

clip_image036

E assim provamos o segundo caso.

3) O centro O da circunferência está fora do ângulo inscrito

imagePodemos traçar o diâmetro BD da circunferência definindo outros dois ângulos: β1 e θ1:

image Assim, podemos chamar como α o ângulo complementar do ângulo β + β1, que é o ângulo central:

clip_image042

E desta forma, caímos ao primeiro caso, onde o centro da circunferência pertence a uma das cordas. Utilizando o mesmo raciocínio, obtemos:

clip_image044

clip_image046

Se aplicarmos o mesmo conceito no ângulo DBA, obtemos:

clip_image048

Substituindo a relação (8) em (7), obtemos:

clip_image050

clip_image052

E assim provamos o terceiro e último caso.


Veja mais:

O Teorema de Pitágoras, Segundo Euclides - A Proposição I-47
O Teorema da Base Média de um Triângulo
O Teorema da Base Média de um Triângulo Resolvido pelas Propriedades dos Vetores

7 comentários:

  1. Adorei a demonstração...

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  2. Blog sensacional

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  3. muito bom....me ajudou em matemática.

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  4. Muito bom! Parabéns pelo blog. Tudo muito bem explicado, simples e objetivo. Obrigado!

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  5. Muito útil! Para quem quer praticar, sugiro a questão 75 da Fuvest de 2010.
    Obrigado, Kleber!
    Abraços a todos!

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    Respostas
    1. Agradeço seu comentário. Abraços!

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    2. otimo blog :)

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∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥

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