29 de set de 2011

Retificação da Circunferência (Parte 2) – Método de Kochanski

Esta construção geométrica consiste em encontrar um segmento de reta que se aproxime da circunferência. Desta forma, também conseguimos uma boa aproximação para π.

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1) Descreva uma circunferência de centro O e raio R;

2) Trace seu diâmetro vertical marcando os pontos A e B;

3) Trace uma reta tangente em A;

4) Construa um triângulo equilátero com um dos vértices em O e os outros dois vértices C e D na circunferência, de modo que o ponto médio E da aresta CD esteja no segmento AO;

5) Prolongue o segmento OC e marque o ponto F na intersecção com a tangente;

6) Partindo de F, marque os ponto G, H e I sobre a tangente, de modo que os segmentos FG, GH e HI sejam iguais a R;

7) O segmento BI aproxima a metade da circunferência. Se o raio R = 1, então o comprimento da circunferência será igual a 2π. Como BI aproxima a metade da circunferência, logo BI aproxima π.

Demonstração:

Aplicando o teorema pitagórico no triângulo retângulo ABI, obtemos:

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Mas, AB = 2R e AI = 3RFA, assim:

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No triângulo retângulo OAF, temos a relação:

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Como o triângulo OFJ é equilátero, seus lados são iguais, logo:

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Substituindo (4) em (3), obtemos:

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Substituindo (5) em (2), obtemos:

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Assim, se tivermos R = 1:

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Vejam que a relação (7) nos fornece uma aproximação para π com quatro casas decimais corretas. Para uma construção geométrica é realmente um feito!


Veja mais:

Retificação da Circunferência (Parte 1)
Como Construir uma Aproximação Para a Quadratura do Círculo
Os Três Problemas Famosos da Geometria Grega no blog Fatos Matemáticos

2 comentários:

  1. Pelo que pude notar, os métodos geométricos só produzem aproximações para $\pi$. Não existe mesmo nenhum método que reproduza o valor de $\pi$ num segmento de reta?

    Abraços.

    Cláudio

    ResponderExcluir
  2. Olá Cláudio,
    Não conheço nenhum método que forneça o valor correto para $\pi$ numa construção desse tipo. Creio que o problema esteja relacionado ao fato de que $\pi^2$ também seja irracional. Já para $\sqrt2$, por exemplo, podemos construir um segmento desse comprimento, pois $(\sqrt2)^2 =2$
    Abraços.

    ResponderExcluir

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