Esta construção geométrica consiste em encontrar um segmento de reta que se aproxime da circunferência. Desta forma, também conseguimos uma boa aproximação para π.
1) Descreva uma circunferência de centro O e raio R;
2) Trace seu diâmetro vertical marcando os pontos A e B;
3) Trace uma reta tangente em A;
4) Construa um triângulo equilátero com um dos vértices em O e os outros dois vértices C e D na circunferência, de modo que o ponto médio E da aresta CD esteja no segmento AO;
5) Prolongue o segmento OC e marque o ponto F na intersecção com a tangente;
6) Partindo de F, marque os ponto G, H e I sobre a tangente, de modo que os segmentos FG, GH e HI sejam iguais a R;
7) O segmento BI aproxima a metade da circunferência. Se o raio R = 1, então o comprimento da circunferência será igual a 2π. Como BI aproxima a metade da circunferência, logo BI aproxima π.
Demonstração:
Aplicando o teorema pitagórico no triângulo retângulo ABI, obtemos:
Mas, AB = 2R e AI = 3R – FA, assim:
No triângulo retângulo OAF, temos a relação:
Como o triângulo OFJ é equilátero, seus lados são iguais, logo:
Substituindo (4) em (3), obtemos:
Substituindo (5) em (2), obtemos:
Assim, se tivermos R = 1:
Vejam que a relação (7) nos fornece uma aproximação para π com quatro casas decimais corretas. Para uma construção geométrica é realmente um feito!
Veja mais:
Retificação da Circunferência (Parte 1)
Como Construir uma Aproximação Para a Quadratura do Círculo
Os Três Problemas Famosos da Geometria Grega no blog Fatos Matemáticos
Pelo que pude notar, os métodos geométricos só produzem aproximações para π. Não existe mesmo nenhum método que reproduza o valor de π num segmento de reta?
ResponderExcluirAbraços.
Cláudio
Olá Cláudio,
ResponderExcluirNão conheço nenhum método que forneça o valor correto para π numa construção desse tipo. Creio que o problema esteja relacionado ao fato de que π2 também seja irracional. Já para √2, por exemplo, podemos construir um segmento desse comprimento, pois (√2)2=2
Abraços.