Como construir uma aproximação para a quadratura do círculo com régua e compasso

A quadratura do círculo é um dos três problemas clássico da Geometria Grega Antiga, onde se torna impossível a construção de um quadrado com a mesma área de um círculo dado utilizando apenas régua e compasso.

No entanto, podemos encontrar aproximações que, dependendo da utilização, podem ser tomadas como equivalentes. Vamos aqui construir uma aproximação para o problema da Quadratura do Círculo.

1. Inicie com um quadrado $ABCD$ de aresta igual a $a$;

2. Encontre o ponto médio do segmento $AB$ e marque como $M$;

3. Una os pontos $M$ e $C$ e encontre o ponto médio deste segmento marcando como $O$;

4. Com centro em $O$ e raio $OM$, descreva a circunferência procurada.

Desta forma, construímos um círculo cuja área é aproximadamente igual à área do quadrado. Assim, temos que a área do quadrado é dada por:

$$A_{Quadrado} = a^2$$

Vamos calcular a área do círculo em função da medida de a. Para tal, consideremos o triângulo retângulo BCM e apliquemos o teorema pitagórico:

$$MC^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\\ \ \\ MC^2 = a^2 + \frac{a^2}{4}\\ \ \\ MC^2 = \frac{5a^2}{4}\\ \ \\ MC = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$

Assim, o raio da circunferências será:

$$R = \frac{MC}{2} = \frac{a\sqrt{5}}{4}$$

E a área do círculo será dada por:

$$A_{Quadrado} \approx A_{Circulo}\\ \ \\ a^2 \approx \frac{5\pi a^2}{16}\\ \ \\ \pi \approx \frac{16}{5} = 3,2$$

Vejam que a aproximação é dada pelo valor de π, que somente se aproxima do valor real. Concluímos que a área do quadrado é ligeiramente maior que a área do círculo.

Veja mais:

• A quadratura do círculo pelos egípcios
• A quadratura das lúnulas de Hipócrates
• A Quadratura do Círculo Pelo Método de Ernest Hobson