Princípio de Indução Completa ou Raciocínio por Recorrência

Se uma propriedade é verdadeira para o número $1$ e conseguimos demonstrar que é verdadeira para $n$ sempre que for verdadeira para $n-1$ então ela será verdadeira para todos os números naturais.Vamos demonstrar que a soma dos $n$ primeiros naturais é:
$$S_n=1+2+3+\cdots +n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$$ A fórmula é verdadeira para $n=1$, pois $S_1=1$. Suponhamos que a fórmula seja verdadeira para os  $n-1$ primeiros números. Assim, pela hipótese da indução:
$$S_{n-1}=\frac{\left ( n-1 \right ) \left ( n-1+1 \right )}{2}=\frac{\left ( n-1 \right )n}{2}$$ Mas como: 

$$S_n=S_{n-1}+n$$  

Logo:
$$S_n=\frac{\left ( n-1 \right )n}{2}+n$$
$$S_n=\frac{n^2-n+2n}{2}=\frac{n^2+n}{2}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$$
Assim, a proposição fica demonstrada para todo $n$. Para Poincaré, esse é o raciocínio matemático por excelência.

Referências:

[1] Gênios da Ciência Vol. 12 – A Vanguarda da Matemática e os Limites da Razão

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Veja mais:

A Aritmética de Peano
Bertrand Russel e o Logicismo
Dirichlet e os Números Primos de uma Progressão Aritmética

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