O Número Prateado e a Área do Octógono Regular

O número prateado, ou razão prateada é uma constante matemática. Seu nome é uma alusão ao Número de Ouro, que é a razão limitante da seqüência de Fibonacci. Analogamente, o número prateado é a razão limitante da sucessão de Pell.

Duas quantidades estão em proporção de prata se a razão entre a maior e a menor é o número prateado. Esta razão define o número prateado como um número irracional, cujo valor equivale a $1+\sqrt{2}$.

Veremos neste artigo como o número prateado está relacionado com a área do octógono regular.

Analisando a imagem acima e pelas propriedades geométricas do octógono, o ângulo $A\hat{O}B = 45°$. Assim:

$$A\hat{O}B = 45° = \frac{\pi}{4}$$
Assim, o ângulo $A\hat{O}M=22,5°$:
$$A\hat{O}M = 22,5° = \frac{\pi}{8} \tag{1}$$

No triângulo $AMO$, retângulo em $M$, temos:

$$\text{tg}\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{AM}{OM} = \frac{\displaystyle \frac{a}{2}}{OM}=\frac{a}{2\ OM}\\ $$
$$OM = \frac{a}{\displaystyle 2\ \text{tg} \left(\frac{\pi}{8}\right)} \tag{2}$$

Já vimos no post O número prateado na trigonometria que:

$$\text{tg}\left(\frac{\pi}{8} \right) = \frac{\sqrt{2}}{1+\delta_S} \tag{3}$$

Substituindo $(3)$ em $(2)$, obtemos:

$$OM = \frac{a}{\displaystyle 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{1+\delta_S}\right)}$$
$$OM = \frac{1}{2} \cdot \frac{1+\delta_S}{\sqrt{2}} \tag{4}$$

Se $A$ é a área do octógono regular, então $A$ será igual a $8$ vezes a área do triângulo $AOB$:

$$A = 8\cdot A_{\triangle AOB}\\ \ \\ A = 8 \cdot \frac{AB\cdot OM}{2}\\ \ \\ A = 4a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1+\delta_S}{\sqrt{2}}\\ \ \\ A = \frac{2\ a^2}{\sqrt{2}}\big( 1+ \delta_S \big)\\ \ \\ A = a^2 \sqrt{2} \big( 1+ \delta_S \big)$$

Pela definição do número prateado, temos:

$$\delta_S = 1+ \sqrt{2} \tag{5}$$
Logo:
$$A = a^2 \sqrt{2} \big(2+\sqrt{2} \big)\\ \ \\ A = a^2 \big(2 \sqrt{2} + 2\big)\\ \ \\ A = a^2\ 2 \big(\sqrt{2}+1\big)\\ $$
$$A = 2\ a^2\ \delta_S \tag{6}$$

A igualdade $(6)$ fornece a área do octógono regular de lado $a$, relacionando com o número prateado.

O desenvolvimento deste artigo foi elaborado pelo professor Paulo Sérgio que gentilmente cedeu o material para ser publicado aqui no blog.

Links para este artigo:

• http://bit.ly/numero-prateado-octogono
• https://www.obaricentrodamente.com/2011/01/o-numero-prateado-e-area-do-octogono.html

Veja mais:

• O número prateado
• O retângulo prateado
• A equação do número prateado
• O número prateado na trigonometria