16 de jan de 2011

O Número Prateado e a Área do Octógono Regular

O Número Prateado vem se mostrando muito curioso em suas aplicações. Vamos ver como este número está relacionado à área de um octógono regular. Considere o octógono abaixo:

Octogono Regular [Figura 1: octógono regular]

Note que o ângulo AÔB = 45°, então:

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Logo, o ângulo AÔB = 22,5°, então:

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No triângulo AMO, retângulo em M, temos:

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Já vimos no post anterior sobre O Número Prateado na Trigonometria que:

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Substituindo (2) em (1), obtemos:

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Se S é a área do octógono regular, então S será igual à 8 vezes a área do triângulo AÔB:

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Mas, pela definição do número prateado, temos que:

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Logo:

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clip_image036

A relação (5) nos dá a área do octógono regular de lado l.

O desenvolvimento das demonstrações foram feitas pelo Professor Paulo do blog Fatos Matemáticos, que gentilmente me cedeu o material para publicar aqui neste blog. Fiz a formatação e a inserção de algumas passagens.


Vejam mais:

O Número Prateado
O Número Prateado na Trigonometria
Algumas Propriedades do Número Prateado no blog Fatos Matemáticos

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