Sobre a Esfera e o Cilindro

Arquimedes é considerado o maior dos matemáticos da antiguidade e um do maiores de todos os tempos. Nasceu em Siracusa, cidade localizada na ilha de Sicília, aproximadamente em $287\ a.C.$ e morreu durante a segunda Guerra Púnica em $212\ a.C.$.

Os trabalhos de Arquimedes exibem grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas demonstrações. Sobre a Esfera e o Cilindro foi escrito em dois volumes e constituído de cinquenta e três proposições e trata, entre outras coisas, do teorema que fornece as áreas de uma esfera e de uma calota esférica. Mostra que a área de uma superfície esférica é exatamente dois terços da área da superfície total do cilindro circular reto circunscrito a ela e que o volume da esfera é exatamente dois terços do volume do mesmo cilindro.

Vamos verificar os resultados estabelecidos por Arquimedes em seu trabalho Sobre a Esfera e o Cilindro que diz:

• O volume da esfera é $2/3$ do volume do cilindro circunscrito a ela;
• A área de uma superfície esférica é $2/3$ da área total do cilindro que a circunscreve.

Utilizando a notação moderna, temos que a fórmula para o volume da esfera é:

$$V_E = \frac{4}{3} \pi r^3 \tag{1}$$

onde $V_E$ é o volume da esfera. E a fórmula para o cilindro:

$$V_C = 2 \pi r^3 \tag{2}$$
onde $V_C$ é o volume do cilindro.

Então fazemos:
$$\frac{V_C}{V_E} = \frac{2\pi r^3}{\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{6\pi r^3}{4\pi r^3} = \frac{3}{2}$$

Isso implica dizer que $2V_C = 3V_E$, ou que o volume da esfera é $2/3$ do volume do cilindro circunscrito:

$$V_E = \frac{2}{3}\ V_C \tag{3}$$
Para a área da esfera:
$$A_E = 4\pi r^2 \tag{4}$$
onde $A_E$ é a área da esfera. E para o cilindro:
$$A_C = 6 \pi r^2 \tag{5}$$

onde $A_C$ é a área total do cilindro, dada pela soma das áreas das bases e da área lateral.

Então, fazemos:

$$\frac{A_C}{A_E} = \frac{6\pi r^2}{4\pi r^2} = \frac{3}{2}$$

Isso implica em dizer que $2A_C = 3A_C$, ou que a área da esfera é $2/3$ da área do cilindro circunscrito:

$$A_E = \frac{2}{3}\ A_C \tag{6}$$

Referências:

• Introdução à História da Matemática - Howard Eves

Links para este artigo:

• http://bit.ly/esfera-cilindro
• https://www.obaricentrodamente.com/2010/09/sobre-esfera-e-o-cilindro.html

Veja mais:

• O princípio de Cavalieri
• Demonstração da fórmula da esfera
• O teorema da corda quebrada de Arquimedes