Seguidores

Pesquise neste blog

29/06/2009

Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera

Para esta demonstração, utilizamos o conceito de integral definida. Vamos supor a circunferência abaixo com centro na origem:

Circunferência 2

Se rotacionarmos a circunferência em torno do eixo x, obteremos uma esfera de centro na origem e raio r.

Esfera 2

Temos que a equação da circunferência é:

clip_image002

Como a esfera tem centro na origem, temos que a = 0 e b = 0, logo:

clip_image002[4]

clip_image004

Para encontrarmos o volume desta esfera, vamos supor fatias de larguras infinitesimais dx e raio y.

cilindro infinitesimal dx 2

O volume do cilindro é dado por:

clip_image002[10]

clip_image002[14]

Como o raio do cilindro de altura infinitesimal é igual a dx e seu raio da base é igual a y, podemos reescrever a fórmula de seu volume como:

clip_image002[8]

Podemos dizer que a esfera é formada por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx, onde seu raio y é variável para cada cilindro.

A soma desses cilindros de alturas infinitesimais é dado pela integral definida:

clip_image002[16]

clip_image004[4]

Como:

clip_image002[18]

Temos:

clip_image002[20]

clip_image004[6]

clip_image006

Aplicando a integral:

clip_image002[22]

clip_image004[8]

clip_image006[4]

clip_image008

clip_image010

Que é a famosa fórmula para o cálculo do volume de uma esfera.

Se derivarmos seu volume em relação ao raio r, obtemos sua área:

clip_image002[24]

clip_image004[10]


Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume de Pirâmide
Demonstração da Fórmula da Área da Esfera
Sobre a Esfera e o Cilindro

52 comentários:

  1. huuooll bom, me ajudou bastante vlw

    ResponderExcluir
  2. como é demonstrada a área da esfera??

    ResponderExcluir
  3. Olá,

    Veja só: Eu tenho aqui a demonstração da área da esfera feita por um amigo que me encaminhou após ver esta demosntração do volume. Não postei ainda, porque esse amigo quer tentar uma publicação em alguma revista, por ser algo original, já que não encontramos em nenhum site pela net.

    Uma maneira que eu tentaria demosntrar seria muito parecida com a demonstração do volume:na terceira figura acima, ao invés de considerar o volume da fatia infinitesimal, considere sua área e faça a integral definida A= integral[-r,r](2PIy.dx), onde y=sqrt(r^2-x^2)

    Resolva a integral e aplique os limites.

    Vou tentar fazer por aqui, estando pronto faço um novo post.

    Obrigado e um abraço!

    Até +

    ResponderExcluir
  4. pow isso ae cai em uma indeterminação q ainda não consegui resolver, bom se os calcs estiverem certos .., mas vou continuar tentando...
    vlw

    ResponderExcluir
  5. o volume da esfera apos calculado ele sai em que tipo de escala (cm,dm,mm)?

    obrigado!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. A escala do volume depende da escala do raio. No volume considera-se a figura no espaço, 3 dimensões. Logo a escala do volume é a mesma do raio elevada ao cubo.

      Excluir
  6. A saída dependerá de como o problema for colocado. Se as medidas estiverem em cm, o volume deverá ser em cm cúbicos; se for mm, deverá ser em mm cúbicos, e assim por diante. Mas lembre-se de que, se houver num mesmo problema unidades de medidas diferentes, você deverá primeiro transformá-las numa mesma unidade, ok.

    Obrigado por sua visita e por seu comentário!

    ResponderExcluir
  7. Olá!! Parabéns pelo blog.

    Tem um jeito sem integral:

    Considerando uma esfera de raio R;
    um cilindro eqüilátero de raio de base R;
    dois cones cujas bases são as do cilindro e cujos vértices situam-se no médio do eixo do cilindro;

    se seccionarmos a esfera e o outro sólido formado por cilindro - cones,
    percebemos que as superfícies geradas (círculo e coroa circular) possuem áreas iguais, assim os sólidos possuem volumes iguais.
    Portanto, se subtrairmos o volume do cilindro pelo volume dos dois cones obtemos o volume da esfera:

    V esfera = V cilindro – 2 V cones
    = pi.R².2R – 2(1/3.pi.R².R)
    = 2.pi.R³ - 2/3.pi.R³
    = 4/3.pi. R³

    Fonte: 2º Grau Matemática, Gelson Iezzi.

    ResponderExcluir
  8. Olá amigo. Obrigado pelo elogio e por sua visita. A forma que você descreveu acima trata-se do Princípio de Cavalieri. A figura gerada da subtração dos cones do cilindro, chama-se anticlipsidra.

    Veja um estudo que fiz aqui no blog:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/12/o-principio-de-cavalieri.html

    Um abraço!!

    ResponderExcluir
  9. Ih, como eu sou tapado.
    Da próxima, eu vou verificar as coisas que já foram postadas. =)

    ResponderExcluir
  10. Não se preocupe amigo, você expôs um problema clássico História da Matemática que nem todos conhecem que valeu seu comentário.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  11. Gostaria de elogiar o coneúdo do seu blog. É um conteúdo que todos que têm algum conhecimento de cálculo conseguem compreender. Muito bom!

    ResponderExcluir
  12. Olá João. Agradeço seus elogios e seu comentário. Procuro expor o mais simples possível, pois enquanto fazia faculdade também tive muita dificuldade em encontrar material mais acessível.

    Forte abraço!

    ResponderExcluir
  13. cara... simplesmente demais! eu até começei a fazer um blog sobre assuntos de matemática, mas aí eu conheci O BARICENTRO DA MENTE e começei a recomendá-lo a todos, parabéns...
    Hilquias (IFPI)

    ResponderExcluir
  14. Obrigado pelas indicações e confiança em meu trabalho. Mas de qualquer forma, não desista de fazer seu blog, pois além do conheciemnto que levamos às outras pessoas, nos faz estar constantemente aprendendo.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  15. Muito bom mas, fiquei com dúvida na parte de
    V = "Pi" integral de (r² - x²)dx, há mais passos ali quando vai direto para
    V = "Pi"[r²x- x³/3]
    desculpa há mais passos ali que não apareceu pois sei que há mais passos ali mas realmente tentei resolve aquela parte e não cheguei no mesmo resultado O.K?

    ResponderExcluir
  16. Olá Victor, na verdad, nesse momento, $r$ é uma constante e $x$ é a variável. Então estamos integrando a função em $x$. Se temos:
    $V=\pi \int_{-r}^r(r^2-x^2)dx$
    Veja que é uma integral definida. Mas primeiro calculamos sua integral, que dá:
    $V=\pi [r^2x-x^3/3]_{-r}^r$
    Ok?
    Abraços.

    ResponderExcluir
  17. É mais fácil a demonstração utilizando coordenadas esféricas. Parabéns pelo ótimo trabalho, tem me auxiliado muito na faculdade. Abraços.

    ResponderExcluir
  18. Fico feliz em saber que estes artigos tem lhe ajudado.

    Obrigado pelo comentário e logios!

    Forte abraço!

    ResponderExcluir
  19. Muito bom. Me ajudou muito, aprendi mais do que na faculdade.

    Valeu Kleber

    ResponderExcluir
  20. Olá Rafael,
    Que bom que este artigo lhe ajudou, fico feliz em saber.
    Um abraço.

    ResponderExcluir
  21. Kleber,teria como fazer essas demonstrações sem usar a integral?

    ResponderExcluir
  22. Olá Barreto,
    Bem, vi num livro uma forma de demonstrção, mas não continha cálculos: o autor supôs que a área da esfera era composta por hexágonos; cada vértice dos hexágonos são ligados ao centro da esfera, formando pirâmides de base hexagonais. Então, somando todos os volumes dessas pirâmidas, obteríamos o volume da esfera.
    Mas veja que para termos maior precisão, teríamos que ter infinitas pirâmides com arestas infinitesimais, e o somatório dos volumes destas pirâmides seria o mesmo que uma integral.
    Não vejo como fugir disso. Antes de fazer este post, havia pensado em muitas formas e não consegui com nenhuma até cair na integral.
    Se encontrar alguma solução, me avise por favor. Ficarei grato.
    Um abraço.

    ResponderExcluir
  23. Ok!
    boa ajuda p/ resolução de um trabalho de eng.civil UNIBAN/SP

    ResponderExcluir
  24. Olá Raphael,
    Fico feliz em saber.
    Um abraço!

    ResponderExcluir
  25. infelizmente eu sou do MT e nao estudo a integral. Tem alguma outra forma de eu deduzir o volume de uma esfera? Muito obrigado.

    ResponderExcluir
  26. É bom ler antes que falar. Eu nao vi, mas tem um post seu ja que vc comentou sobre. Valeu

    ResponderExcluir
  27. Olá amigo,

    Veja este post no blog Fatos MAtemáticos:

    http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/12/arquimedes-e-o-volume-da-esfera.html

    Neste artigo, tem uma explicação sobre o Princípio de Cavalieri, onde é possível determinar o volume da esfera:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/12/o-principio-de-cavalieri.html

    Veja o Princípio de Cavelieri aplicado no volume de um elipsóide de revolução:

    http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/07/volume-do-elipsoide-pelo-principio-de.html

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  28. Amigos pq se eu pegar 1/4 de uma circunferencia e multiplicar por duas vezes o seu comprimento, não se tem a área da esfera? Tipo 1/4*2PiR*4PiR= 2Pi²R² Quando a área correta é 4PiR²!

    ResponderExcluir
  29. Olá José,
    Não entendi muito bem a relação que quis demonstrar aí, mas ficou claro que não é igual a área da esfera:
    $$\frac{1}{4}\cdot 2\pi R\cdot 4\pi R\neq 4\pi R^2$$
    Se puder, esclareça melhor.

    Um abrçao.

    ResponderExcluir
  30. Olá
    Tenho uma dúvida em relação à integração.
    Sendo "x" a variável, "r" não deveria ser considerado constante, saindo assim da integral, da mesma forma que aconteceu com "pi"?

    ResponderExcluir
  31. Olá,
    Exatamente, x é a variável e r é uma constante (raio).
    Veja que a função a ser integrada é $\pi y^2dx$
    Quando impomos os limites de integração, de -r a r, note que r é um número qualquer, que é o raio da circunferência, desta forma, não tem como "sair" da integral, pois os $x$ tomarão os valores de -r e r, para qualquer r.
    Espero que tenha esclarecido.

    Um abraço.

    ResponderExcluir
  32. Preciso saber quantas bolinhas cabem dentro de 1 carro AGILE LT 1.4 - 2011?

    Detalhes do carro:
    Comprimento = 3.996mm
    Largura =1.939mm
    Altura = 1.474mm
    Entre- Eixos = 2.543mm
    Bolinha = 7.0 cm de Diâmetro
    Volume Porta-Malas = 327 litros

    Desde ja muito obrigado

    Feliz Natal de Fórmulas e Próspero Ano Matemáticos.
    HO HO HO - Calc Calc Calc

    ResponderExcluir
  33. Olá amigo,
    Bem, este problema não é tão fácil de resolver, pois, apesar das dimensões do veículo que passou, o volume interno não tem tais dimensões, além de ser irregular, pois tem os bancos, a parte sob o console, ...

    ResponderExcluir
  34. Problema resolvido 30000 bolinhas.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Como foi resolvido, através de cálculos ou por introdução física das bolinhas no carro?
      Obrigado pelo retorno. Abraços.

      Excluir
  35. Willian Bruno21/01/2012 22:10:00

    Kleber, se nao for incomodá-lo, gostaria que me mandasse algum material de Probabilidade e Função - ficarei muito grato.
    wbscherner@hotmail.com
    Abraços

    ResponderExcluir
  36. Olá amigos.

    Fiz uma pesquisa sobre o Teorema de Arquimedes onde ele demonstra o volume e a área da Esfera, mas, Fiquei descontente com o comentário de Arquimedes;

    "Deste Teorema, segundo o qual o volume da Esfera é quatro vezes o do Cone tendo por base um círculo máximo e altura igual ao raio da Esfera, eu concebi a idéia de que a superfície da Esfera é quatro vezes a de um de seus círculos máximos; pois, a julgar pelo fato de que a área do círculo máximo da Esfera é igual a de um triângulo retângulo que tem por base a circunferência da Esfera e a altura igual ao raio da mesma, vejo que, do mesmo modo, o volume da Esfera é igual ao do Cone com base igual a área ou superfície da Esfera e altura igual ao raio".
    Estas afirmações acima citadas por Arquimedes não teriam valor algum se ele não tivesse como as comprovar, porém, Arquimedes não revelou as suas pesquisas.

    Como Arquimedes chegou a conclusão que a área da Esfera é quatro vezes a área de um de seus círculos máximos?

    Boa pergunta;

    A teoria de Aquimedes:
    ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

    A área lateral de um Cone com o diâmetro da sua base o dobro de sua altura multiplicada por um valor X é sempre a área de uma Esfera. Deixo esta tese para analizarmos e chegarmos à conclusão final ocultada por Arquimedes!

    Atenciosamente,

    Édison Martins da Silva.

    e-mail: edi.exemplo@hotmail.com

    Site: http://rendiexame1961.com.br/

    Compartilhando conhecimentos em Matemática
    ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

    08 / 09 / 2012.

    ResponderExcluir
  37. Olá Edison,

    Vou checar o que disse logo acima e chegando numa conclusão, posto aqui.

    Abraços!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, Professor Kleber Kilhian.

      Estamos divulgando uma das maiores descobertas da Matemática Avançada. O Método Geral da Radiciação é o método pelo qual encontramos a raiz "n" de qualquer número. Vejam alguns exemplos de raízes complexas que encontramos usando o MGR: a raiz 7ª de 0,2013 é = 0,79533319796... infinita. A raiz 7ª de 2,013 é = 1,105111895103... infinita. A raiz 5ª de 1,026 é = 1,00514674859... infinita. A raiz 5ª de 352 é = 3,2307885324...infinita. A raiz 7ª de 250 é = 2,20071021028... infinita. A raiz 17ª de 1,9968683524 é = 1,04151999946... infinita. A raiz 11ª de 2013 é = 1,9968683524... infinita. A raiz 7557733ª de 6859 é = 1,000001168779328351164... infinita. A raiz 7ª de 9973 é = 3,723154267655... infinita. A raiz 23ª de 7399 é = 1,473075187225... infinita. A raiz 47ª de 3979 é = 1,1928640079... infinita. Essas raízes complexas foram encontradas pelo Método Geral da Radiciação. Gostaria de enviar para o professor Kleber Kilhian o "ARQUIVO UNIVERSAL DAS RAÍZES "n" BRASILEIRO". Este arquivo foi criado para as pesquisas escolares e para ajudar aos alunos resolverem as questões que envolvem a matéria da Radiciação. Atenciosamente, edinho silva. Édison Martins da Silva. Compartilhando conhecimentos em Matemática Avançada. 25 / 12 / 2013.

      Excluir
    2. Olá Prof. Edison. Envie o arquivo para meu e-mail:

      kleberkilhian@gmail.com

      Obrigado e um abraço.

      Excluir
  38. Olá Edson,

    Cheguei ao valor de:
    $\displaystyle V= \sqrt{\frac{15625}{2\cdot \pi}}$
    $V \approx 49,87 cm^3$

    ResponderExcluir
  39. Olá Édison, veja este artigo sobre a área do pentágono:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/03/uma-demonstracao-para-area-do-pentagono.html

    ResponderExcluir
  40. Parabéns pelo seu blog, ele é ÓTIMO! :D

    Só fique com dúvida em como vc integrou o (r²-x²)??? Poderia me demonstrar este passo por favor? :D

    Grande Abraço!0////

    Este passo está em $\displaystyle \int_-r^r(r^2-x^2)dx$

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Corrigindo rsrs'

      $\displaystyle \int-r,r(r^2-x^2)dx$

      Excluir
    2. vixi, deixa quieto, acho que vc entendeu onde está rsrsrs'

      Excluir
  41. Olá, acho que é esta parte que quer saber:
    $\displaystyle V=\pi \int_{-r}^r(r^2-x^2)dx$
    Veja que estamos integrando em relação a $x$ e $r$ é uma constante. Assim, fazemos:
    $\displaystyle V=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-r}^r$
    Depois aplicamos os limites.
    Espero ter esclarecido esta dúvida.
    Abraços.

    ResponderExcluir
  42. Adorei,esse conteudo me ajudou muito.Muito bom mesmo!!!

    ResponderExcluir
  43. Kléber po que os meus comentários e dúvidas não aparecem aqui?

    Ou eu fui excluído de enviar comentários? Por favor me de uma resposta porque o sistema aí está fazendo alguns passarem pela peneira ( exclusão)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Hamilton. Eu publuco todos seus comentários. Não sei pq vc não os vê. inclusive o anterior a este contendo a mesma reclamação, que respondi.

      Abraços

      Excluir

Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui.

É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas alinhadas ao centro, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, \int_a^bf(x)dx entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$\displaystyle \int_a^bf(x)dx$$
Se desejarem visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seguem alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:

α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔ \
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥

Seu comentário é o meu Salário!