13 de jul de 2010

Regressão Polinomial

Para a regressão polinomial, podemos usar o mesmo princípio dos mínimos quadrados utilizados na Regressão Linear [Veja este estudo aqui], se admitirmos que a função de regressão é um polinômio de grau k > 1. Para isso, devemos estimar k + 1 coeficientes.

Tomando as derivadas parciais em relação às k + 1 estimativas, chegamos a um sistema linear de k + 1 equações com k + 1 incógnitas que, após resolvido, fornece a solução para o problema.

Uma dificuldade nesse tipo de problema é a solução do sistema quando o número k é relativamente grande. Com o uso de computadores, essa dificuldade praticamente inexiste.

Ajustamento Parabólico ou Parábola dos Mínimos Quadrados

Se admitirmos que a função de regressão é um polinômio de grau 2, teremos uma parábola na forma:

clip_image002

A parábola-estimativa que devemos obter é:

clip_image004

Devemos encontrar a curva que minimize:

clip_image006

onde di é a distância entre o ponto experimental e a curva de regressão na direção vertical.

Para a equação (1), devemos impor a condição:

clip_image008

Os valores dos coeficientes a, b e c que minimizam essa expressão serão aqueles que anulam as derivadas parciais dessa expressão:

clip_image010

Da última forma da equação (2), fazemos as derivadas parciais (3):

clip_image012


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Onde n é a quantidade de dados experimentais.


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clip_image040


As equações (4), (5) e (6) nos fornecem um sistema linear de três equações a três incógnitas:

clip_image042

Os pontos experimentais nos fornecem os elementos para a montagem deste sistema, cuja solução nos fornecerá os coeficientes a, b e c. Depois, basta aplicarmos na equação (1) para encontrarmos a equação de regressão.

Exemplo: Dado o número de pessoas geradoras de uma moléstia hereditária em função do número de indivíduos geradores desta moléstia, ajustar uma parábola de regressão e fazer uma estimativa para 6 e 7 geradores. Considere a tabela abaixo, onde x é o número de geradores e y é o número de indivíduos portadores por dezenas.

image [Tabela 1]

Temos os valores experimentais de x e y. Mas para o sistema linear dado em (7), devemos determinar outros valores, que são combinações de x e y:

image

[Tabela 2]

Substituindo os valores dos somatórios da tabela 2 no sistema linear (7), obtemos:

clip_image044

Escolha um método para resolução do sistema linear de sua preferência. Um método alternativo e muito eficaz é o Método de Castilho (Veja aqui).

Resolvendo o sistema linear, encontramos:

a = 1,5

b = – 1,5

c = 1

Substituímos estes valores na equação (1):

clip_image046

clip_image048

Que é a equação da parábola-estimativa.

Se quisermos uma estimativa para 6 e 7 geradores da moléstia, basta aplicarmos na equação (8):

Se tivermos 6 geradores:

clip_image050

clip_image052

clip_image054

Teremos 28 portadores da moléstia.

Se tivermos 7 geradores:

clip_image050[1]

clip_image056

clip_image058

Teremos 40 portadores da moléstia.


Veja mais:

Regressão Linear
Polinômio Interpolador de Lagrange

2 comentários:

  1. Gostaria de parabenizá-lo pelo coteúdo de seu blog, pois fiquei muito feliz de tê-lo encontrado em meio a tantos lixos por aí.

    Este artigo em especial está maravilhosamente bem apresentado. Gostei muito.

    Saudações!

    Ulrich Van Kroeguer

    ResponderExcluir
  2. Certa vez encontrei num livro de Excel um sistema de equações exatamente igual ao da figura 7 deste artigo.

    À partir desse sistema deduzi as fórmulas matriciais para determinação da regressão polinomial de qualquer grau e codifiquei isso no VBA do Excel.

    Hoje, passados muitos anos disso, procurei novamente esse sistema de equações e somente encontrei nesse artigo.

    ResponderExcluir

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