13 de jun de 2010

Utilizando Tábuas de Logaritmos para Encontrar Aproximações de Raízes

Vimos no post anterior uma breve introdução de como utilizar tábuas de logaritmos para calcular logaritmos de números inteiros e decimais. Vamos agora encontrar aproximações de raízes utilizando tábuas de logaritmos.

Seja a raiz quadrada de 2. Vamos encontrar a solução para:

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Podemos escrever:

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Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmos, fazemos:

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Agora, podemos consultar uma tábua de logaritmos e verificar a mantissa correspondente ao número N = 2, que é 30103. A característica de N = 2 é 0. Portanto, temos que:

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Substituímos o valor encontrado em (2) na equação (1):

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Aqui o problema é inverso: temos a mantissa igual a 150515 e queremos encontrar o número N. Se procurarmos na tábua de logaritmos pela mantissa 150515 não a encontraremos, mas sim valores aproximados. A mantissa 150515 está entre duas outras: 15045 e 15076, que correspondem respectivamente aos números 1414 e 1415. Isso nos mostrar que o número x que procuramos não é um número Natural. Vamos, então, encontrar a melhor aproximação possível para raiz de 2.

Temos que a característica de 0,150515 é 1, por ser um número decimal e ter apenas 1 zero antes do primeiro algarismo significativo. Se tomarmos a mantissa 1414 como base de cálculos, teremos que:

x = 1,414

que é aproximadamente a raiz quadrada de 2:

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Que é uma aproximação razoável para cálculos corriqueiros.

Vamos, agora, encontrar a raiz cúbica de 9261.

Temos que:

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Consultando uma tábua de logaritmos, verificamos que a mantissa correspondente ao número 9261 é 96666.

A característica do número 9261 é 3. Logo temos:

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Substituímos (4) em (3), obtemos:

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Temos novamente o problema inverso: temos a mantissa igual a 3222 e queremos encontrar o número N correspondente. Procurando na tábua de logaritmos pela mantissa 3222, encontramos o número N = 21, que é exatamente a raiz cúbica de 9261.

Vejam que o processo se torna mecânico após alguns exercícios e podemos expandir para equações mais complexas.


Veja mais:

Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos
Utilizando Tábuas de Logaritmos para Encontrar Aproximações de Expressões mais Complexas

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