14/03/2010

Uma Demonstração para a Área do Pentágono

A demonstração da área do pentágono regular será feita de duas formas: utilizando elementos de geometria e trigonometria e através do cálculo integral.

1) Primeiramente, vamos demonstrar utilizando elementos de geometria e trigonometria. Para isso, consideremos o pentágono regular abaixo:

Figura1b

[Figura 1]

O pentágono pode ser dividido em 5 triângulos isósceles. Então, se encontrarmos a área de um desses triângulos, multiplicamos por 5 e encontraremos a área total do pentágono.

O ângulo θ é dado por 360° dividido por 10, encontramos, então, θ = 36°.

Da figura 1, destacamos o triângulo abaixo:

image

[Figura 2]

A trigonometria nos garante que a tangente de um ângulo é o quociente da medida do cateto oposto pela medida do cateto adjacente a este ângulo. Representaremos por:

clip_image002

clip_image004[1]

Desta relação, temos:

clip_image002[4]

Como a área de um triângulo é dada pelo semiproduto da base pela altura, então:

clip_image002[6]

Aplicando no triângulo da figura 2 temos:

clip_image002[8]

Substituindo (2) em (3), obtemos:

clip_image002[10]

clip_image004[3]

Para a área do pentágono, basta multiplicarmos por 5:

clip_image002[12]

clip_image004[5]

Vejam que a fórmula encontrada em (4) é diferente das fórmulas encontradas na rede para o cálculo da área do pentágono. Mas faremos um exemplo numérico para avaliar sua eficácia: considere um pentágono regular de aresta lateral igual a 4. Calcule sua área.

Utilizando a fórmula dada em (4), temos:

clip_image002[14]

Algumas fórmulas prontas encontradas pela rede nos remete a:

clip_image002[16]

Vimos que os resultados obtidos são os mesmos.

2) Agora, vamos construir a fórmula para o cálculo da área de um pentágono regular dada em (4) utilizando o cálculo integral.

Vamos considerar um pentágono regular centrado na origem de um plano cartesiano OXY:

image

[Figura 3]

A reta f (x) passa pela origem e por um dos vértices do pentágono. A equação reduzida da reta é expressa por:

clip_image002[18]

onde m é o coeficiente angular da reta, dada por:

clip_image002[20]

e n o coeficiente linear, ponto por onde a reta corta o eixo dos y. Neste caso n = 0, pois a reta cruza o eixo dos y na origem, logo:

clip_image002[22]

Temos então, que a área do pentágono é 10 vezes a área do triângulo sombreado da figura 3. Este triângulo pode ser decomposto em infinitos retângulos de altura y e largura infinitesimais dx. Notem que a altura será variável para cada retângulo:

image

[Figura 4]

A área do retângulo é dada por:

clip_image002[24]

A área do triângulo é dada pela integral definida:

clip_image002[26]

Mas y é a função f (x) = mx dada pela (5) e m é o coeficiente angular dado por (6). A integração será feita de da origem até o ponto x = a, que é o apótema do pentágono, logo, a (6) fica:

clip_image002[28]

clip_image004[7]

Integrando em relação a x:

clip_image002[30]

clip_image004[9]

Agora, já temos uma fórmula para calcular a área do triângulo, mas vamos trabalhá-la melhor: substituímos o apótema a da equação (9) pela relação (2):

clip_image002[32]

clip_image004[11]

clip_image006

clip_image008

Encontramos em (10) a fórmula para determinar a área de um triângulo, mas o pentágono é composto por 10 deste triângulo, logo:

clip_image002[34]

clip_image004[13]

Vejam que a fórmula encontrada é a mesma encontrada em (4) fazendo uso da trigonometria.


Veja mais:

Demonstração da Área do Círculo
A Área da Coroa Circular (Annulus)
O Número Prateado e a Área do Octógono Regular

10 comentários:

  1. Excelente demonstração!!! =P

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  2. Obrigado pela visita e comentário. Volte sempre!
    Um abraço!

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  3. Ei eu nao conseguir achar em lugar nenhum
    as demonstraçoes de seno cosseno que satisfase-se
    essas equaçoes
    sen(180-"a")= sen"a"
    cos(180-"a")=-cos"a"
    tg(180-"a")=-tg"a"
    vc poderia mi ajudar?

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  4. Olá amigo, o que você procura na verdade é a redução ao primeiro quadrante. Suponha que a=30°, então sen(180-30)=150°. Se reduzirmos ao primeiro quadrante, encontraremos que o sen(150°)= sen(30°). Isso você encontra em qualquer livro do ensino médio.

    Obrigado e um abraço.

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  5. use a formula da soma para $sen(a+b)$ que você encontra $sen(180-a)$ ok?

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  6. Essa explicação sua foi muito boa mesmo!!!!

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  7. Obrigado Marco. Este é um exemplo de como podemos chegar a um mesmo resultado utilizando métodos diferentes.
    Abraços.

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  8. Parabéns professor Kleber pela difusão do amor à Matemática!

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    1. Eu que agradeço a gentileza de seu comentário. Votle sempre.

      Abraços.

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