28/03/2010

Regra dos Trapézios Repetida

Integração Numérica

Sabemos do Cálculo Integral que, se f (x) é uma função contínua num intervalo [a,b], então esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja, existe F (x) tal que:

clip_image002

Assim:

clip_image002[20]

No entanto, pode não ser tão fácil expressar esta função primitiva por meio de combinações finitas de funções elementares. Uma forma de se obter uma aproximação para a integral de f (x) num interval [a,b] é através de métodos numéricos.

A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que aproxime razoavelmente no intervalo [a,b].

Regra dos Trapézios

Já vimos que com o Polinômio de Lagrange podemos aproximar funções [Veja o post sobre o Polinômio Interpolador de Lagrange aqui]. Podemos a partir deste conceito, desenvolver um raciocínio para encontrarmos um polinômio tal que aproxime-se à integral de f (x).

Dado o gráfico:

image

 [Figura 1]

A área sombreada corresponde à integral definida:

clip_image002[22]image

[Figura 2]

O Polinômio de Lagrange que interpola (a, f (a)),(b, f (b)) é o de grau 1:

clip_image002[24]

Então, podemos dizer que:

clip_image002[26]

clip_image002[28]

clip_image002[30]

clip_image002[32]

clip_image002[34]

clip_image002[36]

clip_image004

clip_image006

A equação (1) equivale à fórmula da área do trapézio definida na figura 1. Então, podemos dizer que:

clip_image002[38]

clip_image004[4]

clip_image006[4]

Assim, podemos definir:

clip_image002[40]

Exemplo 1: Utilizando a regra dos trapézios obtenha um valor aproximado para a função:

clip_image002[42]

clip_image002[44]

clip_image004[6]

clip_image006[6]

clip_image008

Se calcularmos esta integral pelos métodos convencionais encontraremos:

clip_image002[46]

Que é o valor exato para a integral.

Vemos que houve uma diferença entre os valores encontrados. Esse erro pode ser facilmente observado graficamente:

image

[Figura 3]

Ao unirmos os pontos (a, f (a)), (b,f (b)) com uma reta, formamos uma trapézio. A área sombreada na figura foi calculada pelo método do trapézio, gerando um erro que não acontece quando a integral é calculada pelos métodos convencionais.

Para suprir esta necessidade de ter uma ótima aproximação, foi desenvolvida uma variação do método do trapézio, onde a altura do trapézio h (que é o intervalo de integração) é subdividida em partes menores.

 

Regra dos Trapézios Repetida

Como pudemos ver, tanto graficamente quanto pelo erro calculado, se o intervalo de integração é grande, o erro tende a aumentar e a fórmula dos trapézios nos fornece resultados imprecisos, com baixa aproximação. Se subdividirmos o intervalo de integração e aplicarmos a regra dos trapézios em cada subintervalo, conseguiremos uma aproximação melhor. E, quanto menor for este subintervalo, melhor será o resultado. Em contrapartida, quanto maior for a divisão do intervalo de integração, maior serão os cálculos envolvidos.

Temos:

clip_image002[68]

clip_image004[8]

clip_image002[50]

clip_image002[52]

clip_image004[10]

image Figura 4

Exemplo 2: Utilizando a regra dos Trapézios Repetida, vamos aproximar a função:

clip_image002[54]

Neste caso, o intervalo h é dado por 1 – 0 = 1

Vamos subdividi-lo em 6 partes:

clip_image002[56]

Então teremos:

clip_image002[58]

clip_image004[12]

clip_image006[10]

clip_image008[4]

clip_image010

clip_image012

clip_image014

Calculando a função nos pontos xi , obtemos:

clip_image002[60]

clip_image004[14]

clip_image006[12]

Logo:

clip_image002[64]

clip_image002[66]

Podemos notar que o valor encontrado pela regra dos trapézios repetida é bem mais próximo do real.

Referências:

[1] Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais - Márcia Ruggiero
[2] Notas de Aula


Veja mais:

O Cálculo Integral
Regra de 1/3 de Simpson Repetida
Zeros Reais de Funções Reais – O Método de Newton-Raphson Resolvido no Excel

10 comentários:

  1. Obrigado Kleber,facil de entender.
    abraço p vc

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  2. Acho calculo numerico um saco! hehe, mas to aqui estudando pelo livro calculo numerico da Marcia Gomes Ruggiero, esse mesmo exemplo, mas a sua explicaçao faz toda a diferença... Ah, parabens pelo site.

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  3. Agradeço a vocês pela visita, elogios e confiança no meu trabalho.

    Eu tenho este livro da Márcia também. É verdade que ele é bem técnico e exige um estudo paciente.

    Abraços!

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  4. ADOREI!!! valeu kleber, consegui compreender e entender com clareza, tenho um seminário para apresentar sobre 'regra do trapézio' e confesso que pouco estava podendo assimilar, agora clareou e muiitto, brigadão!

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  5. Olá Amigo,
    Fico feliz em saber que pude te ajudar. Um abraço e volte sempre.

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  6. Olá Kleber,

    Obrigado por este artigo de tão simples entendimento!

    Saudações!

    Prof. Erasmo

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  7. Olá kleber,
    Seu artigo é muito bom, de fácil entendimento.
    Muuuuiiiitoooo obrigadaaaa, por tê-lo escrito.
    valeu abraço...

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  8. Olá,
    Agradeço seu comentário. Procuro ser sempre o mais claro possível, pois durante minha graduação, encontrava muitos textos mau escritos que pouco ajudavam.Se a forma que escrevo está de fácil entendimento, então creio que alcancei meu objetivo neste artigo.
    Um abraço.

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  9. faço eng civil e me ajudou muito, vlw!!!

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  10. vlw cara. explicação ótima. me ajudou bastante. :D

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