28 de jun de 2009

Demonstração da Fórmula do Volume de Tronco de Pirâmide

Analisando a pirâmide abaixo, podemos relacionar algumas semelhanças:

clip_image001

Analisamos separadamente o triângulo retângulo:clip_image002

Por semelhança de triângulos, temos:

clip_image003

clip_image004

clip_image005

Se elevarmos ao quadrado, termos:

clip_image006

Como L2 e l2 são as áreas das bases das pirâmides maior e menor, respectivamente, reescrevemos como:

clip_image007

Denomina-se tronco de pirâmide de bases paralelas a parte da pirâmide limitada por sua base e por uma secção transversal qualquer desta pirâmide.

O volume V do tronco de pirâmide é obtido pela diferença dos volumes das pirâmides:

clip_image008

Já foi demonstrado como obter o Volume V de uma pirâmide, então temos que:

clip_image009

clip_image002

clip_image011

clip_image012

Utilizando da propriedade da secção transversal, podemos determinar o valor da altura H em função de AB, Ab e h :

clip_image007[1]

clip_image013

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Substituindo ( II ) em ( I ), temos:

clip_image019

clip_image020

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clip_image025

clip_image026

Que é a fórmula para o cálculo do volume de tronco de pirâmide.


Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume de Tronco de Cone por Semelhança de Triângulo
Demonstração da Fórmula do Volume de Troca de Cone
Demonstração da Fórmula do Volume de Pirâmide

26 comentários:

  1. BLZA!!!

    Supriu minhas necessidades

    VALEU!!

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  2. Muito obrigado, amigo, era EXATAMENTE o que eu estava precisando.

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  3. Eu que agradeço sua pesquisa e seu comentário!

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  4. Muito obrigada!

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  5. parabens, perfeito !

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  6. Paulo Eduardo04/06/2011 11:43

    Bom dia!

    Estudei a demonstração do tronco da pirâmide no 2º semestre.

    E foi muito bom rever de uma forma tão esclarecida.

    Parabéns pelo blog.

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  7. Olá Paulo Eduardo,

    Obrigado pelo comentário.

    Um abraço!

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  8. Cara..... sou só um técnico com muito serviço e pouco tempo....
    Sua página me ajudou pra caramba.já está registrada como uma das minhas favoritas.

    sobre seu comentário acima eu reafirmo. Sim seu bem maior é sua família. com certeza.

    Abraço cara. Sucesso!


    Maurílio A Carmo. -Ouro Preto MG

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  9. Olá Maurílio,
    Coincidência ou não, também sou técnico (em eletrônica) e licenciado em matemática.

    Muito dos posts deste blog, principalmente os primeiros, foram desenvolvidos para subri necessidades que tive durante a minha graduação. Pois algumas coisas eram passadas para nós, mas não tinham demonstrações. Vejo hoje que as minhas dúvidas são as de muitos.

    Fico feliz por ter lhe ajudado.

    Um forte abraço!

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  10. sou aluno do 3 ano do E.M , estudando para o enem HEHE, muito bom o blog , supriu todas minhas necessidades muito bem organizado e com conteúdo de ótima escolha , obrigado mesmo :)

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  11. Parabéns pelo site, amigos!
    Só um detalhe, faltou colocar o "H" na 2ª linha da parte onde você achou a eq. (I).
    Abraços!

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  12. Olá Demettrius,

    Obrigado pelos elogios e pelo aviso. Equação corrigida.

    Um abraço!.

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  13. Que bom conhecer blogs com tanta expressão, serviços e qualidade. Seriedade necessária não só ao ensino mas a todos os níveis da nossa querida sociedade brasileira. Muito obrigado pelo auxílio na demonstração do Volume do Tronco de pirâmide.

    Keep it Up!!

    Helom Bento

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  14. Excelente! A muito estava procurando esta demonstração. Parabéns por este ótimo blog!

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  15. muito bom. tenho aprendido muito aqui. ja faz um tempo, mas é a primeira vez que comento. gosto daqui pq nao dá formulas prontas, mas sim pq podemos acompanhar a dedução e é de facil compreesão. muto obrigado mesmo. que o SENHOR DEUS continue te abençoando grandemente.

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  16. Obrigado José Carlos pelo comentário. Volte sempre e um grande abraço!

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  17. Vlw cara! Vc me ajudou muito! Eternamente grato aq xD

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  18. Acabei de colar a ideia da propriedade da secção transversal... Não estava encontrando uma relação para substituir H.

    Rá...

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  19. Eu nunca costumo só decorar uma fórmula sem saber como chegar nela caso eu esqueça mas nesse caso específico é melhor decorar e pronto porque o desenvolvimento é deveras longo e cheio de operações básicas no meio, mas entendi bem seu desenrolar.

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$$a^2+b^2=c^2$$
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