29 de nov de 2008

Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Introdução

Os Babilônios deram algumas aproximações interessantes de raízes quadradas de números não-quadrados perfeitos, tais como 17/12 para aproximar clip_image002, 17/24 para clip_image004 . Talvez eles usassem a fórmula de aproximação:

clip_image006

Uma aproximação notável de clip_image002é:


clip_image008

Valor encontrado na tábua 7289 de Yale, datada de 1600 a.C.

Os Babilônios eram infatigáveis construtores de tábuas, calculistas extremamente hábeis e certamente mais fortes em Álgebra do que em Geometria.

Aproximação da Raiz Quadrada

Através da fórmula de aproximação:

clip_image006[1]

podemos obter a aproximação racional babilônica de clip_image002: Tomando a = 4/3 e b = 2/9, fazemos:

clip_image010

clip_image012

clip_image014

clip_image016

clip_image018

Partindo desse conceito, podemos, agora, fazer uma aproximação de uma √n . Por exemplo, fazendo n = 3, devemos primeiramente decompor 3 em uma soma de frações conveniente:

clip_image020

Considerando a fórmula de aproximação:

clip_image006[2]

Temos que:

clip_image022

clip_image024

Fazemos:

clip_image026

clip_image028

clip_image030

clip_image032

clip_image034

Vemos que o erro E é dado por:

clip_image036

e é de aproximadamente 0,0179. Para cálculos corriqueiros a aproximação é ótima!


Veja mais:

Método Babilônico para Aproximação da Raiz Quadrada
Método de Herão para Aproximação da Raiz Quadrada
Método de Newton para Aproximação da Raiz Quadrada
Mais um Método para Aproximação da Raiz Quadrada

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$$a^2+b^2=c^2$$
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