Demonstração da Derivada da Função Logarítmica

Neste artigo, veremos uma demonstração de como encontrar a derivada da função logarítmica usando o conceito de derivada e limites.

Iremos provar que, se $f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$.

Demonstração:

Seja a função logarítmica do logaritmo natural:
$$\begin{equation} f(x)=\ln(x) \end{equation}$$
Utilizando o conceito de derivada, temos que:
$$\begin{equation} f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x} \end{equation}$$
Uma das propriedades dos logaritmos transforma uma diferença de logaritmos em quociente, assim:
$$\begin{equation} f ' (x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \ln\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right) \end{equation}$$
Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmos,fazemos:
$$\begin{equation} f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)^{1/\Delta x} \end{equation}$$
Aplicando uma mudança de variável:
$$\begin{equation} \frac{\Delta x}{x} = t \Longrightarrow \Delta x = xt \end{equation}$$
Observamos que, quando $\Delta x \rightarrow 0$, então $t \rightarrow 0$. Essa troca é equivalente e não altera o limite. Desta forma:
$$\begin{equation} f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left(1+\frac{\Delta x}{x} \right)^{1/\Delta x}\\ f '(x) = \lim_{t \rightarrow 0} \ln(1+t)^{1/xt} = \lim_{t \rightarrow 0} \left[(1+t)^{1/t}\right]^{1/x} \end{equation}$$
No entanto, do limite fundamental exponencial, sabemos que:
$$\begin{equation} \lim_{t \rightarrow 0} (1+t)^{1/t} = e \end{equation}$$
Logo:
$$\begin{equation} f '(x) = \ln \left(e^{1/x}\right) = \frac{1}{x} \ln (e) \end{equation}$$
Mas, $\ln (e) = 1$, portanto:
$$\begin{equation} f '(x) = \frac{1}{x} \end{equation}$$
Que é a derivada da função logarítmica.

Se tivermos:
$$\begin{equation} f(x) = \log_a (x) \end{equation}$$
Podemos fazer uma mudança de base:
$$\begin{equation} f(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} \end{equation}$$
E a derivada será:
$$\begin{equation} f '(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln(a)} = \frac{1}{x \ln (a)} \end{equation}$$

Veja mais:

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