Demonstração da derivada da função produto

A derivada de uma função pode ser representada geometricamente da seguinte maneira:

Se $\Delta x$ for tão pequeno quanto quisermos, a reta que passa pelos pontos $[(x,f(x)),(x+\Delta x, f(x+\Delta x))]$, se confunde com a reta tangente no ponto $x$ Quando isso acontece, dizemos que é a derivada da função no ponto $x$. Então:
$$\begin{equation} f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}~\frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{equation}$$
Se uma função produto é do tipo:
$$\begin{equation*} f(x)=u(x)\cdot v(x) \end{equation*}$$
podemos reescrevê-la utilizando o conceito de derivada, como:
$$\begin{equation} f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}~~\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{\Delta x} \end{equation}$$
Numa expressão algébrica, se somarmos e subtrairmos uma mesma quantidade arbitrária, a mesma não sofrerá alteração no seu valor final.

Utilizando-se deste artifício, podemos somar e subtrair uma quantidade conveniente em $(2)$, que será:
$$\begin{equation*} u(x+\Delta x) \cdot v(x) \end{equation*}$$
Temos então que:
$$f^{\prime}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x)v(x)-u(x+\Delta x)v(x)+u(x+\Delta x)v(x)}{\Delta x}$$
Agrupando os termos semelhantes, fica:
$$\begin{equation*} f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)[v(x+\Delta x)-v(x)]+v(x)[u(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x} \end{equation*}$$
Como o limite da soma é igual à soma dos limites, fazemos:
$$\begin{equation} f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}\cdot u(x+\Delta x)+ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]}{\Delta x}\cdot v(x) \end{equation}$$
Se compararmos $(3)$ com $(1)$, vemos algumas semelhanças. Podemos destacar duas delas:
$$\begin{equation*} v^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x} \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} u^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \end{equation*}$$
Então, reescrevemos $(3)$, aplicando o limite em que $\Delta x \rightarrow 0$, como:

$$\boxed{f^{\prime}(x)=v^{\prime}(x)\cdot u(x)+u^{\prime}(x)\cdot v(x)\\ \ \\ f^{\prime}(x)=v^{\prime}u+u^{\prime}v}$$
Que é a derivada da função produto.

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