18 de jul de 2009

Demonstração da Derivada da Função Produto

A derivada de uma função pode ser representada geometricamente da seguinte maneira:
Derivada1

Se $\Delta x$ for tão pequeno quanto quisermos, a reta que passa pelos pontos $[(x,f(x)),(x+\Delta x, f(x+\Delta x))]$, se confunde com a reta tangente no ponto $x$ Quando isso acontece, dizemos que é a derivada da função no ponto $x$. Então:
\begin{equation}
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}~\frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Se uma função produto é do tipo:
\begin{equation*}
f(x)=u(x)\cdot v(x)
\end{equation*}
podemos reescrevê-la utilizando o conceito de derivada, como:
\begin{equation}
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}~~\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Numa expressão algébrica, se somarmos e subtrairmos uma mesma quantidade arbitrária, a mesma não sofrerá alteração no seu valor final.

Utilizando-se deste artifício, podemos somar e subtrair uma quantidade conveniente em $(2)$, que será:
\begin{equation*}
u(x+\Delta x) \cdot v(x)
\end{equation*}
Temos então que:
$
f^{\prime}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x)v(x)-u(x+\Delta x)v(x)+u(x+\Delta x)v(x)}{\Delta x}
$
Agrupando os termos semelhantes, fica:
\begin{equation*}
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)[v(x+\Delta x)-v(x)]+v(x)[u(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}
\end{equation*}
Como o limite da soma é igual à soma dos limites, fazemos:
\begin{equation}
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}\cdot u(x+\Delta x)+
\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]}{\Delta x}\cdot v(x)
\end{equation}
Se compararmos $(3)$ com $(1)$, vemos algumas semelhanças. Podemos destacar duas delas:
\begin{equation*}
v^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}
\end{equation*}
\begin{equation*}
u^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}
\end{equation*}
Então, reescrevemos $(3)$, aplicando o limite em que $\Delta x \rightarrow 0$, como:
\begin{equation*}
f^{\prime}(x)=v^{\prime}(x)\cdot u(x)+u^{\prime}(x)\cdot v(x)\\
f^{\prime}(x)=v^{\prime}u+u^{\prime}v
\end{equation*}
Que é a derivada da função produto.

Veja mais:


Demonstração da Derivada da Função Cosseno
Demonstração da Derivada da Função Seno
Demonstração da Derivada da Função Exponencial
Demonstração da Derivada da Função Logarítmica
Demonstração da Derivada da Função Quociente

11 comentários:

  1. Kleber, gostaria de saber como que eu poderia lidar com uma demonstração dessa fórmula do produto para 3 funções?

    (fgh)´ = f´gh + fg´h + fgh´

    obrigado!

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  2. Olá amigo, para esta demonstração, vamos utilizar o conceito da derivada do produto:
    (fg)' = f ' g + f g'

    Se queremos a derivada de(fgh), podemos aplicar a regra do produto repetidamente para o produto de 3 ou mais funções deriváveis:

    Se:

    (fgh)' = [(fg)'h] + (fg)h'
    (fgh)' = [(f 'g + fg')h] + fgh'
    (fgh)' = f 'gh + fg'h + fgh'

    Como queríamos provar.

    Espero ter ajudado.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  3. Kleber,
    me ajuda...



    nao entendi nada.

    ResponderExcluir
  4. Olá Melim,

    Bem, exatamente o que você não entendeu e o que exatamente você está procurando?

    Se quiser me envie um e-mail:
    kleber_kilhian@terra.com.br

    Assim fica mais fácil para conversarmos.

    ATé +

    ResponderExcluir
  5. Se quiser comentar alguma coisa construtiva, fique a vontade. Comentários nocivos serão deletados. Obrigado

    ResponderExcluir
  6. Encontrei esse blog enquanto estava procurando uma demonstração da derivada da função produto e achei bem interessante. Foi uma alternativa já que o meu livro de matemática simplismente "jogou' a fórmula para mim. Depois de entender a demonstração, eu fiquei passeando pelo blog, vi outras demonstrações e percebi que tem muita coisa legal por aqui. Pra quem gosta de matemática é um prato cheio. É cheio de informação.

    Parabéns... e Obrigado.

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  7. Olá amigo,
    Obrigado pelos elogios. Fico feliz em saber que te ajudei de alguma forma.

    Um abraço e volte outras vezes.

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  8. Gostei. Eu estavam procurando algo que podesse ajudar me. Pois estou me preparando pra exames extraordinários. Parabéns

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  9. Olá Flávio. Que bom que lhe foi útil este artigo. Para a grande maioria das aplicações, basta saber a regra para a derivada da função produto e resolver a questão. Mas é sempre bom saber como chegar até a fórmula.

    Um abraço e bons estudos.

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  10. Amei, realmente muito inteligente a demonstração, sem sombra de duvida, obrigado pelo post!

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  11. Cara, existe alguma demonstração que não use uma manipulação tão conveniente? Sei lá, nunca entendo, parece que sai do nada...

    ResponderExcluir

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