Determinando a Massa do Sol

A força centrípeta é a força resultante que atrai o corpo para o centro da trajetória em um movimento curvilíneo ou circular. Corpos que se deslocam em movimento retilíneo uniforme possuem velocidade modular constante.

Entretanto, um corpo que se desloca em arco e com velocidade constante, possui uma variação na direção do movimento. Como a velocidade é um vetor de módulo, direção e sentido, uma alteração na direção implica uma mudança no vetor velocidade. A razão dessa mudança na velocidade se dá pela aceleração centrípeta.

A força centrípeta exercida pelo Sol, mantendo a Terra em sua órbita quase circular, é igual e oposta à força centrífuga da Terra. Sendo assim, temos que:

$$F = M_T \cdot \frac{v^2}{r} \tag{1}$$

Onde $M_T$ é a massa da Terra, $v$ é a velocidade linear e $r$ é o raio da trajetória descrita pelo planeta.

Pela Lei da Gravitação de Newton, temos que:

$$F = G \cdot \frac{M_1 \cdot M_2}{d^2} \tag{2}$$

Fazendo $M_1 = M_T$ e $M_2 = M_S$, onde $M_T$ é a massa da Terra, $M_S$ é a massa do Sol e sendo d o raio da trajetória, comparamos as equações $(1)$ e $(2)$, obtendo:

$$M_T \cdot \frac{v_T^2}{r} = G \cdot \frac{M_1 \cdot M_S}{r^2}$$

Isolando a a massa do Sol:

$$M_S = \frac{v_T^2 \cdot r}{G} \tag{3}$$

Já calculamos em outro artigo As Velocidades da Terra encontrando o valor para a velocidade de translação da Terra igual a:

$$v_T = 29.885,775\ m/s \tag{4}$$

O raio médio orbital da Terra atualmente é:

$$r = 1,496 \times 10^{11}\ m \tag{5}$$

Que equivale a uma unidade astronômica (U.A.).

A constante $G$ tem um valor muito pequeno e não foi descoberto seu valor por Newton, somente algum tempo depois Henry Cavendish, em 1797, através de um experimento em laboratório, encontrou numericamente seu valor com uma precisão de 1%:

$$G = 6,67428 \times 10^{-11}\ \frac{Mn^2}{kg^2} \tag{6}$$

Aplicando os valores de $(4)$, $(5)$ e $(6)$ na fórmula $(3)$, podemos estima a massa do Sol:

$$M_S = \frac{v_T^2 \cdot r}{G}\\ \ \\ M_S = \frac{29.885,775\ m/s)^2 \cdot 1,496 \times 10^{11}\ m}{6,67428 \times 10^{-11}\ Nm^2/kg^2}\\ \ \\ M_S = \frac{8,931595474 \times 10^8\ m^2/s^2 \cdot 1,496 \times 10^{11}\ m}{6,67428 \times 10^{-11}\ Nm^2/kg^2}\\ \ \\ M_S \approx 2,001963782 \times 10^{30}\ kg$$

Que é um valor muito próximo do atualmente aceito.

Se compararmos as massas da Terra e do Sol:

$$\frac{M_S}{M_T} = \frac{2,001963782 \times 10^{30}\ kg}{5,977327787 \times 10^{24}\ kg}\\ \ \\ \frac{M_S}{M_T} = 334.926,217$$

Encontraremos que a massa do Sol é cerca de 335 mil vezes a massa da Terra.

O Sol é a estrela responsável por permitir a vida na Terra e é considerado uma estrela de grandeza média; por outro lado, pela sequencia principal do diagrama de Hertzsprung-Russell, pode ser considerado uma estrela anã. Em torno dele gravitam 8 planetas, 3 planetas anões, 169 satélites e um grande número de cometas. Em outubro de 2018, o sistema LINEAR sozinho descobriu 147.132 asteroides. Entre todas as pesquisas, 19.266 asteroides próximos à Terra foram descobertos, incluindo quase 900 com mais de 1 km de diâmetro.

O Sol perde a cada dia, cerca de 360 milhões de toneladas transformadas em energia. A sua atração vai diminuindo e então a Terra vai se afastando do Sol cerca de 1 metro por ano.

Acredita-se que a energia solar tem sua origem em reações nucleares, nas quais 4 átomos de hidrogênio se unem para formar um átomo de hélio, reações estas que são acompanhadas de uma grande emissão de energia. Uma reação como esta, em que núcleos leves se unem originando um núcleo mais pesado, é denominada fusão nuclear.

A massa do hélio é de $6,646 \times 10^{27}\ kg$ e é inferior à soma das massas dos 4 núcleos de hidrogênio: $6,694 \times 10^{27}\ kg$. Há, portanto, nesta fusão, uma redução de massa:

$$\Delta m = (6,694 - 6,646)\times 10^{-27}\ kg \\ \ \\ \Delta m = 4,8 \times 10^{-29}\ kg$$

A energia $E$ irradiada nesta reação é equivalente à redução observada na massa e pode ser calculada da seguinte maneira:

$$E = \Delta m \cdot c^2\\ \ \\ E = \left(4,8 \times 10^{-29}\right) \cdot \left( 3,0 \times 10^{8}\right)^2\\ \ \\ E = 4,3 \times 10^{-12}\ J$$

Esta é a quantidade de energia liberada por apenas uma reação de fusão. Avalia-se que o no Sol ocorrem cerca de $10^{38}$ reações desse tipo por segundo. Assim, a quantidade total da energia irradiada pelo Sol a cada 1 segundo, pode ser calculada como:

$$E_T = \left( 4,3 \times 10^{-12}\right) \times 10^{38} \\ \ \\ E_T = 4,3 \times 10^{26}\ J/s$$

A potência irradiada pelo Sol é cerca de $4,3 \times 10^{26}\ W$. Apesar desta fantástica potência e da enorme quantidade de átomos de hidrogênio que são transformadas em hélio por segundo, os cientistas calculam que, como a maior parte da massa do Sol é constituída de átomos de hidrogênio, o nosso astro central poderá manter esta emissão de energia por milhões de anos.

Um site muito interessante é o helioviewer.org que mostra imagens do Sol, onde são gerados vídeos periodicamente mostrando suas atividades.

Links para este artigo:

• https://bit.ly/massa-sol
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2012/12/determinando-massa-do-sol.html

Veja mais:

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• As velocidades da Terra