7 de jun de 2011

Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso

Considere em um plano uma reta $d$ e um ponto $F$ não pertencente à $d$. A parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão equidistantes a $d$ e a $F$.
image
Temos que:

$\bullet$ O ponto $F$ é o foco da parábola;

$\bullet$ A reta $d$ é a diretriz;

$\bullet$ O eixo é a reta que passa por $F$ e é perpendicular à diretriz;

$\bullet$ O vértice é a intersecção da parábola com seu eixo e é denominada por $V$.

Vejam que para uma curva ser uma parábola, a distância $PF$ deve ser igual à distância $PP^\prime$:
\begin{equation}
d(PF)=d(PP^\prime)
\end{equation}
Ou também:
\begin{equation}
\mid \overrightarrow{PF} \mid = \mid \overrightarrow{PP^\prime} \mid
\end{equation}
Observem que se a distância $AF$ vai diminuindo, a curva tende a uma reta. Desta forma, se $F = A$, a curva se degenera numa reta.

Seguindo a definição, podemos construir uma parábola utilizando apenas régua e compasso. Vamos iniciar com a reta diretriz d e um foco $F$ qualquer. O vértice é o ponto médio do segmento $\overline{FA}$, satisfazendo a definição de parábola:
image
Vamos agora traçar uma reta $r_1$ paralela a $d$ a uma distância $h_1$:
image Em seguida, trace quantas retas desejar: $r_2$, $r_3$, $\cdots$, $r_n$ paralelas a $d$ cujas distâncias são respectivamente iguais a $h_2$, $h_3$, $\cdots$, $h_n$:
image Com a ponta seca do compasso em $F$ e raio igual a $h_1$, descreva um arco interceptando $r_1$ nos pontos $P_1$ e $P_1^\prime$. Em seguida, com raio igual a $h_2$, descreva outro arco interceptando $r_2$ em $P_2$ e $P_2^\prime$, e assim sucessivamente, encontrando os pontos $P_n$ e $P_n^\prime$:
image A parábola é a curva que passa pelos ponto $V$, $P_n$ e $P_n^\prime$:
image Desta forma, fica fácil observar que o eixo da parábola divide-a em duas partes simétricas:
image

Referências:

$[1]$ Geometria Analítica – Steinbruch e Winterle
$[2]$ Matemática Ensino Médio V1 – Stocco Smole e Diniz


Veja mais:


Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso
Construções Geométricas de PHI em Circunferências
Construção Geométrica de Tangentes com Régua e Compasso

9 comentários:

  1. Fiquei pensando. Da óptica sabemos que qualquer raio incidente paralelo ao eixo, tocando a superfície de um espelho parabólico, ou antena parabólica, reflete passando pelo foco. Lendo este post, imagino que este fato pode ser demonstrado matematicamente. Só não sei se seria muito simples.
    É interessante notar como muitos Físicos, como Kepler e Newton eram, acima de tudo, brilhantes matemáticos. Estava assistindo a um documentário da BBC, sobre Kepler. Depois que ele herdou todas as minuciosas e precisas anotações das posições do planeta Marte, feitas por Tycho Brahe, o que mais o teria levado a deduzir sobre órbitas elípticas, mesmo contrariando a ideia fixa da maioria dos astrônomos da época sobre as órbitas circulares, senão o profundo conhecimento que ele possuía sobre geometria e matemática?
    Tivemos cientistas que descobriam coisas através de práticas e intensas observações, mesmo sem ter um grande conhecimento da matemática, mas com certeza não podemos citar a dupla acima como exemplo deste tipo.

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  2. Olá Jairo,
    Agradeço seu comentário. Realmente é possível provar que os raios passam pelo foco. Eu já havio visto isso, mas não me recordo onde. Procurei nos sites favoritos, mas não encontrei. Mas no blog Fatos Matemáticos tem uma demosntração da propriedade refletora da parábola:

    http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/01/propriedade-refletora-da-parabola.html

    Sendo um raio luminoso incidindo num ponto P da parábola, é provado que o ângulo formado entre o raio luminoso e a reta tangente ao ponto P é igual ao ângulo formado entre a reta tangente e a reta que liga o ponto P ao foco.

    Desta forma, é provado que para qualquer ponto P onde o raio luminoso é incidido, sempre passará pelo foco.

    Realemnte Kepler foi excepcional em seus estudos. Gosto muito de sua história, por tudo que sofreu e o quanto conseguiu nos deixar. Seu conhecimento matemático era muito grande, com o qual foi possível desenvolver suas leis. Assim como Newton, que, apesar de ser conhecido como o pai da física moderna, deixou sua marca em diversos ramos da ciência de forma soberba.

    Temos outros exemplos, como Arquimedes, Euler, Gauss.

    Um forte abraço, Jairo.

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  3. Obrigado pelo link da demonstração. Fui dar uma olhada e achei interessante a opção que ele adotou. Notei que talvez para facilitar, ele escolheu a equação de uma parábola determinada, particularizando o problema, já que desta forma o ponto correspondente ao foco, fica com ordenada nula, e abscissa p. Daí a simplificação. Eu estava pensando em outra alternativa, que seria mais ou menos o inverso da demonstração dele. Eu partiria do fato de que o ângulo formado entre o raio incidente e a tangente ao ponto de incidência, é igual ao ângulo formado entre o raio refletido e a mesma tangente. Daí talvez seja possível obter a equação da reta correspondente ao raio refletido, e provar que o foco pertence a ela. Acho que se for feita a demonstração usando-se uma equação genérica de uma parábola, iria ficar bem mais complicado de entender. Estou pensando em me debruçar sobre este desafio.
    Saudades da geometria analítica... O gostoso da matemática é quando a gente chega a uma solução deste tipo, depois de tanto queimar a pestana.

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  4. Para comprovação pratica.... o som age da mesma forma que a luz... montando um aparato com um microfone de eletreto, um preamplificador e um VU (medidor de intensidade), veremos que a melhor captação do som se dá no foco da parábola...

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  5. Olá Isaac, como vai? É verdade, para o som também funciona. Na Estação Ciência mantido pela USP tem um experimento interessante: logo na entrada, tem duas parabólicas grandes apontados uma para outra a uma grande distância. Se uma pessoa ficar na frente de cada uma, podemos conversar num tom baixo de voz que o outro é capaz de ouvir com muita clareza. Realmente é um experimento incrível e mostra as propriedades das parábolas. Serve para aqueles que perguntam aonde vão usar isso...

    Obrigado pelo comentário de um abraço!

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  6. Keeber por favor!! Se puderes me explique a definição de (Fractais) e com elaborar um deles: analiticamente por função e geométricamente.
    Desde ja agradeço um abraço!!!

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  7. Olá, Kleber. Muito boa a sua explicação, porém tem ali uma coisinha que está errado. Creio que foi só mesmo uma distração, mas no segundo passo a recta r1 é paralela a d, e não perpendicular. Fora isso, ótima explicação!

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    1. Olá Jessy, deve ter sido um cochilo mesmo. Obrigado por avisar-me do erro. Um abraço!

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  8. Era tudo que eu precisava!
    Estava interessado justamente em uma aplicação como microfone de longo alcance mas queria eu mesmo construir o refletor parabólico!

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