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27/05/2011

A Equação da Hipérbole

Definição: A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valores absolutos, a dois pontos fixos desse plano é constante.

Sejam dois pontos distintos F1 e F2 de um plano π, cuja distância d(F1 , F2) = 2c. Seja um número real a tal que 0 < 2a < 2c.

Hipérbole é o conjunto de todos os pontos P do plano, tais que:

clip_image002

ou

clip_image004

image

[Figura 1: Hipérbole]

Como podemos ver, a hipérbole é uma curva com dois ramos. Analisando a equação (2), podemos ver que um ponto P está na hipérbole se, e somente se:

clip_image008

Quando P está no ramo da direita, a diferença é igual a +2a:

clip_image010

e quando P estiver no ramo da esquerda, a diferença será – 2a:

clip_image012

Considerando a reta que passa por F1 e F2, as intersecções com a hipérbole serão os pontos A1 e A2. Traçamos uma perpendicular a esta reta, passando pelo centro C do segmento F1 e F2.

image [Figura 2: Eixos de Simetria da Hipérbole]

A hipérbole é uma curva simétrica em relação às estas duas retas, como também ao ponto C. Se P1 é um ponto da hipérbole, existem outros pontos P2, P3 e P4 tais que: P2 é o simétrico de P1 em relação à reta horizontal; P3 é o simétrico de P1 em relação à reta vertical; P4 é o simétrico a P1 em relação ao ponto C. Pela simetria, concluímos que:

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Elementos da Hipérbole

Os principais elementos de uma hipérbole estão relacionados abaixo, considerando a figura 3:

image [Figura 3: Elementos da Hipérbole]

Focos: F1 e F2

Distância focal: é a distância 2c entre os focos, onde c = CF1=CF2

Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2

Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2, de comprimento 2a, onde a = CA1 = CA2

Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2, de comprimento 2b. O valor de b é definido pela relação pitagórica:

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onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo retângulo CA2M.

Assíntotas: são as retas r e s das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. Esta aproximação é contínua e lenta de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito.

Considerando uma circunferência de raio CF1 ou CF2, cujo centro C é o mesmo centro da hipérbole, traçamos pelos vértices A1 e A2 cordas perpendiculares ao segmento F1F2 e marcamos as intersecções com a circunferência. Esses pontos são os vértices do retângulo MNPQ inscrito à circunferência. Esse retângulo tem dimensões 2a e 2b.

As retas r e s que contém as diagonais desse retângulo são as assíntotas da hipérbole.

Abertura: o ângulo θ é chamado de abertura da hipérbole

Excentricidade: a excentricidade e da hipérbole é o número dado pela relação:

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A excentricidade da hipérbole está intimamente relacionada com sua abertura. Se mantivermos o segmento c fixo e variarmos apenas o comprimento do segmento a, teremos uma abertura maior quando a é menor e vice-versa. Então, se diminuirmos o valor de a teremos uma excentricidade maior e = c / a. Assim os ramos da hipérbole estarão mais abertos.

Quando a = b o retângulo MNPQ se transforma num quadrado, torando as assíntotas perpendiculares e a abertura da hipérbole será igual a θ = 45°. Para este caso específico a hipérbole recebe o nome de Hipérbole Equilátera.

 

Equação Reduzida da Hipérbole

1º Caso: O Eixo Real está sobre o Eixo dos x:

Tomando um sistema ortogonal, com o centro C da hipérbole na origem do sistema, temos que:

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image [Figura 4: Eixo rel sobre eixo dos x]

Seja um ponto P(x, y) da hipérbole, cujos focos são os pontos F1(– c,0) e F2( c,0). Por definição temos que:

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Em coordenadas:

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Quadramos ambos os lados:

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Quadramos novamente ambos os lados:

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Substituímos a relação (4) na (5), obtendo:

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Dividindo ambos os lados por a2b2, resulta em:

clip_image048

Que é a equação da hipérbole.

 

2º Caso: O Eixo Real está sobre o Eixo dos y:

Tomando um sistema ortogonal, com o centro C da hipérbole na origem do sistema, temos que:

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image [Figura 5: Eixo real sobre o eixo dos y]

Analogamente ao primeiro caso, chegamos à equação da hipérbole:

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Referências

[1] Geometria Analítica – Steinbruch & Winterle

[2] Matemática: Ciência e Aplicações V3 – Iezzi, Dolce, Et al


Veja mais:

A Equação da Elipse
Um modo de Calcular a Integral Indefinida da Hipérbole no blog Fatos Matemáticos
Os Modelos Hiperbólicos de Crochê no blog Matheusmathica

12 comentários:

  1. Bem didática a sua apresentação sobre a hipérbole. É possível provar usando Cálculo que as equações das assíntotas de uma hipérbole podem ser obtidas de sua equação reduzida, simplesmente trocando 1 no lado direito da expressão por 0. Por exemplo,

    x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 => x^2/a^2 - y^2/b^2 = 0 => y = +- bx/a.

    Abraços e obrigado pelo link.

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  2. Olá Paulo,
    Com esta equação fica fácil observar a inclinação das assíntotas. Obrigado por citá-la.

    Um abraço.

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  3. Gostei do modo como o conteúdo foi apresentado. Explicado e não apenas exposto. Eu conheci esse blog enquanto procurava um demonstração sobre derivadas e agora estou usando ele para estudar para uma prova que eu farei daqui a pouco.

    Mais uma vez, obrigado.

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  4. Obrigado amigo. Desejo uma boa prova! Um abraço.

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  5. Oi. Sou que postei esse comentário do dia 17 de abril ás 2:55PM. Eu gostaria de saber por que eu só consigo postar comentários como anônimo. Eu estou participando deste site agora e pense que com isso poderia postar normalmente, mas não consegui. Tentei postar usando meu perfil do Google, mas quando escolhi essa opção, fui encaminhado para um site que me sugeria que eu fizesse um Bloger (isso é algo que eu não quero fazer).Não entendo o que esta acontecendo.

    Desde já... Obrigado.

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    Respostas
    1. Olá. Veja só: criei uma conta qualquer só para tentar simular o que vocÊ disse. Quando fui fazer um comentário, pede-se que crie um perfil no blogger e não um blog propriamente. É só dar um nome para o perfil, KleberKilhian, por exemplo e aceitar os termos. Depois vc pode editar e adicionar fotos para aparecer nos comentários, se quiser. Acho que é isso. Um abraço!

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  6. Eu fiz o que você disse.

    Obrigado.

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  7. Que bom que deu certo. Precisando estamos aí!

    Abraços!

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  8. Eu ainda não aprendi como postar comentários com LateX. Eu usei o editor online e tentei copiar o código da equação, o URL da imagem, mas quando eu visualizava a mensagem, aparecia o código/URL e não a equação.

    Obrigado, mais uma vez.

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  9. Olha só, vá no site codecogs:
    http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
    monte sua fórmula no campo de cima. Em baixo a imagem será mostrada. Veja que deve-se ter uma noção de Latex para isso.

    Quando for copiar, copie o código digitado mesmo. Cole nos comentários e coloque o símbole de crfrão no começo e no fim de cada fórmula, para que o script instalado aqui neste blog possa entender do que se trata. Veja:

    a parábola: xis quadrado, menos um, deve-se por o código: x^2-1 entre o símbolos de cifrão, que vai gerar a imagem:
    $x^2-1$

    Ok? Procure alguns tutoriais de escrita em latex, vai ajudar.

    Abraços.

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  10. Eu já tinha tentando escrever com LateX nesse blog, mas o que me atrapalhava era o fato de achar que, quando eu clicasse em "Visualizar" a equação apareceria do mesmo jeito que seria postada no blog. Mas pelo que eu percebi, não é assim que funciona.
    Agora eu consegui. Se eu tiver alguma dúvida ou mesmo que dizer dizer alguma coisa por aqui eu postarei e a fato de poder usar o LateX aqui, vai facilitar muito. Agora que eu estou seguindo este blog, vou tentar aproveita-lo (dentro do possível).

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  11. Olá Francehelder. Fique a vontade para postar aqui, afinal, a função de um blog é a troca de informações.

    Um abraço!

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É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas alinhadas ao centro, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, \int_a^bf(x)dx entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$\displaystyle \int_a^bf(x)dx$$
Se desejarem visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seguem alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:

α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔ \
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥

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