15/03/2011

Dispositivo Prático de Briot – Ruffini

Quando queremos dividir um polinômio P(x) por um binômio (xa) podemos utilizar um algoritmo desenvolvido pelo matemático italiano Paolo Ruffini (1765 – 1822) e pelo matemático francês Charles A. A. Briot (1817 – 1882) denominado hoje por Dispositivo Prático de Briot – Ruffini, no qual é possível apenas em termos dos coeficientes de P(x), de grau N ≥ 1, e com a raiz de um binômio (x – a), que é o divisor de P(x), encontrando um quociente de grau N – 1.

Exemplo 1: Seja a divisão de clip_image002 por uma binômio clip_image004.

Inicialmente, vamos determinar a raiz do binômio x – 2:

clip_image006

clip_image008

O dispositivo é organizado da seguinte maneira:

clip_image010

onde:

r é a raiz do binômio;

CP(x) são os coeficientes de P(x);

Q(x) é o quociente da divisão;

R(x) é o resto da divisão.

Vamos, então, dispor a raiz do binômio e os coeficientes do polinômio no dispositivo:

clip_image012

O próximo passo é reescrever o primeiro coeficiente de P(x) logo abaixo, que será o primeiro coeficiente de Q(x):

image

Agora, multiplicamos 1 pela raiz do binômio e somamos ao segundo coeficiente de P(x). O resultado é escrito logo abaixo do segundo coeficiente de P(x), que será o segundo coeficiente de Q(x):

image

Analogamente, multiplicamos – 3 pela raiz do binômio e somamos ao terceiro coeficiente de P(x), encontrando o terceiro coeficiente de Q(x):

image

Repetimos este processo até o último coeficiente:

image

image

O quociente e o resto que procuramos são:

clip_image014

clip_image016

Notem que o grau de Q(x) é menor que P(x) em uma unidade.

O dispositivo de Briot – Ruffini prevê que a divisor de P(x) seja um binômio do tipo (x – a). Mas também podemos aplicar o método quando o divisor for do tipo (bx – c). Para isso, usamos um artifício de transformar o divisor (bx – c) em (x – c / b) da seguinte forma:

clip_image018

clip_image020

clip_image022

No entanto, devemos ficar atentos pois o quociente que encontraremos estará multiplicado por b e, no final, deveremos dividir Q1(x) por b:

clip_image024

O resto R(x) não sofrerá alterações, mantendo o valor encontrado.

Exemplo 2: Seja a divisão de clip_image026 por uma binômio clip_image028. Obter Q(x) e R(x).

Primeiramente vamos reescrever o problema fazendo uso do artifício:

clip_image030

clip_image032

clip_image034

Sendo Q1(x) = 2Q(x):

clip_image036

Agora, aplicaremos o algoritmo de Briot – Ruffini para P(x) dividindo pelo binômio (x – 1/2). Primeiramente encontramos a raiz do binômio:

clip_image038

clip_image040

Organizamos os dados no dispositivo:

image

image

image

Logo, temos que:

clip_image042

e

clip_image044

Mas Q(x) = 2Q(x), logo devemos dividir Q1(x) por 2:

clip_image046

clip_image044[1]

Quando o polinômio P(x) é incompleto, devemos completá-lo utilizando o coeficiente igual a zero.

Exemplo 3: Seja o polinômio clip_image048. Efetuar a divisão pelo binômio clip_image050.

Vemos que P(x) está incompleto, faltando o termo ax2. Completamo-lo da seguinte forma:

clip_image052

image

Concluímos que:

clip_image054

clip_image056

Referências:

[1] Matemática Volume Único – B. Barreto, C. Xavier- Ed.FTD

[2] Matemática Volume Único – Facchini – Ed. Moderna


Veja mais:

Multiplicidade de uma Raiz
Zeros Reais de Funções Reais
Sobre a Divisão de Polinômios no blog Fatos Matemáticos

10 comentários:

  1. Este algoritmo é muito útil também no estudo de raízes das equações polinomiais por métodos numéricos. Os exemplos ficaram muito didáticos. Parabéns e obrigado pelo link.

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  2. Olá, Kleber!
    O que eu posso dizer? Simplesmente... é fantástico! Mais do que isso... estraga! Parabéns com louvor!
    Um abraço!!!!!

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  3. Sim... infelizmente retirei todos. Pois estou atualizando o template do blog.
    Estarei organizando tudo novamente conforme o tempo...
    Repare que ainda falta muita coisa para organizar ainda.

    abçs

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  4. Paulo, não havia pensado, mas agora, vejo que é possível fazer no excel rapidamente. Vou tentar desenvolver alguma coisa do tipo.

    Valdir, só tenho a agradecer suas palavras!

    Um abraço.

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  5. TOmei uma surpresa quando tentei DIVIDIR (x^2 -2x + 1) por (2x -3) com BRIOT-RUFFINI. Descobri o erro por meio deste post. OBG !

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  6. Que bom que lhe foi útil este artigo.

    Um abraço e volte sempre!

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  7. Obrigada pelos esclarecimentos

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  8. Olá.
    Gostaria de saber o porquê que o dispositivo só funciona com binômios. E, também, se não há uma generalização deste dispositivo.
    P.S. Parabéns pelo sítio, é ótimo.
    Obrigado.

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  9. queria saber quem inventou a matemática

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  10. Esse dispositivo de Briot-Ruffini. Sempre que quiser, pode ser substituído pelo teorema de D'Alembert? Ou em alguns casos da errado?

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