Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 2)

Há diversas construções geométricas onde podemos encontrar a constante $\varphi$ (phi), ou seja, o número de ouro.

Este é o segundo artigo de uma série sobre construções geométricas de $\varphi$ em circunferências. Leiam outros artigos da série:

1. Construção geométrica de phi - Parte 1
   
2. Construção geométrica de phi - Parte 2
   
3. Construção geométrica de phi - Parte 3
   
4. Construção geométrica de phi - parte 4
   
5. Construção geométrica de phi - Parte 5
   
6. Construção geométrica de phi - Parte 6
   
7. Construção geométrica de phi - Parte 7
   
8. Construção geométrica de phi - Parte 8
   

Veremos a seguir como encontrar o número de ouro a partir de três circunferências concêntricas.

Sejam três circunferências concêntricas de raios $r=1$. $r=2$ e $r=4$. Demonstraremos que:

$$\varphi = \frac{AD}{AB} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,618 \cdots$$

Traçamos uma tangente à circunferência de raio 1 em $C$, marcando os pontos $A$ e $B$ na intersecção com a circunferência de raio 2, e o ponto $D$ na intersecção com a circunferência externa.

Observando a figura acima, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo $OCB$:

$$OB^2 = OC^2 + CB^2\\ \ \\ 2^2 = 1^1 + CB^2\\ \ \\ 4 = 1 + CB^2\\ \ \\ CB^2 = 3\\ \ \\ CB = \sqrt{3}$$

Por simetria, $AC=CB$. Logo:

$$AB = 2\sqrt{3}$$

Agora, aplicamos o teorema pitagórico no triângulo $OCD$:

$$OD^2 = OC^2 + CD^2\\ \ \\ 4^2 = 1^2 + CD^2\\ \ \\ 16 = 1+ CD^2\\ \ \\ CD^2 = 15\\ \ \\ CD = \sqrt{15}$$

O segmento $AD$ é dado pela soma dos segmentos $AC$ e $CD$:

$$AD = AC + CD\\ \ \\ AD = \sqrt{3} + \sqrt{15}$$

A razão entre os segmentos $AD$ e $AB$ nos leva ao número de ouro:

$$\frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2\sqrt{3}}\\ \ \\ \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ \ \\ \frac{AD}{AB} = \frac{3+3\sqrt{5}}{6}\\ \ \\ \frac{AD}{AB} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,618\cdots = \varphi$$

Esta construção geométrica de como expressar $\varphi$ foi realizada por Sam Kutler e apresentada por Steve Lautizar.

*Artigo atualizado em 15/11/2024.

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