27 de fev de 2011

Construindo Raízes de Números Naturais

A construção de raízes de números naturais utilizando régua e compasso é algo simples e belo de se ver. Vamos ver dois processos diferentes de obter o mesmo resultado.

Seja o triângulo retângulo de catetos iguais a a. Sua hipotenusa h1 assumirá o valor de a√2, segundo o teorema pitagórico:

clip_image002

clip_image004

image

[Figura 1 – Triângulo retângulo]

Podemos construir um novo triângulo adjacente à hipotenusa do primeiro, cujos catetos medem a e a√2. Desta forma encontraremos sua hipotenusa h2 de valor a√3:

image

[Figura 2 – Triângulos retângulos adjacentes]

clip_image010

clip_image012

Assim, podemos continuar a construir triângulos retângulos adjacentes, cujos catetos medirão a e hN :

image

[Figura 3 – Triângulos enésimos]

Pela figura acima, podemos observar que, para cada triângulo TN, um de seus catetos medirá a e o outro medirá hN – 1 .

Se assumirmos que o cateto a será um segmento unitário, teremos que as hipotenusas hN dos triângulos assumirão os valores de raízes dos números naturais.

clip_image016

Então a figura 3 pode ser vista da seguinte forma:

image

[Figura 4 – Raízes de número naturais]

Podemos ainda concluir algumas relações trigonométricas desta formação peculiar:

image

[Figura 5 – Relações trigonométricas]

Observando a figura acima, temos de imediato que:

clip_image022

No entanto, podemos substituir o valos de hN da relação (1) em (2), obtendo:

clip_image024

clip_image026

Mas se a tem valor unitário, (3) assume a configuração:

clip_image028

Podemos, ainda, encontrar raízes de número naturais utilizando as diagonais de quadriláteros. Observe a figura abaixo:

image

[Figura 6 – Raízes através de quadriláteros]


9 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Eu já conhecia esse processo, mas nunca tinha visto uma explanação do assunto de forma tão caprichada, ilustrada e mais detalhada... que essa sua! Camarada, você é o "cara"!!!!! Parabéns pela ótima postagem!
    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
  2. Este post seria ideal para uma aula introdutória dos números irracionais, pois teria também a atividade prática de manipular a régua e o compasso. Parabéns pelo post.

    ResponderExcluir
  3. Olá Valdir,
    É um método bem conhecido, tem em muitos sites pos aí. Sempre quis fazer um post sobre esse tema, porque além de justificar muito bem as raízes, a figura geométrica formada é meuito bela!

    Paulo,
    Além da beleza, esta figura engloba construções geométricas, números irracionais, aplicação do Teorema de Pitágoras, trigonometria, uma idéia simples de sequências. Ainda podemos expandir a idéia para o somatório das áreas dos triângulos formados, enfim, em um único problema há várias aplicações.

    Agradeço a vocês dois pela contribuição de comentários tão significativos.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  4. Desafio...
    De acordo com o enunciado, qual será o maior valor de N (N pertencente aos naturais), tal que hN não sobreponha ao primeiro cateto "a" (referente ao triângulo T1)???
    Está lançado...rsrsrs...Boa sorte.

    ResponderExcluir
  5. Há um problema na construção dos triângulos com um dos lados a raiz quadrada de 2, 3, 5 e 7 já que eles não são retângulos. Haja vista que os ângulos formados não são de 90 graus. Sebá

    ResponderExcluir
  6. Sebá, confesso que não entendi o que quis dizer. É imposto que um dos lados seja 1, ortogonal à hipotenusa do triângulo anterior. Assim, as hipotenusas dos triângulo seguintes são exatamente raízes quadradas dos números naturais. Por favor me indique o erro.
    Abraços.

    ResponderExcluir
  7. Kleber, se você colocar os dados num software que de desenhe o triângulo com o valor da hipotenusa a raiz quadrada de 2, o ângulo não dá 90 graus.

    Abraços

    Sebá

    ResponderExcluir
  8. Kleber, também não entendi o que o Sebá queria dizer...

    Aproveitando, muito boa a matéria.

    ResponderExcluir
  9. Não sei Aloísio, mas talvez haja algum problema de arredondamento no software que o Sebá usou, já que algumas raizes são irracionais. Eu tinha procurado rapidamente um software que fizesse a construçã ode triângulos utilizando dados de entrada como seus catetos e hipotenusa. Não achei. Mas algebricamente o resultado é esse.

    Abraços.

    ResponderExcluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...