25 de fev de 2011

Construção de um Heptadecágono Regular com Régua e Compasso

O polígono regular de 17 lados é chamado de heptadecágono. Sua área é dada pela fórmula:

clip_image002[4]

Gauss provou em 1796, quando tinha apenas 19 anos, que o heptadecágono é construtível utilizando régua e compasso. Esta prova aparece em sua monumental obra Disquisitiones Arithmeticae. A prova ficará para uma próxima oportunidade. No momento, vamos reproduzir a elegante construção para o heptadecágono feita por Richmond, em 1893.

1) Com centro em O, descreva uma circunferência e trace um diâmetro, marcando P1:

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2) Trace o diâmetro d2 perpendicular ao diâmetro d1, em O, marcando A no encontro com C1:

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3) A um quarto da distância OA, marque J e una J a P1:

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5) Encontre E de modo que o ângulo OJE seja um quarto do ângulo OJP1:

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6) Encontre F de modo que o ângulo EJF seja 45°:

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7) Descreva C2 com diâmetro FP1. Marque K na intersecção com a OA:

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8) Descreva C3 com centro em E e raio EK. Marque L na intersecção com OP1:

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9) Construa a perpendicular a OP1 em L. Marque P4 na intersecção com a circunferência C1. Já temos os vértices P1 e P4 do heptadecágono:

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10) Utilizando a abertura do compasso de P1 a P4, construa os vértices P7, P10, P13 e P16. Em seguida os vértices P2, P5, P8, P11, P14 e P17. Em seguida os vértices P3, P6, P9, P12 e P15.

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11) Unindo todos os vértices, encontramos o heptadecágono regular:

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Veja mais:

Construção de um Heptágono Regular com Régua e Compasso (Parte I)
Construção de um Heptágono Regular com Régua e Compasso (Parte II)
Construções Geométricas Utilizando Régua e Compasso

10 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Só sendo o Gauss mesmo, para atacar uma construção com régua e compasso, de um polígono com tantos lados! Disse e fez... o dito cujo! Ou cabra macho! Agora, a sorte dele ter se destacado e até ter sido chamado de: "o príncipe da matemática", foi ter nascido por aquelas bandas de lá, pois se tivesse sido brasileiro, imagino que teria recebido o título de: "rei doido e encerado"!
    Ótimo post, Kleber! Nota dez!
    Um abraço!!!!!

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  2. Vale lembrar que também provou que é possível construir um polígono regular de 257 lados!! Imagine Gauss na era moderna, ou se lá já houvesse computadores que temos hoje!

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  3. Kleber:
    Eu tive o privilégio de ter um professor de desenho geométrico que fazia com que a gente construísse polígonos regulares, usando régua, compasso, transferidor e esquadro. Acho que foi na 6ª ou 7ª série. Isto em um tempo em que os professores de escolas públicas ainda eram de certa forma mais valorizados do que hoje. Certamente ele não chegou ao heptadecágono, mas me lembro de ficar pensando no significado das manobras geométrica para se obter a medida do lado de um heptágono, por exemplo. E como eu ficava torcendo para que a última passada do compasso, no momento da definição dos vértices, coincidisse exatamente com o início do primeiro.
    Hoje percebo como foi importante para mim aqueles pacienciosos trabalhos. Ficava bem claro a partir dali, como um pequeno erro acumulado poderia significar uma grande diferença no final.

    Hoje, a minha tristeza é constatar, como professor de Física, que muitos alunos chegam ao ensino médio sem nunca terem sequer mexido em um transferidor ou esquadro. Sou professor de escola pública, e acho que acabei me tornando testemunha de como, em apenas algumas décadas, conseguiram desmontar completamente a estrutura do ensino público no Brasil. A matéria de Desenho Geométrico, que eu cheguei a lecionar há uns 20 anos, quando ela ainda fazia parte do currículo do Estado de São Paulo, foi retirada. Um crime!
    Tá certo que era apenas uma aula por semana na 7ª e uma na 8ª série, mas para mim, este foi mais um de uma série de erros cometidos.

    Apesar de tudo, estou na luta para que possamos reverter, ou pelo menos amenizar este quadro desolador. Quando dou por mim, estou ensinando matemática básica, para só depois poder ensinar física.

    Continue divulgando estas preciosidades. Imagino que deva ser uma tarefa bem trabalhosa, mas para nós, que queremos transformar este país, ela faz bem pra nossa alma, e é mesmo engrandecedora do espírito.

    Parabéns, amigo.

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  4. Professor, essa postagem fez me lembrar por que adoro estudar matemática. lembro da disciplina de geometria gráfica, no primeiro semestre na Universidade.Quase pensei em ser geômetra, mas depois a Educação Matemática me mostrou algo que se relacionava ao que de fato me interessa. Bom,o que me deixava fascinado era quando os probemas estavam relacionados em encontrar lugares geométricos. Deixo então a sugestão: Lugares geométricos. Um abraço!!!!

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  5. Olá Jairo. Obrigado por este comentário substancial sobre um assunto um tanto que esquecido pelos estudantes.

    Sei muito bem do que você está falando. Eu também tive aulas de desenho geométrico no extinto ginásio!, nas 7ª e 8ª séries. Era exatamente com diz: uma aula semanal, mas aprendíamos a encontrar bissetrizes, mediatrizes, perpendiculares, polígonos estrelados,...manipular esquadros,transferidor e compasso, ...

    Eu não leciono, apesar de ser licenciado,então não tenho a visão real de como está a educação em São Paulo. No entanto, tenho muitos amigos que são professores, velhos de casa, ou novatos. Mas todos relatam o mesmo quadro de descaso, falta de interesse, a chassina da educação! (esta é minha opinião).

    Conheço pessoas que não saber realemnte fazer uma interpretação geométrica, ou mesmo que existe minutos de grau e muito menos segundos de grau! Manipular um compasso e coisam simples assim! Mas infelizmente, a falta de conhecimento não é somente da matemática, ou física, mas engloba todoo ramo do ensino básico (e o próprio nome já diz: Ensino Básico!).

    realemtne dá um pouco de trabalho as construções mais complexas como esta, mas vale a pena, fica muito bom. Tenho que aprender ainda há construir animações, pois assim poderei inserir todas as etapas do processo.

    Um abraço, meu amigo!

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  6. Olá Rafael,

    Obrigado pela sugestão, vou deixar anotado para futuros posts, pois é um tema interessantíssimo!

    Obrigado pelo comentário.

    Um forte abraço!

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  7. Olá Kleber, realmente ficou muito boa a postagem e creio que o seu site é um dos poucos no país que trata de construções geométricas.

    Nunca tive esta disciplina no colégio, mas desde de cedo lendo livros de geometria plana, percebi a importância deste assunto para o desenvolvimento do raciocínio lógico e por isso, fui aprendendo aos poucos, mas nunca tive tempo para dedicar integralmente ao assunto. Um grande abraço!

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  8. Olá Paulo,

    Eu tive dois anos de desenho geométrico no ensino fundamental. Pena não ter aproveitado melhor. Era muito jovem e não tinha consciência de sua importância. Mas mesmo assim guardei algumas lembranças boas. Acho muito intrigante como alguns métodos forma elaborados, este por exemplo, quanta energia não foi desprendida até chegar a esta construção!

    Sempre que puder, estarei publicando construções por aqui!

    Um abraço!

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  9. Por que esses procedimentos (etapas) de construção nos levam a um heptadecágono?

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  10. Não sei dizer. Às vezes o simples fato de buscar um resultado por tentativa e erro é válido. No caso de Gauss, acredito que não tenha sido assim. Se quiser saber um pouco mais, baixe este pdf e veja a demonstração de Gauss:

    http://www.e-rara.ch/zut/content/titleinfo/1254642

    Abraços.

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